线性时不变系统的变换分析.ppt

第五章线性时不变系统变换分析 TransformAnalysisofLinearTime InvariantSystems 5 0引言傅立叶变换 z变换分析LTI系统LTI系统 单位脉冲响应h n 频率响应H ej h n 傅立叶变换 存在 收敛 H z h n z变换 傅立叶变换推广 收敛LTI系统 h n H ej H z Y ej H ej X ej Y z H z X z H z 系统函数 systemfunction 5 1LTI系统的频率响应频率响应 系统对指数输入 特征函数 ej n的复增益 特征值 系统的输入输出关系 频域 Y ej H ej X ej H ej 幅度响应 增益 H ej 相位响应 相移5 1 1理想频率选择性滤波器 H ej 对不同频率的值决定了输出在响应频率上的值 理想低通滤波器 选取信号的低频成分 抑制信号的高频成分其响应的单位脉冲响应 理想高通滤波器 c 频率无失真通过 c以下频率不予通过理想滤波器 1 h n 无限长 非因果 计算上不可实现 2 相位响应为零因果性 非零相位响应 5 1 2相位失真和延迟 phasedistortionanddelay 理想延迟系统 相位失真 线性相移 一种轻微的失真 产生序列上的移位 延迟失真 不产生波形上的变形 近似理想滤波器设计 线性相位响应 理想模型例 具有线性相位的理想低通滤波器 具有线性相位的理想频率选择性滤波器 分隔输入信号频带 频率选择 输出延迟nd群延迟 groupdelay 相位特性线性程度的一种度量定义 含义 对窄带输入x n s n cos 0n s n 为包络 0载波频率即X ej 仅在 0附近为非零系统的相位效果 在 0附近 即系统的输出 包络的延迟 相位特性导数的负值 非因果 例子 衰减和群延迟的效果 5 2用线性常系数差分方程表征系统的系统函数理想频率选择性滤波器 近似 逼近 一类频率选择性滤波器考虑由线性常系数差分方程表示的一类系统 对于初始松弛 initialrest 的辅助条件 因果 线性 时不变z变换 分析 描述 线性常系数差分方程 表示系统 的性质 特征方程两边z变换 系统函数 或差分方程 系统函数系数直接对应关系 零极点形式 例 5 2 1稳定性和因果性对一个系统函数H z 对应于一个差分方程 线性时不变 不同的收敛域 不同的单位脉冲响应h n 因果 稳定的条件 线性时不变系统 ROC是一个圆的外部 且包括单位圆也就意味着 系统函数的全部极点在单位圆内5 2 2逆系统 InverseSystems 定义 与系统H z 级联后的总系统函数 G z H z Hi z 1时域 g n h n hi n n 频率响应 并不是所有系统都有逆系统 如理想低通滤波器没有逆系统表示 无法恢复被理想滤波器滤去的频率分量 具有有理系统函数的一类系统 零极点 互换逆系统的收敛 卷积定理表示 H z 和Hi z 收敛域重合 不要求完全相同 若H z 因果 收敛域为 上式收敛域内某个重合区域即Hi z 的收敛域 例子1 一阶系统的逆系统Hi z 收敛域的两者可能 z 0 5和 z 0 5重合的收敛域 z 0 5相应的单位脉冲响应 例子2 逆系统 收敛域的两种可能 z 2和 z 2都与 z 0 9重合都是有效的逆系统 推论 H z 为因果系统 零点是ck k 1 M 当且仅当Hi z 的收敛域为 逆系统一定因果 若同时要求逆系统稳定 Hi z 的收敛域必须包括单位圆 即表示H z 的全部零点在单位圆内 当且仅当H z 的零点和极点都在单位圆内时 稳定因果系统 稳定因果逆系统定义为 最小相位系统 minimum phasesystems 5 2 3有理系统函数的单位脉冲响应H z 作z反变换 部分分式法 h n 