正弦定理余弦定理应用举例.ppt

1 2 正余弦定理应用举例 正弦定理 正弦定理的一些常见变形 余弦定理 角化边公式 斜三角形的解法 用正弦定理求出另一对角 再由A B C 180 得出第三角 然后用正弦定理求出第三边 正弦定理 余弦定理 正弦定理 余弦定理 由A B C 180 求出另一角 再用正弦定理求出两边 用余弦定理求第三边 再用余弦定理求出一角 再由A B C 180 得出第三角 用余弦定理求出两角 再由A B C 180 得出第三角 一边和两角 ASA或AAS 两边和夹角 SAS 三边 SSS 两边和其中一边的对角 SSA 解三角形时常用结论 二 判断三角形形状 1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量 距离问题 高度问题 角度问题 计算面积问题 航海问题 物理问题等 2 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线叫仰角 目标视线在水平视线叫俯角 如图 上方 下方 2 方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的方位角为 如图 正北 A C B 51o 55m 75o 测量距离 题型一与距离有关的问题要测量对岸A B两点之间的距离 选取相距km的C D两点 并测得 ACB 75 BCD 45 ADC 30 ADB 45 求A B之间的距离 分析题意 作出草图 综合运用正 余弦定理求解 题型分类深度剖析 解如图所示在 ACD中 ACD 120 CAD ADC 30 AC CD km 在 BCD中 BCD 45 BDC 75 CBD 60 在 ABC中 由余弦定理 得 测量高度 例2 在200m高的山顶上 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30 60 则塔高为 解析作出示意图如图 由已知 在Rt OAC中 OA 200 OAC 30 则OC OA tan OAC 200tan30 在Rt ABD中 AD BAD 30 则BD AD tan BAD A 题型二与高度有关的问题 变式2如图所示 测量河对岸的塔高AB时 可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D 现测得 BCD BDC CD x 并在点C测得塔顶A的仰角为 求塔高AB 解在 BCD中 CBD 例3 在海岸A处 发现北偏东45 方向 距离Anmile的B处有一艘走私船 在A处北偏西75 的方向 距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile h的速度追截走私船 此时 走私船正以10nmile h的速度从B处向北偏东30 方向逃窜 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船 分析如图所示 注意到最快追上走私船且两船所用时间相等 若在D处相遇 则可先在 ABC中求出BC 再在 BCD中求 BCD 题型三与角度有关的问题 则有CD 10t BD 10t 在 ABC中 AB 1 AC 2 BAC 120 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cos BAC 1 2 22 2 1 2 cos120 6 BC 即 CBD 90 30 120 在 BCD中 由正弦定理 得 BCD 30 即缉私船北偏东60 方向能最快追上走私船 解 设缉私船用th在D处追上走私船 1 如图 一货轮航行到M处 测得灯塔S在货轮的北偏东15 与灯塔相距20海里 随后货轮按北偏西30 的方向航行30分钟后 又测得它在货轮的东北方向 则货轮的速度为 A 海里 小时 B 海里 小时 C 海里 小时 D 海里 小时 练习 解析 选B 由题意知 NMS 15 30 45 MNS 60 45 105 由正弦定理得 4 2010 泰州模拟 如图 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为 沿BE方向前进30米至C处测得顶端A的仰角为2 再继续前进米至D处 测得顶端A的仰角为4 则 的值为 A 15 B 10 C 5 D 20 解题提示 解答本题的关键是将 放在某一三角形中 借助正 余弦定理确定 的值 就本题而言 在 ACD中 三边可求 利用正弦定理可求出cos2 的值 进而确定 的值 解析 选A 由条件知 ADC中 ACD 2 ADC 180 4 AC BC 30 AD CD 二 填空题 每小题3分 共9分 6 2010 珠海模拟 如图 海平面上的甲船位于中心O的南偏西30 与O相距10海里的C处 现甲船以30海里 小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船 甲船需要 小时到达B处 解析 由题意 对于CB的长度 由余弦定理 得CB2 CO2 OB2 2CO OBcos120 100 400 200 700 CB 甲船所需时间为小时 答案 例4 如图所示 已知半圆的直径AB 2 点C在AB的延长线上 BC 1 点P为半圆上的一个动点 以DC为边作等边 PCD 且点D与圆心O分别在PC的两侧 求四边形OPDC面积的最大值 题型四正 余弦定理在平面几何中的综合应用 解设 POB 四边形面积为y 则在 POC中 由余弦定理得PC2 OP2 OC2 2O