高考复习专题力与圆类问题下附答案详解.ppt

专题四 力与圆类问题 下 一 命题趋向与考点 圆周运动的角速度 线速度和向心加速度是近年高考的热点 又大多与电磁场结合起来综合考查 与实际应用和与生产 生活 科技联系命题已经成为一种命题的趋向 带电粒子在电磁场中的匀速圆周运动 与相应的力学知识 电磁学知识紧密联系 由粒子的受力特点寻找粒子的运动特点 或由运动特点分析受力情况 利用圆周的数学知识求出轨道半径与几何尺寸的关系式以及圆心角 偏转角 在复合场中除洛仑兹力外 其余力的合力大小必为零 二 知识概要与方法 带电粒子垂直磁场方向进入匀强磁场 在不计重力的情况下 只受洛仑兹力 因洛仑兹力方向总是与速度方向垂直 所以洛仑兹力不改变速度大小 只改变速度方向 在洛仑兹力提供向心力的情况下 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动 由牛顿第二定律得 所以轨道半径为 周期为 研究带电粒子在磁场中作匀速圆周运动问题的关键是找圆轨迹的圆心 定圆轨迹的半径和画圆轨迹 找圆心的方法 已知粒子进出磁场的方向时 根据左手定则判断出粒子在入射点和出射点的洛仑兹力方向 两个力的方向的交点即为圆轨迹的圆心 若粒子进出磁场的方向相反 则圆心在入射点和出射点连线的中点上 如图所示 P Q点为粒子进磁场和出磁场的点 O为圆心 已知入射方向和出射点的位置时 可以先判断出粒子在入射点的洛仑兹力方向 再连接入射点和出射点 并作其中垂线 它与洛仑兹力的方向的交点即为圆心 已知粒子在磁场中经过的任意两点时 先作两点连线的中垂线 则圆心一定在中垂线上 但不能唯一确定 2 半径的计算方法 直接由 得 利用平面几何关系求解 h R 或 v v O V V O 2 利用几何关系求解 应使用以下关系 粒子进出磁场的速度方向的夹角等于粒子转过的 的2倍 如图所示 从同一直线边界射入和射出的同一粒子 速度方向与直线边界的所夹的锐角或钝角相等 在圆区域磁场中 沿半径方向射入的粒子一定会沿半径方向射出 2 3 粒子在磁场中运动时间的确定 若粒子转过的圆心角为 则粒子在磁场中运行的时间为 T为周期 1 电场力作用下的圆周运动问题 例1 如图所示 一摆长为L的摆 摆球质量为m 带电量为 q 如果在悬点A放一正电荷q 要使摆球能在竖直平面内做完整的圆周运动 则摆球在最低点的速度最小值应为多少 解 摆球运动到最高点时 受到重力mg 库仑力 绳的拉力T作用 由向心力公式可得 由于T 0 所以有 由于摆在运动过程中 只有重力做功 故机械能守恒 据机械能守恒定律得 解得 例2 如图所示 沿水平方向有一匀强电场 在该电场中 用不可伸长的长为L的绝缘细绳一端拴一个带电小球 另一端固定在O点 已知带电小球所受重力是其受电场力的3 4倍 且小球恰能在平行于电场方向的竖直平面内做圆周运动 求小球在最低点A处速度的大小和运动过程中最大速度的大小 解 分析小球受力 其最大速度在平衡位置处 tg Eq mg 4 3 530 F 5mg 3 设球在C点时速度为VC 由圆周运动规律得 球由A点运动到C点 则 例3 如图所示 空间存在宽度为L的无限长的匀强磁场区域 磁感应强度为B 一个带电粒子质量为m 电量为 q 垂直磁场边界射入磁场中 若该带电粒子能从磁场右侧边界射出 则该带电粒子的初速度应满足什么条件 粒子的重力不计 L 2 洛仑兹力作用下的圆周运动问题 解析 当入射速率很小时 粒子会在磁场中转动一个半圆后又从左边界射出 速率越大 轨道半径越大 当轨道与右边界相切时 粒子恰好不能从右边界射出 如图所示 粒子恰好射出时 由几何知识可得 r L 又 可得 则 L 300 解析 当入射速率很小时 粒子会在磁场中转动一段圆弧后又从左边界射出 速率越大 轨道半径越大 当轨道与右边界相切时 粒子恰好不能从右边界射出 如图所示 粒子恰好射出时 由几何知识可得 r rcos300 L 则 可得 又 例4 如图所示 空间存在宽度为L的无限长的匀强磁场区域 磁感应强度为B 一个带电粒子质量为m 电量为 q 沿与磁场左边界成300角垂直射入磁场 若该带电粒子能从磁场右侧边界射出 则该带电粒子的初速度应满足什么条件 粒子的重力不计 例5 04广东 如图 真空室内存在匀强磁场 磁场方向垂直于纸面向里 磁感应强度的大小B 0 60T 磁场内有一块平面感光板ab 板面与磁场方向平行 在距ab的距离L 16cm处 有一个点状的放射源S 它向各个方向发射 粒子 粒子的速度都是v 4 8x106m s 已知 粒子的电荷与质量之比q m 5 0 x107C kg现只考虑在图纸平面中运动的 粒子 求ab上被 粒子打中的区域的长度 s a b L 解 粒子带正电 