信息智能分析与处理模糊数学PPT课件.ppt

信息智能分析与处理 一模糊 Fuzzy 数学的基本概念模糊数学就是用数学方法研究模糊现象1965年 美国数学家扎德 L A Zadeh 发表论文 模糊集合 FuzzySets 开辟了一门新的数学分支 模糊数学 Zadeh LotfiA FuzzySets InformationandControl Vol 8 1965 pp 338 353 涉及纯粹数学 应用数学 自然科学 人文科学和管理科学等方面 在图像识别 人工智能 自动控制 信息处理 经济学 心理学 社会学 生态学 语言学 管理科学 医疗诊断 哲学研究等领域中 都得到广泛应用 把模糊数学理论应用于决策研究 形成了模糊决策技术 1 信息智能分析与处理 模糊集合是经典集合概念的推广 在经典集合论 康托尔集合论 中 每一个集合都必须由确定的元素构成 元素对于集合的隶属关系是明确的 这一性质可以用特征函数来描述 2 信息智能分析与处理 Zadeh将特征函数改成所谓的 隶属函数 其中这里A称为 模糊集合 称为x对集合A的 隶属度 经典集合论要求隶属度只能取0 1二值 模糊集合论则突破了这一限制 将隶属度扩展到了 0 1 闭区间 由于集合论是现代数学的重要基石 因此模糊集合的概念对数学产生了广泛的影响 人们将模糊集合引进数学的各个分支从而出现了模糊拓扑 模糊群论 模糊测度与积分 模糊图论等等 它们一起形成通常所称的模糊数学 3 信息智能分析与处理 实际上 模糊性是事物复杂性表现的一个方面 随着电子计算机的发展以及它对日益复杂的系统的应用 处理模糊性问题的要求也比以往显得突出 这是模糊数学产生的背景 由于人脑的思维包括有精确的与模糊的两个方面 因此模糊数学在人工智能模拟方面具有重要意义 当系统的复杂性日趋增长时 我们作出系统特性的精确然而有意义的描述的能力将相应降低 直至达到这样一个阈值 一旦超过它 精确性和有意义性将变成两个几乎互相排斥的特性 4 信息智能分析与处理 二模糊理论的数学基础隶属函数设U是论域 称映射A x U 0 1 确定了一个U上的模糊子集A 映射A x 称为A的隶属函数 表示x对A的隶属程度 使A x 0 5的点x称为A的过渡点 此点最具模糊性 当映射A x 只取0或1时 模糊子集A就是经典子集 而A x 就是它的特征函数 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形 5 信息智能分析与处理 模糊子集的表达方法解析法 也即给出隶属函数的具体表达式 Zadeh记法 例如 分母是论域中的元素 分子是该元素对应的隶属度 有时候 若隶属度为0 该项可以忽略不写 序偶法 例如A x1 1 x2 0 5 x3 0 72 x4 0 序偶对的前者是论域中的元素 后者是该元素对应的隶属度 向量法 在有限论域的场合 给论域中元素规定一个表达的顺序 那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式 如A 1 0 5 0 72 0 6 信息智能分析与处理 例设论域U x1 140 x2 150 x3 160 x4 170 x5 180 x6 190 单位 cm 表示人的身高 那么U上的一个模糊集 高个子 A 的隶属函数A x 可定义为 也可用Zadeh表示法 7 信息智能分析与处理 模糊集的运算相等 A B A x B x 包含 A B A x B x 并 A B的隶属函数为 A B x A x B x 取大运算 交 A B的隶属函数为 A B x A x B x 取小运算 余 Ac的隶属函数为Ac x 1 A x 8 信息智能分析与处理 例设论域U x1 x2 x3 x4 x5 商品集 在U上定义两个模糊集 A 商品质量好 B 商品质量坏 并设A 0 8 0 55 0 0 3 1 B 0 1 0 21 0 86 0 6 0 则Ac 商品质量不好 Bc 商品质量不坏Ac 0 2 0 45 1 0 7 0 Bc 0 9 0 79 0 14 0 4 1 可见Ac B Bc A 9 信息智能分析与处理 又A Ac 0 8 0 55 1 0 7 1 U A Ac 0 2 0 45 0 0 3 0 10 信息智能分析与处理 模糊集的并 交 余运算性质幂等律 A A A A A A 交换律 A B B A A B B A 结合律 A B C A B C A B C A B C 吸收律 A A B A A A B A 分配律 A B C A C B C A B C A C B C 0 1律 A U U A U A A A A 还原律 Ac c A 11 信息智能分析与处理 对偶律 A B c Ac Bc A B c Ac Bc 对偶律的证明 对于任意的x U 论域 A B c x 1 A B x 1 A x B x 1 A x 1 B x Ac x Bc x Ac Bc x 模糊集的运算性质基本上与经典集合一致 除了排中律以外 即A Ac U A Ac 模糊集不再具有 非此即彼 的特点 这正是模糊性带来的本质特征 12 信息智能分析与处理 模糊集的基本定理 截集 A A x A x 模糊集的 截集A 是一个经典集合 由隶属度不小于 的 的所有元素x构成 例 论域U u1 u2 u3 u4 u5 u6 学生集 他们的成绩依次为50 60 70 80 90 95 A 学习成绩好的学生 的隶属度分别为0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 95 则A0 9 90分以上者 u5 u6 A0 6 60分以上者 