高斯(Gauss)求积公式.ppt

数值分析 前面介绍的n 1个节点的Newton Cotes求积公式 其特征是节点是等距的 这种特点使得求积公式便于构造 复化求积公式易于形成 但同时也限制了公式的精度 n是偶数时 代数精度为n 1 n是奇数时 代数精度为n 我们知道n 1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n 设想 能不能在区间 a b 上适当选择n 1个节点x0 x1 x2 xn 使插值求积公式的代数精度高于n 答案是肯定的 适当选择节点 可使公式的精度最高达到2n 1 这就是本节所要介绍的高斯求积公式 第四节高斯 Gauss 求积公式 数值分析 数值分析 考虑更一般形式的数值积分问题 定义 若求积公式对一切不高于m次的多项式p x 都等号成立 即R p 0 而对于某个m 1次多项式等号不成立 则称此求积公式的代数精度为m 一 构造高斯型求积公式的基本原理和方法 数值分析 数值分析 定理1 设节点x0 x1 xn a b 则求积公式的代数精度最高为2n 1次 分别取f x 1 x x2 xr代入公式 并让其成为等式 得 A0 A1 An ab1dx b ax0A0 x1A1 xnAn abxdx b2 a2 2 x0rA0 x1rA1 xnrAn abxrdxr br 1 ar 1 r 1 数值分析 数值分析 事实上 取2n 2次多项式g x x x0 2 x x1 2 x xn 2代入求积公式 这里x0 x1 xn是节点 有 左 右 故等式不成立 求积公式的代数精度最高为2n 1次 证毕 上式共有r 1个等式 2n 2个待定系数 变元 要想如上方程组有唯一解 应有方程的个数等于变元的个数 即r 1 2n 2 这样导出求积公式的代数精度至少是2n 1 下面证明代数精度只能是2n 1 数值分析 数值分析 定义 使求积公式达到最高代数精度2n 1的求积公式称为Guass求积公式 Guass求积公式的节点xk称为Guass点 系数Ak称为Guass系数 因为Guass求积公式也是插值型求积公式 故有结论 n 1个节点的插值型求积公式的代数精度d满足 n d 2n 1 数值分析 数值分析 例 选择系数与节点 使求积公式 1 成为Gauss公式 解 n 1 由定义 若求积公式具有3次代数精度 则其是Gauss公式 为此 分别取f x 1 x x2 x3代入公式 并让其成为等式 得 求解得 所求Gauss公式为 1 用待定系数法构造高斯求积公式 数值分析 数值分析 设Pn x n 0 1 2 为正交多项式序列 Pn x 具有如下性质 1 对每一个n Pn x 是n次多项式 n 0 1 2 正交性 3 对任意一个次数 n 1的多项式P x 有 4 Pn x 在 a b 内有n个互异零点 2 利用正交多项式构造高斯求积公式 数值分析 数值分析 定理2设x0 x1 xn是n 1次正交多项式Pn 1 x 的n 1个零点 则插值型求积公式 是Guass型求积公式 证明 只要证明求积公式的代数精确度为2n 1 即对任意一个次数 2n 1的多项式求积公式都精确成立 设f x 为任意一个次数 2n 1的多项式 则有f x q x Pn 1 x r x 满足f xk r xk 这里 Pn 1 x 是n 1次正交多项式 q x r x 均是次数 n的多项式 数值分析 数值分析 由性质3 及 4 式 有 由于n 1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n 故有 即对f x 为任意一个次数 2n 1的多项式求积公式都精确成立 证毕 数值分析 数值分析 利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤 代入积分式 因此 求积系数为 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 常用的高斯求积公式 1 Gauss Legendre求积公式 1 其中高斯点为Legendre多项式的零点 Guass点xk Guass系数Ak都有表可以查询 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 一般区间的Gauss Legendre求积公式 如果积分区间是 a b 用线性变换 这样就可以用Gauss Legendre求积公式计算一般区间的积分 将积分区间从 a b 变成 1 1 由定积分的换元积分法有 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 例利用高斯求积公式计算 解 令x 1 2 1 t 则用高斯 Legendre求积公式计算 取n 4积分精确值为I ln2 0 69314718 由此可见 高斯公式精确度是很高的 数值分析 数值分析 例 分别用不同方法计算如下积分 并做比较 各种做法比较如下 1 用Newton Cotes公式当n 1时 即用梯形公式 I 0 9270354当n 2时 即用Simpson公式 I 0 9461359当n 3时 I 0 9461090当n 4时 I 0 9460830当n 5时 I 0 9460830 I准 0 9460831 数值分析 数值分析 2 用复化梯形公式令h 1 8 0 1253 用复化辛卜生公式令h 1 8 0 125 I准 0 9460831 数值分析 数值分析 4 用Romberg公式KTnSnCnRn00 920735510 93979330 946145920 94451350 94608690 940083030 94569060 94608330 94608310 9460831 I准 0 9460831 数值分析 数值分析 5 用Gauss公式解 令x t 1 2 I准 0 9460831 2 用3个节点的Gauss公式 1 用2个节点的Gauss公式 数值分析 数值分析 算法比较 此例题的精确值为0 9460831 由例题的各种算法可知 对Newton cotes公式 当n 1时只有1位有效数字 当n 2时有3位有效数字 当n 5时有7位有效数字 对复化梯形公式有2位有效数字 对复化辛卜生公式有6位有效数字 用复合梯形公式 对积分区间 0 1 二分了11次用2049个函数值 才可得到7位准确数字 用Romberg公式对区间二分3次 用了9个函数值 得到同样的结果 用Gauss公式仅用了3个函数值 就得到结果 数值分析 数值分析 2 Gauss Chebyshev公式 常用的高斯求积公式 数值分析 数值分析 3 Gauss Laguerre公式 数值分析 数值分析 4 Gauss Hermite公式 数值分析 数值分析 二 高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析 数值分析 数值分析 已知Hermite插值误差是 因为对2n 1次多项式求积公式准确成立 即 代入上式 即有 数值分析 数值分析 以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 将积分区间 a b n等分 在每个小子区间上使用一个节点数较少的Gauss型求积公式 然后把它们加起来 就得到整个区间上Gauss型求积公式的复化形式 复化Gauss求积公式的基本思想 下面用Gauss Legender求积公式推导复化Gauss型求积公式 将积分区间 a b n等分 三 复化Gauss求积公式 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 例如 用2点的Gauss Legender求