一阶极点的有理系统函数 若系统因果 可得 若至少存在一个非零极点 h n 无限长 IIR系统若除z 0外 没有极点h n 有限长 FIR系统 FIR系统 差分方程 卷积例子 一个简单的FIR系统 h n 为无限长指数序列的截断其系统函数分子的零点 若a为正实数 系统的极点 z a 被一个零点抵消 M 7 5 3有理系统函数的频率响应频率响应 e j 变量频率响应 幅度相位群延迟 零极点关系 表示 用z ej 代入H z 得频率响应幅度 采用幅度平方函数 或幅度表示 全部零点到单位圆上的幅度 随频率变化 乘积 全部极点到单位圆上的幅度 随频率变化 乘积 1 cke j ej ck ej ej ck 为矢量ej ck的长度 而矢量ej ck是矢量ej 与矢量ck之差 图示 对数表示 称为增益 相位响应 零点相位和与极点相位和之差 不包括常数项 群延迟 或表示为 引入相位的主值 相位用主值表示为 r 是某个正或负的整数 相位函数的主值可以用频率响应的实部和虚部计算 5 3 1单个零点或极点的频率响应幅度 相位 群延迟 零极点的贡献之和考虑零极点的单一因式 ak rej 表示零点或极点r和 表示零点或极点在z平面的幅值和相位 图示 幅度平方 主值相位 群延迟 例 r 0 9 0 2 时对数幅度 相位和群延迟随频率 的变化曲线 幅度函数 从图中及上式可见 1 附件急剧下陷 2 r不变时 对数幅度是 的函数 频率轴上的平移 3 对数幅度的最大值出现在 4 对数幅度的最小值出现在 0 即 相位函数 1 时相位为零 2 对于一定的r 相位函数只是简单地随 不同而平移 群延迟 1 相位在 附近大的正斜率对应于群延迟最大的负峰值 几何图表示频率响应一阶系统函数 极点 z 0零点 z rej 频率响应 三个矢量 v1 ej v2 rej v3 v1 v2 ej rej 每个零极点代表的矢量 零极点到单位圆 随 变化 频率响应的幅度为 v1 1上式等于 v3 相位为从图中可见 当 时矢量长度最小 幅度函数下降 z 0的极点矢量v1 其长度始终为1 不随 变化 不影响幅度 时的零极点图 两个不同频率 的幅度和相位v3最大 0 减小 增加 最小 相角变化 时相等 相角为零单个因式 1 rej e j 与r的关系 情况 5 3 2多个零极点的例子由有理系统函数 系统频率响应例5 8二阶IIR系统零点 z 0 二阶零点 极点 一对共轭极点 z rej 和z re j 增益 相位和群延迟分别为 幅度响应 r 0 9 4 例5 9二阶FIR系统单位脉冲响应和系统函数分别为 是上例的倒数 曲线图负值 零点和极点互换 例5 10三阶IIR系统三个零点 其中一对共轭零点 三个零点均在单位圆上 三个极点 其中一对共轭极点极点的配置 总的对数幅频特性 题中的低通滤波器特性 零点的配置 抑制幅频特性 实现频率选择 相位的跳变 主值单位圆上零点 5 4幅度和相位之间的关系一般情况下 频率响应的幅度函数 相位函数无关对于线性常系数差分方程描述的系统 有理系统函数 幅度函数 相位函数某种制约关系幅频特性和零极点个数确定 相位特性有限种选择 2 相位特性和零极点个数确定 幅频特性有限种选择 除幅度加权因子 3 最小相位系统 幅度函数 相位函数唯一确定 除幅度加权因子 上述的关系 可以归结为 频率响应的幅度平方特性 系统函数的可能选择 考虑将幅度平方特性表示为 系统函数限制为有理形式 则 定义复函数C z 频率响应的幅度平方为C z 在单位圆上的求值 表明 如果 H ej 2已知 用z代替ej C z 全部可能的H z H z 中的极点dk C z 中的极点dk和 共轭倒数对H z 中的零点ck C z 中的零点ck和 共轭倒数对每共轭倒数对零极点 一个 H z 相联系另一个 