u2 u3 u4 u5 u6 13 信息智能分析与处理 14 信息智能分析与处理 定理1设A B U A B是论域U的两个模糊子集 0 1 于是有 截集的性质 1 A B A B 2 A A 3 A B A B A B A B 定理2 分解定理 设A U x A 则A x 0 1 x A 定义 扩张原理 设映射f X Y 定义f A y A x f x y 15 信息智能分析与处理 三模糊矩阵定义1设R rij m n 若0 rij 1 则称R为模糊矩阵 当rij只取0或1时 称R为布尔 Boole 矩阵 当模糊方阵R rij n n的对角线上的元素rii都为1时 称R为模糊自反矩阵 定义2设A aij m n B bij m n都是模糊矩阵 相等 A B aij bij 包含 A B aij bij 并 A B aij bij m n 交 A B aij bij m n 余 Ac 1 aij m n 16 信息智能分析与处理 模糊矩阵的并 交 余运算性质幂等律 A A A A A A 交换律 A B B A A B B A 结合律 A B C A B C A B C A B C 吸收律 A A B A A A B A 分配律 A B C A C B C A B C A C B C 0 1律 A O A A O O A E E A E A 还原律 Ac c A 对偶律 A B c Ac Bc A B c Ac Bc 17 信息智能分析与处理 模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂设A aik m s B bkj s n 定义模糊矩阵A与B的合成为 A B cij m n 其中cij aik bkj 1 k s 模糊方阵的幂定义 若A为n阶方阵 定义A2 A A A3 A2 A Ak Ak 1 A 18 信息智能分析与处理 合成 运算的性质 性质1 A B C A B C 性质2 Ak Al Ak l Am n Amn 性质3 A B C A B A C B C A B A C A 性质4 O A A O O I A A I A 性质5 A B C D A C B D 19 信息智能分析与处理 注 合成 运算关于 的分配律不成立 即 A B C A C B C A C B C A B C A C B C A B C 20 信息智能分析与处理 模糊矩阵的 截矩阵定义7设A aij m n 对任意的 0 1 称A aij m n 为模糊矩阵A的 截矩阵 其中当aij 时 aij 1 当aij 时 aij 0 显然 A的 截矩阵为布尔矩阵 21 信息智能分析与处理 对任意的 0 1 有性质1 A B A B 性质2 A B A B A B A B 性质3 A B A B 性质4 AT A T 22 信息智能分析与处理 模糊关系设有论域X Y X Y的一个模糊子集R称为从X到Y的模糊关系 模糊子集R的隶属函数为映射R X Y 0 1 并称隶属度R x y 为 x y 关于模糊关系R的相关程度 特别地 当X Y时 称之为X上各元素之间的模糊关系 23 信息智能分析与处理 模糊关系的矩阵表示对于有限论域X x1 x2 xm 和Y y1 y2 yn 则X到Y模糊关系R可用m n阶模糊矩阵表示 即R rij m n 其中rij R xi yj 0 1 表示 xi yj 关于模糊关系R的相关程度 又若R为布尔矩阵时 则关系R为普通关系 即xi与yj之间要么有关系 rij 1 要么没有关系 rij 0 24 信息智能分析与处理 例设身高论域X 140 150 160 170 180 单位 cm 体重论域Y 40 50 60 70 80 单位 kg 下表给出了身高与体重的模糊关系 25 信息智能分析与处理 模糊关系的合成设R1是X到Y的关系 R2是Y到Z的关系 则R1与R2的合成R1 R2是X到Z上的一个关系 R1 R2 x z R1 x y R2 y z y Y 当论域为有限时 模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成设X x1 x2 xm Y y1 y2 ys Z z1 z2 zn 且X到Y的模糊关系R1 aik m s Y到Z的模糊关系R2 bkj s n 则X到Z的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成 R1 R2 cij m n 其中cij aik bkj 1 k s 26 信息智能分析与处理 模糊等价矩阵若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系 且满足 1 自反性 R x x 1 2 对称性 R x y R y x 3 传递性 R2 R 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系 当论域X x1 x2 xn 为有限时 X上的一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵 即R满足R2 R rik rkj 1 k n rij 27 信息智能分析与处理 定理1若R具有自反性 I R 和传递性 R2 R 则R2 R 定理2若R是模糊等价矩阵 则对任意 0 1 R 是等价的Boole矩阵 定理3若R是模糊等价矩阵 则对任意的0 1 R 所决定的分类中的每一个类是R 决定的分类中的某个类的子类 28 信息智能分析与处理 