结构力学第三章静定梁与静定钢架.ppt

基本要求 掌握结构的支座反力的计算 结构的剪力和轴力计算的两种方法 内力图的形状特征和绘制内力图的叠加法 熟练掌握绘制弯矩图各种技巧 能迅速绘制弯矩图 理解恰当选取分离体和平衡方程计算静定结构内力的方法与技巧 会根据几何组成寻找求解途径 第三章静定梁与静定刚架 StaticallyDeterminateBeamandPlaneFrame 截面内力计算内力图的形状特征叠加法绘制弯矩图多跨静定梁内力图静定刚架内力图不求或少求反力画弯矩图弯矩图对误判别 1 平面杆件的截面内力分量及正负规定 轴力N normalforce 截面应力 stresses 沿轴线切向的合力 以拉力为正 压力为负 N N 剪力Q shearingforce 截面上应力沿轴线法向的合力 以绕隔离体顺时针转为正 Q Q 弯矩M bendingmoment 截面上应力对截面中性轴的力矩 不规定正负 但弯矩图画在拉侧 M M 图示均为正的轴力和剪力 3 1截面内力 inteernalforces 计算 2 截面内力计算方法 轴力 截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和 剪力 截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和 如外力绕截面形心顺时针转动 投影取正否则取负 弯矩 截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和 弯矩及外力矩产生相同的受拉边 举例1 举例2 截面法 截开 代替 平衡 内力的直接算式 举例1 返回 截面一边所有外力沿轴切向投影代数和 一边所有外力沿轴切向投影代数和 截面一边所有外力对截面形心取矩之和 例 求截面1 截面2的内力 N2 50 N1 141 0 707 100kN Q1 M1 125 下拉 50kN 141 cos45o 812 5kNm 141 0 707 10 50 5 5 2 5 Q2 141 sin45 100kN M2 5m 5m 5m 5m 2 1 5kN m 50kN 141kN 125kN m M2 375kN m 左拉 45 50 5 125 141 0 707 5 375kN m 5 5 141 0 707 25kN 50 1 2 dM dx Q微分关系给出了内力图的形状特征 N PX Q Py M m 增量关系说明了内力图的突变特征 3 积分关系 由微分关系可得 QB QA qydx MB MA Qdx 右端剪力等于左端剪力减去该段qy的合力 右端弯矩等于左端弯矩加上该段剪力图的面积 1 微分关系 3 2荷载与内力之间的关系 2 增量关系 dN dx qx dQ dx qy qy向下为正 内力图形状特征 无何载区段 均布荷载区段 集中力作用处 平行轴线 斜直线 Q 0区段M图平行于轴线 Q图 M图 备注 二次抛物线凸向即q指向 Q 0处 M达到极值 发生突变 P 出现尖点尖点指向即P的指向 集中力作用截面剪力无定义 集中力偶作用处 无变化 发生突变 两直线平行 m 集中力偶作用面弯矩无定义 零 平 斜 抛 q Q M q Q M q Q M q Q M 在自由端 铰支座 铰结点处 无集中力偶作用 截面弯矩等于零 有集中力偶作用 截面弯矩等于集中力偶的值 返回 50 20 2 10kN 10 50 10 2 2 50kN m 适用条件 AD段内无集中力作用 适用条件 AD段内无集中力偶作用 返回 1 简支梁情况 几点注意 弯矩图叠加 是指竖标相加 而不是指图形的拼合 竖标M 如同M M 一样垂直杆轴AB 而不是垂直虚线 利用叠加法绘制弯矩图可以少求一些控制截面的弯矩值 少求甚至不求支座反力 而且对以后利用图乘法求位移 也提供了把复杂图形分解为简单图形的方法 3 3叠加法 superpositionmethod 作弯矩图 举例 2 直杆情况 1 首先求出两杆端弯矩 连一虚线 2 然后以该虚线为基线 叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图 对于任意直杆段 不论其内力是静定的还是超静定的 不论是等截面杆或是变截面杆 不论该杆段内各相邻截面间是连续的还是定向联结还是铰联结弯矩叠加法均适用 举例 返回 4kN m 4kN m 4kN m 2kN m 4kN m 4kN m 6kN m 4kN m 2kN m 1 集中荷载作用下 2 集中力偶作用下 3 叠加得弯矩图 1 悬臂段分布荷载作用下 2 跨中集中力偶作用下 3 叠加得弯矩图 返回 ql2 2 ql2 4 ql2 8 qL qL M图 Q图 ql2 4 M图 kN m 55 5 D F 1m 16kN m 1m 2m 2m 1m Q图 kN 7 36 1 H CE段中点D的弯矩MD 28 8 36kN m 并不是梁中最大弯矩 梁中最大弯矩在H点 Mmax MH 36 1kN m 均布荷载区段的中点弯矩与该段内的最大弯矩 一般相差不大 