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1 5因式分解定理 问题的引入 因式分解与多项式系数所在数域有关 的因式分解 在上 在上 在上 一 不可约多项式 定义1设且若不能 不能表示成数域上两个次数比低的多项 乘积 则称为数域上的不可约多项式 否则 称为数域上的可约多项式 1 定义 说明 一个多项式是否不可约依赖于系数域 不 可约多项式前提是次数大等于1 问题 数域上 不是不可约的多项式是否必是可约多项式 一次多项式总是不可约多项式 上多项式 常值多项式 零多项式 非零常值多项式 即零次多项式 次数大等1 不可约多项式 可约多项式 证 假设在上可约 则存在 使其中 令 则 其中且 这与在上不可约矛盾 故在上不可约 2 性质 在上不可约 必有或 则 思考 对于次数大等于1的多项式 命题2 3的逆命题是否成立 二 因式分解及唯一性定理 若 则可 唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积 所谓唯一性是说 若有两个分解式 定理1 则 且适当排列因式的次序后 有 其中是一些非零常数 标准分解式 若 则总可表成 其中为的首项系数 为互不相同的 首项系数为1的不可约多项式 称之为 的标准分解式 说明 若已知两个多项式的标准分解式 则可直接写出 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性 但并未给出一个具体的分解多项式的方法 实际上 对于一般的情形普通可行的分解 多项式的方法是不存在的 而且在有理数域上 多项式的可约性的判定都是非常复杂的
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