故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动 用R表示轨道半径 有 由此得 代入数值得R 16cm 可见 R l 因朝不同方向发射的 粒子的圆轨迹都过S 由此可知 某一圆轨迹在图中ab上侧与ab相切 则此切点P1就是该粒子能打中的上侧最远点 s a b P1 再考虑ab的下侧 任何 粒子在运动中离S的距离不可能超过2R 以2R为半径 S为圆心作圆 交ab于ab下侧的P2点 此即下侧能打到的最远点 P2 由图中几何关系所求长度 N L 例5 04广东 如图 真空室内存在匀强磁场 磁场方向垂直于纸面向里 磁感应强度的大小B 0 60T 磁场内有一块平面感光板ab 板面与磁场方向平行 在距ab的距离L 16cm处 有一个点状的放射源S 它向各个方向发射 粒子 粒子的速度都是v 4 8x106m s 已知 粒子的电荷与质量之比q m 5 0 x107C kg现只考虑在图纸平面中运动的 粒子 求ab上被 粒子打中的区域的长度 例6 在某一真空空间内建立xoy坐标系 从原点O处向第 象限发射一比荷q m 1 104C kg的带正电的粒子 重力不计 速度大小 0 l03m s 方向与z轴正方向成300角 1 若在坐标系y轴右侧加有匀强磁场区域 在第 象限 磁场方向垂直xoy平面向外 在第 象限 磁场方向垂直xoy平面向里 磁感应强度均为B 1T 如图 a 所示 求粒子从O点射出后 第2次经过x轴时的坐标x1 a 300 300 1 粒子在x轴上方和下方的磁场中做半径相同的匀速圆周运动 其运动轨迹如图 a 所示 设粒子的轨道半径r 有 代入数据得r 0 1m 由几何关系知x坐标为x1 2r 0 2m a 2 若将上述磁场改为如图 b 所示的匀强磁场 在t 0到t 10 4s时 磁场方向垂直于xoy平面向外 在t 10 4s到t 10 4s时 磁场方向垂直于xoy平面向里 此后该空间不存在磁场 在t 0时刻 粒子仍从O点以与原来相同的速度 0射入 求粒子从O点射入后第2次经过x轴时的坐标x2 t 10 4 B T 1 1 o b o x y 解 2 设粒子在磁场中的圆周运动的周期为 代入数据得 据题意 知粒子在t 0到 内在磁场中转过得圆弧所对的圆心角为 粒子的运动轨迹应如图 b 所示 b 1200 o 到 内在磁场中转过的圆弧所对得圆心角为 粒子的运动轨迹应如图 b 所示 同理在 x2 b 1200 由几何关系得 x2 6r 0 6m x2 例7 2004全国三 一匀磁场 磁场方向垂直于xy平面 在xy平面上 磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内 一个质量为m 电荷量为q的带电粒子 由原点O开始运动 初速为v 方向沿x正方向 后来 粒子经过y轴上的P点 此时速度方向与y轴的夹角为300 P到O的距离为L 如图所示 不计重力的影响 求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R r r A R 由图中几何关系得L 3r 求得 图中OA的长度即圆形磁场区的半径R 由图中几何关系可得 解 粒子在磁场中受各仑兹力作用 做匀速圆周运动 设其半径为r 例8 05天津 正电子发射计算机断层 PET 是分子水平上的人体功能显像的国际领先技术 它为临床诊断和治疗提供全新的手段 1 PET在心脏疾病诊疗中 需要使用放射正电子的同位素氮13示踪剂 氮13是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氧16获得的 反应中同时还产生另一个粒子 试写出该核反应方程 2 PET所用回旋加速器示意如图 其中置于高真空中的金属D形盒的半径为R 两盒间距为d 在左侧D形盒圆心处放有粒子源S 匀强磁场的磁感应强度为B 方向如图所示 质子质量为m 电荷量为q 设质子从粒子源S进入加速电场时的初速度不计 质子在加速器中运动的总时间为t 其中已略去了质子在加速电场中的运动时间 质子在电场中的加速次数于回旋半周的次数相同 加速质子时的电压大小可视为不变 求此加速器所需的高频电源频率f和加速电压U 3 试推证当Rd时 质子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计 质子在电场中运动时 不考虑磁场的影响 3 复合场中的圆周运动问题 解 1 核反应方程为 2 设质子加速后最大速度为v 由牛顿第二定律有 qvB mv2 R 质子的回旋周期 质子加速后的最大动能Ek mv2 设质子在电场中加速的次数为n 则Ek nqU 又 可解得 3 在电场中加速的总时间为 在D形盒中回旋的总时间为 