2020届全国100所名校高三数学（理）模拟金典试题三答案

数学 理科 所名校高考模拟金典卷 数学 三 分钟 分 一 选择题 本题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 若复数 满足 是虚数单位 则 的虚部为 答案 命题意图 本题考查复数的相等与复数的虚部 解题分析 故 的虚部为 集合 则集合 中元素的个数为 答案 命题意图 本题考查交集中元素的个数 解题分析 作出 与 的图象可知两个函数有两个公共点 故集合 中元素的个 数为 年全国 卷 已知 则 答案 命题意图 本题考查平面向量的坐标运算 考查运算求解能力 解题分析 因为 且 所以 若双曲线 的渐近线方程为 则 的两个焦点坐标为 槡 槡 槡 槡 答案 命题意图 本题考查双曲线的渐近线与焦点 解题分析 双曲线 的渐近线方程为 槡 解得 双曲线方程为 双曲线 的两个焦点坐标为 槡 归因导学 错 学 错点错因 不能正确求出双曲线的焦点坐标混淆 的关系 不能判断焦点所在坐标轴 对应学法 应记忆的知识 双曲线的标准方程以及渐近线方程 应理解的概念 渐近线方程为 槡 双曲线焦点的判断 数学 理科 下表是某电器销售公司 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表 空调类冰箱类小家电类其它类 营业收入占比 净利润占比 则下列判断中不正确的是 该公司 年度冰箱类电器销售亏损 该公司 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 该公司 年度净利润主要由空调类电器销售提供 剔除冰箱类销售数据后 该公司 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 答案 命题意图 本题考查统计图表与实际问题 考查数据分析能力 解题分析 该公司 年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量 不知道相应的总量 无法比较 故 项错误 项均正确 运行如图所示的程序框图 则输出的 值为 答案 命题意图 本题考查程序框图 解题分析 第一次循环 第二次循环 第三次循环 第四次循环 不满足 输出 函数 其中 为自然对数的底数 的图象大致为 答案 命题意图 本题考查函数图象的识别与判断 解题分析 当 时 则 当 时 则 所以函数 的图象恒在 轴 下方 故选 项 将函数 的图象向左平移 个单位长度后 得到函数 的 图象关于 轴对称 则 答案 命题意图 本题主要考查三角函数的图象与性质 数学 理科 试题解析 因为 图象关于 轴对称 所以 因为 所以 已知 则下列大小关系不正确的是 答案 命题意图 本题考查指数函数与幂函数的单调性的应用 解题分析 和 均为增函数 又 在 为增函数 与 的大小关系不能确定 故 项不正确 我国南北朝时期数学家祖暅 提出了著名的祖暅原理 缘幂势既同 则积 不容异也 幂 是截面积 势 是几何体的高 意思是两等高几何体 若在 每一等高处的截面积都相等 则两几何体体积相等 已知某不规则几何体 与右侧三视图所对应的几何体满足 幂势既同 其中俯视图中的圆弧为 圆周 则该不规则几何体的体积为 答案 命题意图 本题考查数学史与三视图 解题分析 根据三视图知 该几何体是三棱锥与 圆锥的组合体 如图所示 则该组合体的 体积为 所以对应不规则几何体的体积为 如图 圆柱的轴截面为正方形 为弧 靠近点 的三等分点 则异面 直线 与 所成角的余弦值为 槡 槡 槡 槡 答案 命题意图 本题考查圆柱与异面直线的夹角 试题解析 取 的中点 连接 则 设 则 槡 所以 槡 槡 因为 所以异面直线 与 所成角即 为 在 中 槡 槡 年全国 卷 已知椭圆 的焦点为 过 的直线与 交于 两点 若 则 的方程为 数学 理科 答案 命题意图 本题考查椭圆的性质与定义的应用 考查数形结合的数学思想与运算求解能力 解题分析 由题可设 于是 则 再由椭圆定义知 得 则 由 得 槡 则 槡 二 填空题 本题共 小题 每小题 分 共 分 把答案填在题中的横线上 设 满足约束条件 则 的取值范围为 答案 命题意图 本题考查线性规划 解题分析 作出不等式组 表示的平面区域 图略 平移直线 可得 的取值范围是 槡 的展开式中的常数项为 用数字作答 答案 命题意图 本题考查二项式定理 解题分析 槡 的展开式的通项公式为 槡 令 得 故常数项为 高三 班某一学习小组的 四位同学 周五下午参加学校的课外活动 在课外活 动时间中 有一人在打篮球 有一人在画画 有一人在跳舞 另外一人在散步 不在散步 也不在打篮球 不在跳舞 也不在散步 在散步 是 在跳舞 的充 分条件 不在打篮球 也不在散步 不在跳舞 也不在打篮球 若以上命题都是真命题 则 在 答案 画画 命题意图 本题考查推理证明 解题分析 由 可知 都不散步 