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专题研究一曲线与方程 例1设圆C x 1 2 y2 1 过原点O作圆的任意弦 求所作弦的中点的轨迹方程 探究1本题中的前四种方法是求轨迹方程的常用方法 我们已在本章的前几节中做过较多的讨论 故解析时只做扼要总结即可 1 已知A B C是直线l上的三点 且 AB BC 6 圆Q切直线l于点A 又过B C作圆Q异于l的两切线 设这两切线交于点P 求点P的轨迹方程 解析 如下图 由切线性质 得 思考题1 3 ABC的顶点A固定 点A的对边BC的长是2a 边BC上的高为b 边BC沿一条定直线移动 求 ABC外心的轨迹方程 解析 以BC定直线为x轴 过A作x轴的垂线建系 则A 0 b 设外心M x y 则MN是BC的垂直平分线 N为垂足 MA MB 答案 x2 2by b2 a2 0 例2自抛物线y2 2x上任意一点P向其准线l引垂线 垂足为Q 连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R点 求R点的轨迹方程 答案 y2 2x2 x 探究2 1 相关点法求曲线方程时一般有两个动点 一个是主动的 另一个是次动的 如本题中P是主动点 R是次动点 2 当题目中的条件同时具有以下特征时 一般可以用相关点法求其轨迹方程 某个动点P在已知方程的曲线上移动 另一个动点M随P的变化而变化 在变化过程中P和M满足一定的规律 已知抛物线C y2 4x的焦点为F 1 点A P满足 2 当点A在抛物线C上运动时 求动点P的轨迹方程 2 在x轴上是否存在异于原点的点Q 使得点Q关于直线y 2x的对称点在抛物线C上 如果存在 求所有满足条件的点Q的坐标 如果不存在 请说明理由 思考题2 探究3在确定了轨迹方程之后 有时题目会就方程中的参数进行讨论 参数取值的变化使方程表示不同的曲线 参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同 参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等 思考题3 思路 1 由焦点坐标和离心率可求出椭圆的长半轴长 半焦距长和短半轴长 可得椭圆的标准方程 2 讨论两条切线的斜率是否存在 斜率存在时 设出切线方程 利用直线与椭圆相切得判别式 0 建立关于k的一元二次方程 利用两根之积为 1 求出点P的轨迹方程 探究4高考题中求轨迹问题的主要类型是直译法 相关点法和参数法 2014 新课标全国 文 已知点P 2 2 圆C x2 y2 8y 0 过点P的动直线l与圆C交于A B两点 线段AB的中点为M O
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