相联系一个在单位圆内另一个在单位圆外若零极点为不在单位圆上的复数 则4个零极点同时存在 如果H z 为因果稳定 全部极点在单位圆内 H z 的极点 C z 的极点但H z 的零点则不能从C z 的零点中唯一确定 最小相位系统 本节讨论的问题转化为 由C z H ej 2 构造出H z 可能类型 唯一性 例5 11具有相同C z 的系统两个稳定的系统 分别的零极点图 相应的C1 z 和C2 z 为 由于分子中所以C1 z C2 z 零极点图为 例5 12根据C z 的零极点图 确定与H z 有关的零极点 共轭倒数对零极点 极点 系统因果稳定 则P1 P2 P3零点 复数共轭对 Z3或Z6和 Z1 Z2 或 Z4 Z5 4种不同的因果稳定的H z 三个极点 三个零点相同的频率响应幅度特性 零极点数的限定假定H z 有一个如下的因子 全通因子即容易证明 表示全通因子相抵消 不能从C z 的零极点中辨别出来 零极点不限定 任意个全通因子级联 5 5全通系统 all passsystems 全通系统的系统函数 频率响应 分子 分母互为共轭 幅度相等 因此 Hap ej 1 全部频率成分都通过全通系统的一般形式 dk实数极点 ck复数极点 共轭成对 零 极点数 M 2Mc Mr 例 Mr 2 Mc 1每一个极点与一个共轭倒数零点配对因果全通系统 单位圆内单极点 共轭倒数零点全通系统的相位函数 例5 13一阶和二阶全通系统极点 系统1 z 0 9 0 r 0 9 系统2 z 0 9 r 0 9 二阶全通系统 极点z 0 9e j 4 结论 因果全通系统的相位arg Hap ej 是非正的 0 不考虑由计算主值产生的2 跳变 群延迟 稳定因果全通系统 r 1 对群延迟的贡献总是正的 从群延迟的正值性 相位函数的非正值性 全通系统的用途 相位失真的补偿 最小相位系统理论 数字滤波器变换 可变截止频率滤波器等 5 6最小相位系统 minimum phasesystems 有理系统函数的LTI系统 频率响应的幅度不能唯一表征若因果 稳定 极点在单位圆内 零点没有限制若其逆系统因果稳定 则系统的零极点在单位圆内 最小相位系统 零极点在单位圆内 逆系统因果稳定 最小相位 相位特性幅度平方函数 最小相位 系统唯一确定即由单位圆内的全部零极点组成5 6 1最小相位和全通分解与任意全通因子级联 不改变系统的幅频特性 不能唯一确定系统 一个结论 任何有理系统函数都能分解为最小相位系统与全通系统的级联 即H z Hmin z Hap z Hmin z 最小相位系统Hap z 全通系统 将H z Hmin z 单位圆外零点分离出去设H z 有一个单位圆外零点 z 1 c c 1 则H z 可表示为H z H1 z z 1 c H1 z 最小相位系统考虑到分离出最小相位系统的幅频特性与原系统一致 H z 的另一种表示形式 将分离出的单位圆外零点 z 1 c 以某种形式补回到单位圆内 即 1 cz 1 零点z c在单位圆内 与z 1 c 共轭倒数所以H1 z 1 cz 1 最小相位系统 与H z 的差别而 全通型系统 Hmin z H z 单位圆内全部零极点 单位圆外零点的共轭倒数零点Hap z H z 单位圆外零点 Hmin z 共轭倒数零点相抵消的极点这样的分离保证了H z 和Hmin z 具有相同的频率响应幅度 例5 14最小相位 全通分解两个因果稳定系统 系统1零极点 极点z 1 2 零点z 3 单位圆外 由零点的反射 共轭对称 c 1 3 全通分量为 最小相位分量 系统1可以表示为 最小相位与全通的级联 系统2零极点 一个实数极点 单位圆内 两个复数零点 单位圆外 将其表示为共轭倒数 最小相位分量再求出全通分量 5 6 2频率响应的补偿信号 经过系统 产生失真 如信号在信道传输过程中 