程控制基础系统数学模型.ppt

机械工程控制基础 本章主要内容 概述 系统微分方程的建立 传递函数 方块图及动态系统的构成 信号流图与梅逊公式 2 重点 难点 一 数学模型的基本概念 1 数学模型 数学模型是描述系统输入 输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式 它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系 静态数学模型 静态条件 变量各阶导数为零 下描述变量之间关系的代数方程 动态数学模型 描述变量各阶导数之间关系的微分方程 2 建立数学模型的方法 分析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式 建立模型 人为地对系统施加某种测试信号 记录其输出响应 并用适当的数学模型进行逼近 这种方法也称为系统辨识 数学模型应能反映系统内在的本质特征 同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑 实验法 3 线性系统与非线性系统 1 线性系统 其系统的数学模型表达式是线性的 线性系统最重要的特性是可以运用叠加原理 线性系统 线性定常系统线性时变系统 系统在几个外加作用下所产生的响应 等于各个外加作用单独作用的响应之和 2 非线性系统 用非线性方程描述的系统 4 常用数学模型 微分方程 或差分方程 传递函数 或结构图 频率特性 系统的微分方程是动态数学模型中最基本的一种 用解析法建立系统微分方程式的一般步骤如下 1 根据实际工作情况 确定系统和各元件的输入 输出变量 2 从输入端开始 按照信号的传递顺序 依据各变量所遵循的物理 或化学 定律 列出在变化过程中的动态方程 一般为微分方程组 3 消去中间变量 写出输入输出变量的微分方程 4 标准化 二 系统微分方程的建立 1 机械系统 达朗贝尔原理 式中作用在第i个质点上力的合力 质量为的质点的惯性力 直线运动 机械系统中以各种形式出现的物理现象 都可简化为质量 弹簧和阻尼三个要素 质量 弹簧 k为弹性系数 阻尼 B为阻尼比 图3 1表示一个弹簧 质 阻尼系统 当外力f t 作用时 系统产生位移x f t 是系统的输入 x是系统的输出 运动部件的质量为m 图3 1弹簧 质量 阻尼器系统 机械平移系统 x m 静止 平衡 工作点作为零点 以消除重力的影响 x 1 根据达朗贝尔原理 2 f1 t 和f2 t 为中间变量 阻尼器阻力 弹簧弹力 机械旋转系统 回转运动所包含的要素有 惯量 扭转弹簧 回转粘性阻尼 此机械位移系统为线性定常系统 3 系统的微分方程式 机械旋转系统 J 旋转体转动惯量 kJ 扭转刚度系数 BJ 回转粘性阻尼系数 2 电气系统 电阻 电气系统三个基本元件 电阻 电容和电感 电容 电感 1 基尔霍夫电流定律 所有流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和 有分支的电网络图 对节点1 有 2 基尔霍夫电压定律 电网络的闭合回路电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和 电网络的闭合回路 例如图3 10为由两级形式相同的RC电路串联组成的滤波网络 试列写以Ui为输入 Uo为输出的网络的动态方程 1 根据基尔霍夫电压定律写出原始方程式 回路I 2 输入输出微分方程式 回路II 三 传递函数 1 传递函数的概念和定义 在时域中对线性定常系统用线性常微分方程描述输入x t 与输出y t 之间的动态关系 式中 方程两边进行拉氏变换 左边 右边 微分方程的拉式变换为 对以上方程两边进行拉氏反变换 与初始条件有关 称为系统的补函数 与输入有关 称为系统的特解函数 传递函数定义 在零初始条件下 线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比 传递函数 传递函数的基本性质 1 传递函数反映系统本身的动态特性 只与系统 元件 本身的结构参数有关 与外界输入无关 传递函数等于s的多项式之比 其中s的阶次及系数都是与外界无关的 反映系统本身的固有特性 2 传递函数只适用于线性定常系统 因为它由拉氏变换而来的 而拉氏变换是一种线性变换 3 传递函数是在零初始条件下导出的 因此传递函数原则上不能反应系统在非零初始条件下的全部运动规律 4 一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系 而不能反映系统内部的特性 5 对实际的物理系统 传递函数分母多项式s的最高阶次n总是大于或等于其分子多项式s的最高阶次m 即 因为系统或元件总是存在惯性 即输入给出时系统有保持输入前零状态的趋势 输出滞后于输入 导致输入对时间的导数阶次不高于输出 6 传递函数可以有量纲 也可以无量纲 视输出输入量纲而定 如 在机械系统中 若输出为位移 cm 输入为力 N 则传递函数G s 的量纲为cm N 若输出为位移 cm 输入亦为位移 cm 则G s 为无量纲的比值 表现为放大倍数 传递函数求解示例 质量 弹簧 阻尼系统的传递函数 所有初始条件均为零时 其拉氏变换为 按照定义 系统的传递函数为 R L C无源电路网络的传递函数 所有初始条件均为零时 其拉氏变换为 令 则 X s 0称为系统的特征方程 其根称为系统的特征根 特征方程决定着系统的动态特性 X s 中s的最高阶次等于系统的阶次 2 特征方程 零点和极点 特征方程 