故常用中点弯矩作为最大弯矩 M图 kN m 由QH QC qx 0可得 x QC q 9 4 2 25 m MH MC CH段Q图的面积 26 9 2 25 2 36 1 kN m 3 4简支斜梁计算 斜梁 由整体平衡 由分离体平衡可得 斜梁与相应的水平梁相比反力相同 对应截面弯矩相同 斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影 MB MA ql2 8 斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制 但叠加的是相应水平简支梁的弯矩图 竖标要垂直轴线 由基本部分及附属部分组成 将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分 不能独立平衡 其上外力的称为附属部分 附属部分是支承在基本部分的 要分清构造层次图 ABC DEFG是基本部分 CD GH是附属部分 3 5多跨静定梁 staticallydeterminatemulti spanbeam 桥梁示意图 计算简图 构造层次图 传力途径 多跨静定梁是主从结构 其受力特点是 力作用在基本部分时附属部分不受力 力作用在附属部分时附属部分和基本部分都受力 多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力 但为了避免解联立方程 应先算附属部分 再算基本部分 qa a a a 2a a a a q qa qa qa qa qa 4 7qa 4 qa 2 qa 2 qa 2 qa2 qa2 qa2 2 qa2 2 Q图 kN M图 kN m 50 M kN m 例 确定图示三跨连续梁C D铰的位置 使边跨的跨中弯矩与支座处的弯矩的绝对值相等 MG可按叠加法求得 解得 代入上式 解得 MG ql2 12 MB ql2 12 ql2 24 由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分 这不仅使中间支座处产生了负弯矩 它将降低跨中正弯矩 另外减少了附属部分的跨度 因此多跨静定梁较相应的多个简支梁弯矩分布均匀 节省材料 但其构造要复杂一些 演示 一 刚架的特点 刚架的内部空间大 便于使用 刚结点将梁柱联成一整体 增大了结构的刚度 变形小 刚架中的弯矩分布较为均匀 节省材料 几何可变体系 桁架 刚架 4 3静定刚架内力计算及内力图绘制 staticallydeterminateframe 返回 常见的静定刚架类型 1 悬臂刚架 2 简支刚架 3 三铰刚架 4 主从刚架 二 刚架的反力计算 要注意刚架的几何组成 1 悬臂刚架 简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出 2 三铰刚架的反力计算 整体平衡 左半边平衡 整体平衡 3kN 反力校核 C 如三铰结构是由三个单铰组成的 用整体 半边 整体的思路求其反力 如三铰结构中有虚铰时 就要具体问题具体分析 不能使用这种方法 三铰刚架的反力计算方法二 双截面法 整体 X 0 XA ql 左半边 Y 0 YA 0 右半边 Y 0 YB 0整体 Y 0 YA 0整体 MA 03qa a 2 XB a 0 XB 1 5qa 3 主从刚架求反力 需要分析其几何组成顺序 确定基本部分和附属部分 由附属部分ACD 由整体 校核 三 静定刚架内力计算及内力图绘制 求支座反力 求控制截面的内力 控制截面一般选在支承点 结点 集中荷载作用点 分布荷载不连续点 控制截面把刚架划分成受力简单的区段 求出各控制截面的内力值 根据每区段内的荷载情况 利用 零平斜弯 及叠加法作出内力图 求截面的Q N图有两种方法 一是由截面一边的外力来求 另一种方法是首先作出M图 然后取杆件为分离体 建立矩平衡方程 由杆端弯矩求杆端剪力 最后取结点为分离体 利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力 当刚架构造较复杂 如有斜杆 或者是外力较多时 计算内力较麻烦时 采用第二种方法 结点处有不同的杆端截面 各截面上的内力用该杆两端字母作为下标来表示 并把该端字母列在前面 注意结点的平衡条件 MDA QDC Y 0 Y 0 MA 0 QDC 6kNNDC 0MDC 24kN m 下拉 QDB 8kNNDB 6kNMDB 16kN m 右拉 X 8 8 0 Y 6 6 0 M 24 8 16 0 QDA 8kNNDA 0MDC 8kN m 左拉 8 16 24 MkN m 8 6 QkN NkN 6 作内力图 QDC 6kNNDC 0MDC 24kN m 下拉 QDB 8kNNDB 6kNMDB 16kN m 右拉 QDA 8kNNDA 0MDA 8kN m 左拉 刚架内力图绘制要点 分段 定形 求值 画图 1 整体平衡求反力如图 2 定形 3 求值 NCA qa 2 QCA qa qa 0 MCA qa2 2 里拉 