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第五讲原函数与不定积分Cauchy积分公式解析函数的高阶导数 1 原函数与不定积分的概念2 积分计算公式 3 4原函数与不定积分 1 原函数与不定积分的概念 由 2基本定理的推论知 设f z 在单连通区域B内解析 则对B中任意曲线C 积分 cfdz与路径无关 只与起点和终点有关 当起点固定在z0 终点z在B内变动 cf z dz在B内就定义了一个变上限的单值函数 记作 定理设f z 在单连通区域B内解析 则F z 在B内解析 且 上面定理表明是f z 的一个原函数 设H z 与G z 是f z 的任何两个原函数 2 积分计算公式 定义设F z 是f z 的一个原函数 称F z c c为任意常数 为f z 的不定积分 记作 定理设f z 在单连通区域B内解析 F z 是f z 的一个原函数 则 此公式类似于微积分学中的牛顿 莱布尼兹公式 但是要求函数是解析的 比以前的连续条件要强 例1计算下列积分 解1 解2 例3计算下列积分 小结求积分的方法 利用Cauchy Goursat基本定理在多连通域上的推广 即复合闭路定理 导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式 该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式 从而成为研究解析函数的有力工具 而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法 内容简介 3 5Cauchy积分公式 分析 猜想积分 定理 Cauchy积分公式 证明 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 例1 解 例2 解 例3 解 内容简介 本节研究解析函数的无穷次可导性 并导出高阶导数计算公式 研究表明 一个解析函数不仅有一阶导数 而且有各阶导数 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示 这一点与实变函数有本质区别 6解析函数的高阶导数 形式上 以下将对这些公式的正确性加以证明 定理 证明用数学归纳法和导数定义 依次类推 用数学归纳法可得 一个解析函数的导
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