故 即当R d时 t1可忽略不计 例9 在水平桌面上水平放置一个半径R 0 5m的绝缘不光滑圆槽 小球可在槽中滑动 槽的宽度远小于半径R 如图 甲 所示 设小球质量m 1 0 10 3kg 所带电荷量q 5 0 10 3C 空间存在着方向竖直向下的匀强磁场 当磁感应强度的大小随时间的变化如图 乙 所示时 槽所在处产生感应电场 感应电场的电场强度E BR 2 t 方向如图 甲 中虚线所示 为半径为R 逆时针方向 俯视 的闭合同心圆 小球沿电场线方向第一次滑到A点时 磁感应强度B0 0 8T 此时槽的内 外壁均不受压力 当小球经0 2s转过一周第二次到达A点时 槽外壁所受的压力为N 3 0 10 3N 求 1 小球第一次到达A点时速度v0的大小 2 小球第二次到达A点时速度vt的大小 3 小球从第一次到达A点开始 滑行一周的过程中感应电场力做的功 4 小球从第一次到达A点开始 滑行一周的过程中摩擦力所做的功 1 第一次到达A点 有 qv0B0 mv02 R 2 第二次到达A点 有 qvtBt FN mvt2 R 3 第一次至第二次到达A点 电场力做功为W电 2Eq R 3 9 10 3J 4 第一次至第二次到达A点 动能定理有mv12 2 mv02 2 2Eq R W摩 解 Vt 3m s W摩 1 4 10 3J 例10 正负电子对撞机的最后部分的简化示意如图a所示 俯视图 位于水平面内的粗实线所示的圆环形真空管道是正 负电子作圆运动的 容器 经过加速器加速后的正 负电子被分别引入该管道时 具有相等的速率v 它们沿管道向相反的方向运动 在管道内控制它们转变的是一系列圆形电磁铁 即图中的A1 A2 A3 An 共n个 均匀分布在整个圆周上 图中只示意性地用细实线画了几个 其余的用细虚线表示 每个电磁铁内的磁场都是匀强磁场 并且磁感应强度都相同 方向竖直向下 磁场区域都是直径为d的圆形 改变电磁铁内电流的大小 就可改变磁场的磁感应强度 从而改变电子偏转的角度 经过精确的调整 首先实现电子在环形管道中沿图中粗虚线所示的轨道运动 这时电子经过每个电磁铁时射入点和射出点都在电磁铁的同一条直径的两端 如图b所示 这就为进一步实现正 负电子的对撞作好了准备 1 试确定正 负电子在管道内各是沿什么方向旋转的 2 定性说明正 负电子在管道内所通过的轨迹的形状 3 已知正 负电子的质量都是m 所带电荷都是元电荷e 重力可不计 求电磁铁内匀强磁场的磁感应强度B的大小 解 1 正电子运动方向在a图中是沿逆时针方向 负电子运动方向在a图是是沿顺时针方向 2 正 负电子在管道内经过磁场时的轨迹是圆弧 在磁场外轨迹是直线 其整个轨迹是圆弧与直线组成的闭合轨迹 上页 下页 3 电子经过1个电磁铁 偏转角度是如图c示 c 射入电磁铁时与通过射入点的直径夹角为 2 电子在电磁铁内作圆运动的半径R mv eB 由图所示可知 题目 上页 归纳小结 处理带电粒子在磁场中做圆周运动问题的一般思路和方法 1 判断带电粒子运动性质是否是圆周运动 2 找出圆心的轨迹并求出半径 3 利用圆规沿粒子的运动或旋转方向画运动轨迹 处理非匀速圆周运动的方法 1 寻找非匀速圆周运动中的临界点 2 分析临界点的受力和运动特点 利用牛顿定律建立方程 求出临界条件 3 在非匀速圆周运动的不同位置之间 利用功能关系建立方程 1 03全国 K 介子衰变的方程为K 0其中K 介子和 介子带负电的基元电荷 0介子不带电 一个K 介子沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场中 其轨迹为圆弧AP 衰变后产生 介子的轨迹为圆弧PB 两轨迹在P点相切 它们的半径Rk和R 之比为2 1 0介子的轨迹未画出 由此可知 介子的动量与 0的动量大小之比为A 1 1B 1 2C 1 3D 1 6 C 2 04北京 如图所示 正方形区域abcd中充满匀强磁场 磁场方向垂直纸面向里 一个氢核从ad边的中点m沿着既垂直于ad边又垂直于磁场的方向 以一定速度射入磁场 正好从ab边中点n射出磁场 若将磁场的磁感应强度变为原来的2倍 其他条件不变 则这个氢核射出磁场的位置是A 在b n之间某点B 在n a之间某点C a点D 在a m之间某点 C v 3 04全国2 如图所示 在y 0的空间中存在匀强电场 场强沿y轴负方向 在y 0的空间中 存在匀强磁场 磁场方向垂直xy平面 纸面 向外 一电量为q 质量为m的带正电的运动粒子 经过y轴上y h处的点P1时速率为v0 方向沿x轴正方向 然后 经过x轴上x 2h处的P2点进入磁场 并经过y轴上y 2h处的P3点 不计重力 求 l 电场强度的大小 2 粒子到达P2时速度的大小和方向 3 磁感应强度的大小 