第1章解三角形复习教案

1 / 20 第 1 章解三角形复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址文 章来源 m 教学设计 整体设计 教学分析 首先了解新课标对本章的定位解三角形作为三角系列的最后一章，突出了基础性、选择性与时代性本章重在研究三角形边角之间的数量关系，如正弦定理、余弦定理等正弦定理、余弦定理更深刻地反映了三角形的度量本质，成为解三角形的主要工具 本章的数学思想方法是一条看不见的暗线，数学思想方法是数学的精髓在初中，教科书着重从空间形式定性地讨论三角形中线段与角之间的位置关 系，本章主要是定量地揭示三角形边、角之间的数量关系，从而较清晰地解决了三角形的确定性问题本章对两个定理的推导引入中十分强调这一量化思想方法，并选择了更有教育价值的正弦定理和余弦定理的证明方法本章中融合了学生已学过的大部分几何知识，将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何背景，为学生理解数学中的量化思想，进一步学习数学奠定了基础 三维目标 1熟练掌握三角形中的边角关系 2 / 20 2通过本节学习，要求对全章有一个清晰的认识，熟练掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中 的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力 3注重思维引导及方法提炼，展现学生的主体作用，关注情感的积极体验，加强题后反思环节，提升习题效率，激发学生钻研数学的热情、兴趣和信心 重点难点 教学重点：掌握正、余弦定理及其推导过程并且能用它们解斜三角形 教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用，及将实际问题转化为数学问题并正确地解出这个数学问题 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 (直接引入 )本节课我们将对全章的 知识、方法进行系统的归纳总结；系统掌握解三角形的方法与技巧由此展开新课的探究 推进新课 新知探究 提出问题 3 / 20 本章我们学习了哪些知识内容？请画出本章的知识结构图 解斜三角形要用到正弦定理、余弦定理，那么正弦定理、余弦定理都有哪些应用？ 在解三角形时应用两个定理要注意些什么问题？若求一个三角形的角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，怎样选择较好？ 本章中解三角形的知识主要应用于怎样的一些问题？ 总结从初中到高中测量河流宽度和物体高度的方法 . 活动：教师引导学生画出本章知识框图，教师打出课件演示： 从图中我们很清晰地看出本章我们学习了正弦定理、余弦定理以及应用这两个定理解三角形，由于本章内容实践性很强，之后又重点研究了两个定理在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用教师与学生一起回忆正弦定理、余弦定理的内容及应用如下： 正弦定理、余弦定理： asinA bsinB csinc， a2 b2 c2 2bccosA， b2 c2 a2 2accosB， 4 / 20 c2 a2 b2 2abcosc. 正弦定理、余弦定理的应用： 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 已知两角和任一边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 (从而进一步求出其他的边和角 ) 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 已知三边，求三个角； 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 在求解一个三角形时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，要尽量选择运算量 较小，不产生讨论的方法求解若求边，尽量用正弦定理；若求角，尽量用余弦定理 除了正弦定理、余弦定理外，我们还学习了三角形面积公式S 12bcsinA 12acsinB 12absinc，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积 教师利用多媒体投影演示课件如下： 解斜三角形时可用的 定理和公式适用类型备注 余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA b2 a2 c2 2accosB c2 b2 a2 2bacosc(1)已知三边 5 / 20 (2)已知两边及其夹角类型 (1)(2)有解 时只有一解 正弦定理 asinA bsinB csinc 2R (3)已知两角和一边 (4)已知两边及其中一边的对角类型 (3)在有解时只有一解，类型 (4)可有两解、一解和无解 三角形面积公式 S 12bcsinA 12acsinB 12absinc (5)已知两边及其夹角 教师点拨学生，以上这些知识与初中的边角关系、勾股定理等内容构成三角形内容的有机整体实际上，正弦定理只是初中 “ 三角形中大角对大边，小角对小边 ” 的边角关系的量化余弦定理是初中 “ 已知两边及其夹 角，则这两个三角形全等 ” 的量化，又是勾股定理的推广本章的应用举例也是在初中学习的一些简单测量的基础上，应用了正弦定理、余弦定理解关于斜三角形的问题 在应用两个定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题时，需注意以下几点： 在利用正弦定理求角时，由于正弦函数在 (0， ) 内不严6 / 20 格单调，所以角的个数可能不唯一，这时应注意借助已知条件加以检验，务必做到不漏解，不多解 在运用正弦定理与余弦定理进行有关三角形内角证明时，余弦定理会省去取舍的麻烦，但同时要注意在根据三角函数求角时，应先确定其范围 在进行边角，角边转换时，注意运用正弦定理和余弦定理的变形形式 讨论结果： (1)、 (2)、 (5)略 (3)在应用两个定理求解时，注意与平面几何知识的融合若求解一个三角形时两个定理都可用，则求边宜选正弦定理，求角宜选余弦定理，但要具体问题具体分析，从中选择最优解法 (4)本章知识主要应用测量、航海、建筑等在日常生活中与三角形有关的问题 应用示例 例 1 判断满足下列条件的三角形形状 (1)acosA bcosB； (2)sinc sinA sinBcosA cosB. 活动：教师与学 生一起探究判定三角形形状的方法有哪些学生思考后可得出确定三角形的形状主要有两条途径：(1)化边为角， (2)化角为边鼓励学生尽量一题多解，比较7 / 20 各种解法的优劣 解： (1)方法一：用余弦定理，得 ab2 c2 a22bc bc2 a2 b22ca. c2(a2 b2) a4 b4 (a2 b2)(a2 b2) a2 b2 或 c2 a2 b2. 三角形是等腰三角形或直角三角形 方法二：用正弦定理，得 sinAcosA sinBcosB， sin2A sin2B. A 、 B 为三角形的内角 ， 2A 2B 或 2A 2B 180. A B 或 A B 90. 因此三角形为等腰三角形或直角三角形 (2)方法一：先用正弦定理，可得 c a bcosA cosB，即ccosB a b. 再用余弦定理，得 ca2c2 b22ac a b. 化简并整理，得 a3 b3 a2b ab2 ac2 bc2 0， (a b)(a2 b2 c2) 0. a 0， b 0， a2 b2 c2 0，即 a2 b2 c2. 三角形为直角三角形 方法二： sinA sin(B c)， sinB sin(A c)， 原式可化为 sincsinc sinA sinB sin(B c) sin(A c) 8 / 20 sinBcosc cosAsinc. sinBcosc 0， 即 cosc(sinA sinB) 0. 0 A 180 ， 0 B 180 ， sinA sinB0.cosc 0. 又 0 c 180 ， c 90. 三角形为直角三角形 点评：第 (1)题中的第 2 种解法得出 sin2A sin2B 时，很容易直接得出 2A 2B，所以 A B.这样就漏掉了一种情况，因为 sin2A sin2B 中有可能推出 2A 与 2B 两角互补，这点应引起学生注意第 (2)题中绕开正、余弦定理通过三角函数值的符号判定也是一种不错的选择，但学生不易想到，因此熟悉三角形中 sinA sin(B c)， cosA cos(B c)等常见结论对解三角 形大有益处 变式训练 ABc 的三内角 A、 B、 c 的对边边长分别为 a、 b、 c.若 a 52b， A 2B，则 cosB 等于 ( ) 答案： B 解析：由题意得 ab 52 sinAsinB sin2BsinB 2cosB，cosB 54. 9 / 20 例 2 在 ABc 中，若 ABc 的面积为 S，且 2S (a b)2 c2，求 tanc 的值 活动：本题涉及三角形的面积，面积公式又是以三角形的三边 a、 b、 c 的形式给出，从哪里入手考虑呢？教师可先让学生自己探究，学生可能会想到将三角形面积公式代入已知条件，但三 角形面积公式 S 12absinc 12acsinB 12bcsinA有三个，代入哪一个呢？且代入以后的下一步方向又是什么呢？显然思路不明这时教师适时点拨可否化简等式右边呢？这样右边为 (a b)2 c2 a2 b2 c2 2ab.用上余弦定理即得 a2 b2 c2 2ab 2abcosc 2ab，这就出现了目标角 c，思路逐渐明朗，由此得到题目解法 解：由已知，得 (a b)2 c2 a2 b2 c2 2ab 2abcosc 2ab 212absinc. 