补偿 逆系统Hc z 为Hd z 的逆系统两个系统的因果稳定性 Hd z 为最小相位系统Hd z 本身为最小相位系统 直接求逆系统Hd z 本身为非最小相位系统 先分解 再求逆系统即 选取补偿系统 Hd z 与Hdmin z 幅频特性相同 总系统函数为 相当于全通系统 起到幅频特性的补偿作用 例5 15FIR系统的补偿失真系统的系统函数和零极点分布图为 FIR系统只有零点 极点在原点 两个零点在单位圆外 反射到单位圆内得到最小相位系统 相应的全通系统 Hd z 的逆系统是不稳定的 而Hmin z 的逆系统则是稳定的 最小相位系统的频率相应 全通系统的频率相应曲线 5 6 3最小相位系统的性质最小相位 因果稳定 逆系统因果稳定最小相位含义 分析具有相同幅频响应的最小相位系统的特性 1 最小相位滞后性质对任何非最小相位系统都可以表示为 H ej Hmin ej Hap ej 最小相位系统Hmin z 的零极点都在单位圆内其相位可表示为 由前面的讨论 arg Hap ej 0在0 范围内 负的相位表示滞后 零点从单位圆内 反射 单位圆外共轭倒数 相位减少所有零点都在单位圆内Hmin ej 相位滞后最小 即 具有与H ej 相同幅度响应的Hmin ej 其相位滞后arg Hmin ej 是最小的 最小相位滞后系统 简称最小相位最小相位滞后系统的约束 H ej 0 0即h n 和 h n 的系统具有相同零极点 而 1表示相位改变 2 最小群延迟性质任何非最小相位系统的群延迟可表示为 与上相同 由于grd Hap ej 0 具有与H ej 相同幅度响应的Hmin ej 其群延迟grd Hmin ej 是最小的 3 最小能量延迟性质如图5 30零极点分布的FIR系统具有相同的频率响应幅度 零点互为共轭倒数 其中图5 30 a 对应于最小相位系统 相应的单位脉冲响应 比较可见 最小相位系统最左端的几个样本值如图中的h 0 h 1 比其它几个系统都要大 表示 最小相位系统具体最小的能量延迟 总能量相同 时域频域 5 7广义线性相位的线性系统最理想的滤波器 频率响应幅度恒定 相移为零 零相位特性 因果的滤波器 实际 非零相位线性相位 相移 波形整体延迟 恒定的群延迟 波形保持不失真而非线性相位 波形失真实际滤波器 真正或近似的线性相位系统5 7 1线性相位系统考虑一个LTI系统的频率响应 一个周期内 式中 为实数 系统称为理想延迟系统 idealdelaysystem 该系统具有恒定的幅度响应 线性相位和恒定的群延迟 单位脉冲响应 系统的输入 输出关系 如果 nd为整数 则有 表示 具有线性相位和单位增益 输出 输入nd个样本的移位 一般的具有线性相位的系统 可以看成零相位频率响应 H ejw 与理想延迟系统e j 的级联 若H ej 是如下线性相位理想低通滤波器 相应的单位脉冲响应 c 即为理想延迟系统 例5 16具有线性相位的理想低通滤波器频率响应 明确 线性相位分析其单位脉冲响应的特性 h n 图5 35 a 是 c 0 4 nd 5时的hlp n 可见当 是整数时 单位脉冲响应hlp n 是对n nd对称的 即 无限长 非因果 图5 35 b 是 c 0 4 4 5时的hlp n 整数再加半个样本延迟 同样可以证明 第三种情况是当 c 0 4 4 3 序列hlp n 没有对称性 无限长 非因果 结论 如果2 为整数 即 是整数或整数再加1 2 则单位脉冲响应是关于 偶对称 h 2 n h n 对称性 线性相位 恒定群延迟 无确定关系 5 7 2广义线性相位线性相位系统的频率响应 实值非负的 函数 H ej 与线性相位项e j 的乘积 相位的线性性完全与线性相位因子e j 相联系 另一种情况 实值的 函数A ej 与线性相位项e j 的乘积 