模糊相似关系若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系 且满足 1 自反性 R x x 1 2 对称性 R x y R y x 则称模糊关系R是X上的一个模糊相似关系 当论域X x1 x2 xn 为有限时 X上的一个模糊相似关系R就是模糊相似矩阵 即R满足 1 自反性 I R rii 1 2 对称性 RT R rij rji 29 信息智能分析与处理 定理1若R是模糊相似矩阵 则对任意的自然数k Rk也是模糊相似矩阵 定理2若R是n阶模糊相似矩阵 则存在一个最小自然数k k n 对于一切大于k的自然数l 恒有Rl Rk 即Rk是模糊等价矩阵 R2k Rk 此时称Rk为R的传递闭包 记作t R Rk 上述定理表明 任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵 平方法求传递闭包t R R R2 R4 R8 R16 30 信息智能分析与处理 模糊聚类分析数据标准化设论域X x1 x2 xn 为被分类对象 每个对象又由m个指标表示其形状 xi xi1 xi2 xim i 1 2 n于是 得到原始数据矩阵为 31 信息智能分析与处理 平移 标准差变换平移 极差变换 32 信息智能分析与处理 模糊相似矩阵建立方法相似系数法 夹角余弦法 33 信息智能分析与处理 相似系数法 相关系数法 34 信息智能分析与处理 距离法海明距离欧氏距离切比雪夫距离 rij 1 cd xi xj d xi xj xik xjk 1 k m 35 信息智能分析与处理 模糊聚类分析的基本过程 1 计算样本或变量间的相似系数 建立模糊相似矩阵 2 利用模糊运算对相似矩阵进行一系列的合成改造 生成模糊等价矩阵 3 最后根据不同的截取水平 对模糊等价矩阵进行截取分类 36 信息智能分析与处理 模糊聚类分析的步骤 标准化数据压缩到 0 1 闭区间内 建立模糊相似矩阵R sij n n 其中sij为相似系数 其定义可以有多种形式 夹角余弦 相关系数或距离 创建模糊等价矩阵R 平方法求传递闭包 选取截取水平 0 1 对样本进行模糊聚类 37 信息智能分析与处理 是模糊等价关系吗 38 信息智能分析与处理 39 信息智能分析与处理 40 信息智能分析与处理 41 信息智能分析与处理 42 信息智能分析与处理 43 信息智能分析与处理 模糊识别 分类 已知某类事物的若干标准模型 现有这类事物中的一个具体对象 问把它归到哪一模型 这就是模型识别 模型识别在实际问题中是普遍存在的 例如 学生到野外采集到一个植物标本 要识别它属于哪一纲哪一目 投递员 或分拣机 在分拣信件时要识别邮政编码等等 这些都是模型识别所谓模糊模型识别 是指在模型识别中 模型是模糊的 也就是说 标准模型库中提供的模型是模糊的 44 信息智能分析与处理 为了能识别待判断的对象x x1 x2 xn T是属于已知类A1 A2 Am中的哪一类 事先必须要有一个一般规则 一旦知道了x的值 便能根据这个规则立即作出判断 称这样的一个规则为判别规则 判别规则往往通过的某个函数来表达 我们把它称为判别函数 记作W i x 一旦知道了判别函数并确定了判别规则 最好将已知类别的对象代入检验 这一过程称为回代检验 以便检验你的判别函数和判别规则是否正确 45 信息智能分析与处理 模糊向量的内积与外积定义称向量a a1 a2 an 是模糊向量 其中0 ai 1 若ai只取0或1 则称a a1 a2 an 是Boole向量 设a a1 a2 an b b1 b2 bn 都是模糊向量 则定义内积 a b ak bk 1 k n 外积 a b ak bk 1 k n 46 信息智能分析与处理 最大隶属原则最大隶属原则 设论域X x1 x2 xn 上有m个模糊子集A1 A2 Am 即m个模型 构成了一个标准模型库 若对任一x0 X 有k 1 2 m 使得Ak x0 A1 x0 A2 x0 Am x0 则认为x0相对隶属于Ak 最大隶属原则 设论域X上有一个标准模型A 待识别的对象有n个 x1 x2 xn X 如果有某个xk满足A xk A x1 A x2 A xn 则应优先录取xk 47 信息智能分析与处理 例1在论域X 0 100 分数上建立三个表示学习成绩的模糊集A 优 B 良 C 差 当一位同学的成绩为88分时 这个成绩是属于哪一类 A 88 0 8 48 信息智能分析与处理 B 88 0 7 49 信息智能分析与处理 A 88 0 8 B 88 0 7 C 88 0 根据最大隶属原则 88分这个成绩应隶属于A 即为 优 例2论域X x1 71 x2 74 x3 78 表示三个学生的成绩 那一位学生的成绩最差 C 71 0 9 C 74 0 6 C 78 0 2 根据最大隶属原则 x1 71 最差 50 信息智能分析与处理 细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别 而几何图形常常化为若干个三角图形 故设论域为三角形全体 即X A B C A B C 180 A B C 标准模型库 E 正三角形 R 直角三角形 I 等腰三角形 I R 等腰直角三角形 T 任意三角形 例细胞染色体形状的模糊识别 51 信息智能分析与处理 某人在实验中观察到一染色体的几何形状 测得其三个内角分别为94 50 36 即待识别对象为x0 94 50 36 问x0应隶属于哪一种三角形 先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数 直角三角形的隶属函数R A B C 应满足下列约束条件 1 当A 90