必有 在散步 由 可知必有 在跳舞 由 可知 不在 打篮球 因此 在画画 故答案为画画 已知 中 角 所对的边分别是 且 当 时 的周长为 答案 数学 理科 命题意图 本题考查解三角形的综合 解题分析 当 时 结合 和余弦定理可得 即 的周长为 三 解答题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 题为必考题 每个 试题考生都必须作答 第 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 分 本小题满分 分 已知等差数列 的前 项和为 且满足关于 的不等式 的解集 为 求数列 的通项公式 若数列 满足 求数列 的前 项和 命题意图 本题考查数列与不等式 解题分析 依题意可得 且 所以 则 解得 故 分 分 本小题满分 分 在四棱锥 中 槡 若点 为 的中点 求证 平面 当平面 平面 时 求二面角 的余弦值 命题意图 本题考查线面平行与求二面角 解题分析 取 的中点 连接 由已知得 为等边三角形 槡 又 平面 平面 平面 为 的中点 为 的中点 又 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 分 连接 设 连接 由对称性知 为 的中点 且 平面 平面 平面 以 为坐标原点 的方向为 轴正方向 建立空间直角坐标系 数学 理科 则 槡 易知平面 的一个法向量为 设平面 的法向量为 则 槡 槡 槡 槡 令 槡 得 槡 槡 槡 设二面角 的大小为 由图知 为锐角 则 槡 分 本小题满分 分 已知在平面直角坐标系中 为坐标原点 抛物线 的方程为 过抛物线 的焦点 且与 轴垂直的直线交曲线 于 两点 经过曲线 上任意一 点 作 轴的垂线 垂足为 求证 过点 的直线与抛物线 交于 两点且 求抛物线 的 方程 命题意图 本题考查抛物线的相关知识 试题解析 设 从而 分 由条件 可知 联立直线 和抛物线 的方程 有 得 设 由韦达定理得 由 有 则 可得 所以抛物线 分 本小题满分 分 为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的范围值内 某制药厂在该 药品的生产过程中 检验员一天按照规定每间隔 小时对该药品进行检测 每天检测 次 每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取 件产品进行检测 测量其主要药理成分含 量 单位 根据生产经验 可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药 理成分含量服从正态分布 假设生产状态正常 记 表示某次抽取的 件产品中其主要药理成分含量在 之外的药品件数 求 精确到 及 的数学期望 在一天内的四次检测中 如果有一次出现了主要药理成分含量在 之外的 药品 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况 需对本次的生产过程 进行检查 下面是检验员在某次抽取的 件药品的主要药理成分含量 数学 理科 经计算得 槡 槡 其中 为抽取的第 件药品的主要药理成分含量 用样本平均数 作为 的估计值 用样本标准差 作为 的估计值 利用估计值判断是否需对本次的生产过 程进行检查 附 若随机变量 服从正态分布 则 命题意图 本题考查二项分布与正态分布 解题分析 抽取的一件药品的主要药理成分含量在 之内的概率为 从而主要药理成分含量在 之外的概率为 故 分 因此 的数学期望为 分 由 得 的估计值为 的估计值为 由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分含量 在 之外 此时 需对本次的生产过程进行检查 分 本小题满分 分 已知函数 若 在区间 上不是单调函数 求实数 的取值范围 若对任意 都有 恒成立 求实数 的取值范围 命题意图 本题考查函数的单调性与恒成立问题 解题分析 由 得 因 在区间 上不是单调函数 所以 在 上最大值大于 最小值小于 故 分 由 得 且等号不能同时取 即 恒成立 即 令 求导得 当 时 从而 在 上是增函数 即 分 二 选考题 共 分 请考生在第 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 选修 坐标系与参数方程 本小题满分 分 在平面直角坐标系中 已知曲线 与曲线 为参数 以坐标 原点为极点 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 数学 理科 写出曲线 的极坐标方程 已知在极坐标系中 与 的公共点分别为 当 时 求 的值 命题意图 本题考查极坐标方程及其应用 解题分析 曲线 的极坐标方程为 即 槡 曲线 的普通方程为 即 所以