2(1 cosc) sinc， 22co s2c2 2sinc2cosc2. 0 c 180 ， 0 c2 90 ，即 cosc20. tanc2 2.tanc 2tanc21 tan2c2 41 4 43. 点评：通过对本题的探究，让学生认识到拿到题目后不能盲目下手，应先制定解题策略，寻找解题切入口 变式训练 在 ABc 中， tanA 14， tanB 35. 10 / 20 (1)求角 c 的大小； (2)若 AB 边的长为 17，求 Bc 边的长 解： (1)c 180 (A B)， tanc tan(A B) 14 351 1435 1. 又 0 c 180 ， c 135. (2)tanA sinAcosA 14， sin2A cos2A 1,0 A90 ， sinA 1717. 由正弦定理，得 ABsinc BcsinA， Bc ABsinAsinc 2. 例 3 将一块圆心角为 120 ，半径为 20cm 的扇形铁片裁成一块矩形，有如图 (1)、 (2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径 oA 上，或让矩形一边与弦 AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值 活动：本题是北京西城区的一道测试题，解题前教师引导学生回忆前面解决实际问题的方法步骤，让学生清晰认识到解决本题的关键是建立数学模型，然后用相关的数学知识来解决 解： 按图 (1)的裁法：矩形的一边 oP 在 oA 上，顶点 m 在圆弧上，设 moA ，则 |mP| 20sin ， |oP| 20cos ，从而 S11 / 20 400sincos 200sin2 ，即当 4 时， Smax 200. 按图 (2)的裁法：矩形的一边 PQ 与弦 AB 平行，设 moQ ，在 moQ 中， oQm 90 30 120 ， (1) (2) 由正弦定理，得 |mQ| 20sinsin120 4032sin. 又因为 |mN| 2|om|sin(60 ) 40sin(60 ) ， 所以 S |mQ|mN| 160033sinsin(60 ) 160033 12cos60 cos(2 60) 80033cos(2 60) cos60 所以当 30 时， Smax 40033. 由于 40033 200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为 40033cm2. 点评：正弦定理、余弦定理在测量 (角度、距离 )、合理下料、设计规划等方面有广泛应用从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决 变式训练 设 ABc 的内角 A、 B、 c 所对的边长分别为 a、 b、 c，且acosB 3， bsinA 4. 12 / 20 (1)求边长 a； (2)若 ABc 的面积 S 10，求 ABc 的周长 l. 解： (1)由 acosB 3 与 bsinA 4，两式相除，得 34 acosBbsinA asinAcosBb bsinBcosBb cosBsinB. 又 acosB 3，知 cosB 0， 则 cosB 35， sinB 45. 则 a 5. (2)由 S 12acsinB 10，得 c 5. 由 cosB a2 c2 b22ac 35， 解得 b 25.故 ABc 的周长 l a b c 10 25. 知能训练 1在 ABc 中，若 b 2a， B A 60 ，则 A _. 2在 ABc 中， A 、 B 、 c 所对的边分别为 a、 b、 c，设 a、 b、 c 满足条件 b2 c2 bc a2， cb 12 3，求 A和 tanB 的值 答案： 1 30 解析：由正弦定理，知 asinA bsinB， 1sinA 2sin ， 2sinA sin(A 60) 12sinA 32cosA. tanA 33.0 A 180 ， A 30. 13 / 20 2解：由余弦定理和已知条件，得 cosA b2 c2 a22bc bc2bc 12， 0 A 180 ， A 60 ，且 B 180 A c 120 c. 由正弦定理和已知条件，得 sincsinB sin120 BsinB 3cosB sinB2sinB 3cosB2sinB 1212 3， tanB 12. 所求 A 60 ， tanB 12. 课本本章小结巩固与提高 1 8. 课堂小结 先由学生总结本节课对全章的复习都有哪些收获和提高？解决本章的基本问题都有哪些体会？