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文档简介

例3已知函数f x x2 分别计算函数f x 在区间 1 3 1 2 1 1 1 1 1 001 上的平均变化率 例4已知函数f x 2x 1 g x 2x 分别计算在区间 3 1 0 5 上函数f x 及g x 的平均变化率 思考从例4的求解中 你能发现一次函数y kx b在区间 m n 上的平均变化率有什么特点吗 1 从几何直观分析 切线斜率问题的讨论是将背景从数学外部移向数学内部 1 1 2瞬时变化率 导数 如何精确地刻画曲线上一点处的变化趋势呢 如果将点P附近的曲线放大后进行观察 我们发现 曲线在点P附近看上去有点像是直线 如果将点P附近的图形放大再放大 我们发现 曲线在点P附近的曲线看上去几乎成了直线 事实上 如果继续放大 可以发现点P附近的曲线将接近 逼近 一条确定的直线l 该直线l是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线 1 曲线上一点处的切线 因此 在点P附近我们可以用这条直线l来代替曲线 也就是说 在点P附近 曲线可以看作直线 即在很小范围内以直代曲 既然点P附近的曲线被看作直线l 从而可用直线l的斜率刻画曲线经过点P时上升或下降的 变化趋势 微积分的基本思想 以直代曲 寻找这样的直线 探究如图所示 直线l1 l2为经过曲线上一点P的两条直线 1 试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线 2 在点P附近能作出一条比l1 l2更加逼近曲线的直线l3吗 3 在点P附近能作出一条比l1 l2 l3更加逼近曲线的直线l4吗 怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢 如图 设Q为曲线C上不同于P的一点 这时直线PQ称为曲线的割线 随着点Q沿曲线C向点P运动 割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C 当点Q无限逼近点P时 直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l 这条直线l也称为曲线在点P处的切线 利用这种合割线逼近切线的方法 我们
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