NCB 0 QCB qa 2 MCB qa2 2 下拉 qa2 2 qa2 2 qa2 8 qa 2 qa qa 2 M图 N图 Q图 校核 满足 X 0 Y 0 M 0 在刚结点上 各杆端弯矩和结点集中力偶应满足结点的力矩平衡 尤其是两杆相交的刚结点 无结点集中力偶作用时 两杆端弯矩应等值 同侧受拉 例 试绘制下图所示刚架的弯矩图 RB O a 作刚架Q N图的另一种方法 首先作出M图 然后取杆件为分离体 建立矩平衡方程 由杆端弯矩求杆端剪力 最后取结点为分离体 利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力 a q A B C M图 MC qa2 2 QBCa 0QBC QCB qa 2 MC qa2 2 qa2 2 QACa 0QAC qa2 2 qa2 2 a qa MA 0QCA qa2 2 qa2 2 a 0 X 0 NCB 0 Y 0 NCA qa 2 N图 kN M图 kN m 3m 3m 3m A B q 4kN m 1 5m C D E Q图 kN MD 6 QCD 3 35 0QCD 1 79 kN QDC MC 6 3 4 1 5 3 35QEC 0QEC 7 16kN ME 6 3 4 1 5 3 35QCE 0QCE 3 58kN 3 13 5 82 求图示联合刚架的弯矩图 解 1 求反力 2 求内部约束力 取ABC 取BC 解 得 取ABC 同理可得右半部分的约束内力 8Pa 8Pa 2Pa 2Pa 16Pa 4Pa 可以不求反力 由自由端开始作内力图 ql ql2 2 2q 2q 6q 四 不求或少求反力绘制弯矩图根据结构特点和荷载特点 利用弯矩图与荷载 支承 联结之间的对应关系 可以不求或少求支座反力 迅速绘制出弯矩图 下面结合具体例子 说明快速绘制弯矩图的方法 1 悬臂刚架 2 简支型刚架弯矩图 简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出一个与杆件垂直的反力 然后由支座作起 ql2 2 qa2 2 qa2 2 注意 BC杆CD杆的剪力等于零 弯矩图于轴线平行 ql2 2 3 三铰刚架弯矩图 1反力计算 整体 MA qa2 2qa2 2aYB 0 1 右半边 MC 0 5qa2 2aXB aYB 0 2 解方程 1 2 可得XB 0 5qaYB 1 5qa 在由整体平衡 X 0解得XA 0 5qa Y 0解得YA 0 5qa 2绘制弯矩图 qa2 注 三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力 然后由支座作起 qa2 2 0 qa XA YA YB XB A C B a a a a M 2 M M 2 画三铰刚架弯矩图 注 1 三铰刚架仅半边有荷载 另半边为二力体 其反力沿两铰连线 对o点取矩可求出B点水平反力 由B支座开始作弯矩图 2 集中力偶作用处 弯矩图发生突变 突变前后两条线平行 3 三铰刚架绘制弯矩图时 关键是求出一水平反力 Mo m 2a XB 0 得XB M 2a a a a M A B C 三铰刚架弯矩图 整体对O点建立平衡方程得 MO ql 1 5l 2lXA 0得XA 3ql 4 RB ql2 4 qa2 qa2 qa2 2 qa2 2 M图 kN m 绘制弯矩图时 可以利用弯矩图与荷载 支承及连结之间的对应关系 不求或只求部分约束力 4 主从结构 80kN 20kN 120 90 120 60 180 62 5 M图kM m 仅绘M图 并不需要求出全部反力 然后先由A B支座开始作弯矩图 先由AD Y 0得YA 80kN 再由整体 X 0得XB 20kN MEA 80 6 20 6 2 120 5 定向支座处 定向连接处剪力等零 剪力等零杆段弯矩图平行轴线 注意这些特点可以简化支座反力计算和弯矩图绘制 XA ql YA 0 M A a a a q B 4 5qa2 M图 Ph Ph Ph 2Ph 右半边 Y 0YB 0 YA 0整体 MA 03qa a 2 XB a 0XB 1 5qa 求绘图示结构的弯矩图 ql2 1 5ql2 0 9ql2 ql2 6 对称性的利用 对称结构 symmetricalstructure 几何形状 支撑和刚度都关于某轴对称的结构 但是 由于静定结构的内力与刚度无关 所以 只要静定结构的形状 支撑对称 就可利用对称性进行内力计算 荷载的对称性 对称荷载 symmetricalload 绕对称轴对折后 对称轴两边的荷载作用点重合 值相等 方向相同 所以 在大小相等 作用点对称的前提下 与对称轴垂直反向布置 与对称轴平行同向布置 与对称轴重合的荷载是对称荷载 反对称荷载 antisymmetricalload 绕对称轴对折后 对称轴两边的荷载作用点重合 值相等 方向相反 所以 在大小相等 作用点对称的前提下 与对称轴垂直同向布置的荷载 与对称轴平行反向布置的荷载 垂直作用在对称轴上的荷载 位于对称轴上的集中力偶是反对称荷载