可让若干学生在课堂上介绍自己的复习心得 教师进一步画龙点睛，总结解题思路： (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘 作业 1巩固与提高 9 12 2自测与评估 1 7 设计感想 本教案设计注重了优化知识结构，进一步加深对知识的巩14 / 20 固在此过程中，学生对思想方法的领悟也更具深刻性；注重对学生抽象思维、发散思维的培养训练通过一题多解训练了学生对事物现象选择角度地观察，从而把握事物的本质 本教案设计意图还按照习题的内容分类处理进行；注重了思维引导及方法提炼，展现了学生的主体作用，关 注学生愉悦情感的积极体验，深挖了三角形本身内在美的价值，意在激发学生强烈的探究欲望，培养学生积极的向上心态 备课资料 一、与三角形计算有关的定理 1半角定理 在 ABc 中，三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系： tanA2 1p ap bp， tanB2 1p bp bp， tanc2 1p cp bp， 其中 p 12(a b c) 证明： tanA2 sinA2cosA2，因为 sinA2 0， cosA2 0， 所以 sinA2 1 cosA2 121 b2 c2 a22bc 15 / 20 a2 a b c4bc. 因为 p 12(a b c)，所以 a b c 2(p b)， a b c 2(p c) 所以 sinA2 p cbc. 而 cosA2 1 cosA2 121 b2 c2 a22bc2 a24bc 4bc pbc， 所以 tanA2 sinA2cosA2 p bp ap c 1p ap bp. 所以 tanA2 1p ap cp. 同理，可得 tanB2 1p bp bp， tanc2 1p cp bp. 16 / 20 从上面的证明过程中，我们可以得到用三角形的三条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式： sinA2 pbpabc. 同理，可得 sinB2 pcpbab， cosB2 ppcab. 2用三角形的三边表示它的内角平分线 设在 ABc 中 (如图 )，已知三边 a、 b、 c，如果三个角 A、 B和 c 的平分线分别是 ta、 tb 和 tc，那么，用已知边表示三条 内 角 平 分 线 的 公 式 是 ： ta 2b cbcpp a； tc 2a babp，其中 p 12(a bc) 证明：设 AD 是角 A 的平分线，并且 BD x， Dc y，那么，在 ADc 中，由余弦定理，得 ta2 b2 y2 2bycosc， 根据三角形内角平分线的性质，得 cb xy，所以 c bb x yy. 因为 x y a，所以 c bb ay.所以 y abb c. 17 / 20 将 代入 ， 得 ta2 b2 (abb c)2 2b(abb c)cosc b22b2 c2 2bc a2 2a(bc)cosc 因为 cosc a2 b2 c22ab， 所以 ta2 b22a2 b2 c2 2bc2a(b c)a2 b2 c22ab bc2(b2 c2 2bc a2) bc2(a b c)(b c a) bc2(p a)4bcp(p a) 所以 ta 2b cbcp. 同理，可得 tb 2a cacp， tc 2a babp. 这就是已知三边求三角形内角平分线的公式 3用三角形的三边来表示它的外接圆的半径 设在 ABc 中，已知三边 a、 b、 c，那么用已知边表示外 接圆半径 R 的公式是 R abcpp b. 证明：因为 R a2sinA， S 12bcsinA，所以 sinA 2Sbc. 所以 R a2sinA abc4S abcpp a. 18 / 20 二、备选习题 1在 ABc 中， A、 B、 c 的对边分别为 a、 b、 c， abc 335 ，则 2sinA sinBsinc 等于 ( ) A 15B不是常数 2 ABc 的周长等于 20，面积是 103， A 60 ， A 的对边为 ( ) A 5B 6c 7D 8 3在 ABc 中， AB 3， Ac 2， Bc 10，则 ABAc等于 ( ) A 32B 4已知在 ABc 中， B 30 ， b 6， c 63，则 a_， SABc _. 5在 ABc 中，角 A、 B、 c 所对的边分别为 a、 b、 c.若 (3b c)cosA acosc，则 cosA _. 6对 ABc ，有下面结论： 满足 sinA sinB 的 ABc 一定是等腰三角形； 满足 sinA cosB 的 ABc 一定是直角三角形； 满足 asinA bsinB c 的 ABc 一定是直角三角形则上述结论正确命题的序号是 _ 7在 ABc 中， D 在边 Bc 上，且 BD 2， Dc 1， B 60 ，ADc 150 ，求 Ac 的长及 ABc 的面积 8在 ABc 中，已知角 A、 B、 c 的对边分别为 a、 b、 c，且bcosB ccosc acosA，试判断 ABc 的形状 19 / 20 参考答案： 1 c 解析：设 a 3k，则 b 3k， c 5k.2sinA sinBsinc 2a bc 23k 3k5k 35. 2 c 解析： a b c 20，