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文档简介

1 第三节函数的极限 一 自变量趋向无穷大时函数的极限 二 自变量趋向有限值时函数的极限 三 函数极限的性质 四 小结思考题 2 数列极限 整标函数 函数的极限 有 两大类情形 3 单击任意点开始观察 一 自变量x 时 的极限 1 引例 单击任意点开始观察 单击任意点开始观察 单击任意点开始观察 单击任意点开始观察 单击任意点开始观察 单击任意点开始观察 观察完毕 4 通过上面演示实验的观察 问题2 如何用数学语言刻划函数 无限接近 是在x 的过程中实现的 即x 时 f x 0 2 直观定义 在x 时 函数值f x 无限接近于一个确定的常数A 称A为f x 当x 时的极限 5 3 精确定义 如果对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在着正数X 使得当 x X时 恒有 f x A 成立 则称x趋于无穷大时函数f x 以A为极限 记为 X 定义 分析定义 x 及x 情形 定理 6 4 几何意义 7 例1 证 5 水平渐近线 8 二 自变量有限值时 函数的极限 1 引例 9 它是在的过程中实现的 问题 如何用数学语言刻划函数 无限接近 2 直观定义 10 3 精确定义 定义 设f x 在点x0的某一去心邻域内有定义 如果对于任意给定的e 0 总存在d 0 使得当0 x x0 d 恒有 f x A e成立 则称x x0时函数f x 以常数A为极限 记为 注意 意味着 但不是函数关系 因 不唯一 11 4 几何意义 这表明 12 例2 证 例3 证 13 例4 证 函数在点x 1处没有定义 但不影响考察该点极限的存在性 14 例5 证 15 5 单侧极限 例如 16 左极限 右极限 注意 17 左右极限存在但不相等 例6 证 极限存在定理 18 三 函数极限的性质 1 唯一性 注 以下仅以形式为代表给出函数极限的一些定理 其它形式类推之 证明 略 自证 19 定理2 证 有 则定理2得证 2 局部有界性 20 3 局部保号性 证 有 证完 容易推得下面更强的结论 定理3 21 定理3 补证 有 1 由 1 式得 22 推论 证明 利用定理3反证之 略 由 1 式得 证完 23 4 子列收敛性 函数极限与数列极限的关系 定义 定理4 24 分析 证 25 例如 证完 综合上述画线部分即得 26 函数极限与数列极限的关系 海因定理 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在 且相等 说明 常用海因定理来判断函数在某变化过程中的极限不存在 推广 方法一 找两子列 求得对应的两函数值子列极限值不相等 或找一个子列 对应的函数值子列的极限值不存在 方法二 27 例7 补 证 28 二者不相等 补充练习 解 取 和 但 由海因定理 故原极限不存在 令
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