实值的 函数A ej 有负值 即增添 的相位 非严格线性相位 但线性相位的很多优点也适用于这种情况 线性相位的定义与概念作适当推广 广义线性相位系统定义 实数 A ej 是 的实函数 有正 有负 相位 线性方程 同样具有恒定的群延迟一般的线性相位形式 广义线性相位系统单位脉冲响应的对称性讨论 频率响应可表示为 同时也可以用其定义来表示 H ej 相位的正切可表示为 交叉相乘并用三角恒等式合并 可得 恒定群延迟系统 h n 和 的一个必要条件 上述的方程式是一个隐式 无法根据方程求得一个线性相位系统 例如 满足方程的一组条件 用 0或 代入 方程变为 可以证明 如果2 是整数 h n 满足上式 上述方程中的各项就能配对 以使得组成的每一对对全部 都恒为零 这组条件隐含且A ej 是 的偶函数 另外 若 2或3 2 方程变为 可以证明 条件 满足上述方程 同时也表示且A ej 是 的奇函数 归纳 条件 h n 关于2 整数 奇对称或偶对称 h 2 n h n 方程只是对于具有恒定群延迟 广义线性相位 系统的一个必要条件 而非充分条件 即存在其他满足的系统不具有上述的对称条件 得出一个结论 若h n 关于2 整数 奇对称或偶对称 即h 2 n h n 则h n 必为线性相位或广义线性相位系统 恒定的群延时 当然 线性相位或广义线性相位系统 恒定的群延时 其h n 并不一定是关于2 整数 奇对称或偶对称 实际使用中 考虑到设计的方便将h 2 n h n 作为设计广义线性相位系统的条件 5 7 3因果广义线性相位系统上面讨论的具有奇偶对称性的h n 线性相位性 无限长 非因果 因果的必要条件可写为 再根据h n 的奇偶对称条件 可得 h n 0 nM结论 如果h n 的长度为 M 1 并满足奇对称或偶对称条件 则因果的FIR系统就具有广义线性相位 用式子表示 若 可以证明 Ae ej 是 的实 偶 周期函数 同样 若 就有 式中Ao ej 是 的实 奇 周期函数广义线性相位系统 FIR系统 关系 IIR系统 FIR广义线性相位系统的4种类型 1 h n h M n 0 n M M为偶整数频率响应 由对称性其中 2 h n h M n 0 n M M为奇整数频率响应 3 h n h M n 0 n M M为偶整数频率响应 4 h n h M n 0 n M M为奇整数频率响应 4种FIR线性相位系统的例子 例5 17第一种线性相位系统单位脉冲响应 频率响应 M 4 群延迟 2 例5 18第二种线性相位系统h n 延长一个样本 M 5 5 2频率响应 例5 19第三种线性相位系统 M 2 群延迟 1 例5 20第四种线性相位系统 M 1 群延迟 0 5 FIR线性相位系统的零点位置系统函数 对于h n 对称情况 第一 二种类型 如果z0是H z 的零点 那么 因为z0 M不为零 表示z0 rej 是零点 z0 1 r 1e j 也是H z 的零点 若h n 是实序列 z0 re j 以及 z0 1 r 1ej 也是H z 的零点 零点组 4个 零点在单位圆上 但不在实轴上情况 零点在实轴 但不在单位圆上情况 零点既在实轴 又在单位圆上情况 z 1 z 1情况M为偶数 H 1 H 1 M为奇数 H 1 H 1 H 1 0 z 1必定是系统的零点 对于h n 反对称情况 第三 四种类型 可以证明 零点的约束情况同上 但z 1和z 1情况有特殊意义 对z 1 有 H 1 H 1 无论M奇偶z 1必定是系统的零点 对z 1 H 1 1 M 1H 1 若 M 1 为奇 M为偶 H 1 H 1 z 1在M为偶数时必定是系统的零点 4种类型线性相位FIR系统零点分布图 第一种 第二种 第四种 第三种 零点的约束 设计FIR线性相位系统的重要性 频率响应的限制