解 1 粒子在电场 磁场中运动的轨迹如图所示 设粒子从P1到P2的时间为t 电场强度的大小为E 粒子在电场中的加速度为a 由牛顿第二定律及运动学公式有Eq ma v0t 2h 由 式解得 2 粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0 以v1表示速度沿y方向分量的大小 v表示速度的大小 表示速度和x轴的夹角 则有 由 式得v1 v0 由 式得 3 设磁场的磁感应强度为B 在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动 由牛顿第二定律 r是圆周的半径 此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2 P3 因为OP2 OP3 450 由几何关系可知 连线P2P3为圆轨道的直径 由此可求得r 由 可得 4 04全国3 空间中存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场 磁感应强度为B 一带电量为 q 质量为m的粒子 在P点以某一初速开始运动 初速方向在图中纸面内如图中P点箭头所示 该粒子运动到图中Q点时速度方向与P点时速度方向垂直 如图中Q点箭头所示 已知P Q间的距离为l 若保持粒子在P点时的速度不变 而将匀强磁场换成匀强电场 电场方向与纸面平行且与粒子在P点时速度方向垂直 在此电场作用下粒子也由P点运动到Q点 不计重力 求 1 电场强度的大小 2 两种情况中粒子由P运动到Q点所经历的时间之差 解 1 粒子在磁场中做匀速圆周运动 以v0表示粒子在P点的初速度 R表示圆周的半径 则有qv0B mv02 R 由于粒子在Q点的速度垂直它在p点时的速度 可知粒子由P点到Q点的轨迹为 圆周 故有 以E表示电场强度的大小 a表示粒子在电场中加速度的大小 tE表示粒子在电场中由p点运动到Q点经过的时间 则有qE ma R v0tE 2 因粒子在磁场中由P点运动到Q点的轨迹为 圆周 故运动经历的时间tE为圆周运动周期T的 即有tE T 而 由 和 式得 由 两式得 由以上各式得 5 04天津理综 钍核 发生衰变生成 镭核 并放出一个粒子 设该粒子的质量为m 电荷量为q 它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极S1和S2间电场时 其速度为v0 经电场加速后 沿ox方向进入磁感应强度为B 方向垂直纸面向外的有界匀强磁场 ox垂直平板电极S2 当粒子从p点离开磁场时 其速度方向与ox方位的夹角 600 如图所示 整个装置处于真空中 1 写出钍核衰变方程 2 求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R 3 求粒子在磁场中运动所用时间t 解 1 钍核衰变方程 2 设粒子离开电场时速度为v 对加速过程有 粒子在磁场中有 联立得 3 粒子做圆周运动的回旋周期 粒子在磁场中运动时间 联立得 6 05年浙江 如图 在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场 磁感应强度的大小为B 磁场方向垂直于纸面向里 许多质量为m带电量为 q的粒子 以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向 由小孔O射入磁场区域 不计重力 不计粒子间的相互影响 下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域 其中 哪个图是正确的 A 8 05全国 图中MN表示真空室中垂直于纸面的平板 它的一侧有匀强磁场 磁场方向垂直纸面向里 磁感应强度大小为B 一带电粒子从平板上的狭缝O处以垂直于平板的初速v射入磁场区域 最后到达平板上的P点 已知B v以及P到O的距离l 不计重力 求此粒子的电荷q与质量m之比 解 粒子初速v垂直于磁场 粒子在磁场中受洛伦兹力而做匀速圆周运动 设其半径为R 由洛伦兹力公式和牛顿第二定律 有qvB mv2 R 因粒子经O点时的速度垂直于OP 故OP是直径 l 2R由此得 9 05广东 如图所示 在一个圆形区域内 两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域 中 A2A4与A1A3的夹角为60 一质量为m 带电量为 q的粒子以某一速度从 区的边缘点A1处沿与A1A3成30 角的方向射入磁场 随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入 区 最后