零点和极点 将G s 写成下面的形式 X s a0 s p1 s p2 s pn 0的根s pj j 1 2 n 称为传递函数的极点 决定系统瞬态响应曲线的收敛性 即稳定性 式中 Y s b0 s z1 s z2 s zm 0的根s zi i 1 2 m 称为传递函数的零点 影响瞬态响应曲线的形状 不影响系统稳定性 系统传递函数的极点就是系统的特征根 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数 零 极点分布图 将传递函数的零 极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零 极点分布图 图中 零点用 O 表示 极点用 表示 的零极点分布图 5 传递函数的典型环节 环节 具有某种确定信息传递关系的元件 元件组或元件的一部分称为一个环节 经常遇到的环节称为典型环节 任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成 典型环节示例 比例环节 输出量不失真 无惯性地跟随输入量 两者成比例关系 其运动方程为 xo t Kxi t xo t xi t 分别为环节的输出和输入量 K 比例系数 等于输出量与输入量之比 比例环节的传递函数为 惯性环节 凡运动方程为一阶微分方程 形式的环节称为惯性环节 其传递函数为 T 时间常数 表征环节的惯性 和环节结构参数有关 式中 K 环节增益 放大系数 如 弹簧 阻尼器环节 微分环节 输出量正比于输入量的微分 运动方程为 传递函数为 式中 微分环节的时间常数 在物理系统中微分环节不独立存在 而是和其它环节一起出现 无源微分网络 无源微分网络 显然 无源微分网络包括有惯性环节和微分环节 称之为惯性微分环节 只有当 Ts 1时 才近似为微分环节 除了上述纯微分环节外 还有一类一阶微分环节 其传递函数为 微分环节的输出是输入的导数 即输出反映了输入信号的变化趋势 从而给系统以有关输入变化趋势的预告 因此 微分环节常用来改善控制系统的动态性能 积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分 运动方程为 传递函数为 式中 T 积分环节的时间常数 积分环节特点 输出量取决于输入量对时间的积累过程 且具有记忆功能 具有明显的滞后作用 积分环节常用来改善系统的稳态性能 如当输入量为常值A时 由于 输出量须经过时间T才能达到输入量在t 0时的值A 如 有源积分网络 振荡环节 含有两个独立的储能元件 且所存储的能量能够相互转换 从而导致输出带有振荡的性质 运动方程为 传递函数 式中 T 振荡环节的时间常数 阻尼比 对于振荡环节 0 1K 比例系数 振荡环节传递函数的另一常用标准形式为 K 1 n称为无阻尼固有频率 如 质量 弹簧 阻尼系统 传递函数 式中 二阶微分环节 式中 T 时间常数 阻尼比 对于二阶微分环节 0 1K 比例系数 运动方程 传递函数 延迟环节 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出 仅由于惯性 输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值 运动方程 传递函数 式中 为纯延迟时间 延迟环节从输入开始之初 在0 时间内 没有输出 但t 之后 输出完全等于输入 延迟环节与惯性环节的区别 一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成 同一元件在不同系统中作用不同 输入输出的物理量不同 可起到不同环节的作用 小结 环节是根据微分方程划分的 不是具体的物理装置或元件 四 方块图及动态系统的组成 1 方块图 系统传递函数方块图是系统数学模型的图解形式 可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递 变换过程 注意 即使描述系统的数学关系式相同 其方框图也不一定相同 方框图的结构要素 信号线 带有箭头的直线 箭头表示信号的传递方向 直线旁标记信号的时间函数或象函数 信号引出点 线 分支点 表示信号引出或测量的位置和传递方向 同一信号线上引出的信号 其性质 大小完全一样 函数方框 环节 函数方框具有运算功能 即 X2 s G s X1 s 传递函数的图解表示 求和点 比较点 综合点 相加点 信号之间代数加减运算的图解 用符号 及相应的信号箭头表示 每个箭头前方的 或 表示加上此信号或减去此信号 相邻求和点可以互换 合并 分解 即满足代数运算的交换律 结合律和分配律 求和点可以有多个输入 但输出是唯一的 任何系统都可以由信号线 函数方框 信号引出点及求和点组成的方框图来表示 系统方框图的简化 方框图的运算法则 串联连接 并联连接 反馈连接 方框图的等效变换法则 求和点的移动 引出点的移动 一般系统方框图简化方法 1 明确系统的输入和输出 对于多输入多输出系统 针对每个输入及其引起的输出分别进行化简 2 若系统传递函数方框图内无交叉回路 则根据环节串联 并联和反馈连接的等效从里到外进行简化 3 若系统传递函数方框图内有交叉回路 则根据相加点 分支点等移动规则消除交叉回路 然后按每2 步进行化简 注意 分支点和相加点之间不能相互移动 例 求下图所示系统的传递函数 解 1 A点前移 2 消去H2 s G3 s 反馈回路 3 消去H1 s 反馈回路 4 消去H3 s 反馈回路 系统方框图的建立 步骤 建立系统各元部件的微分方程 明确信号的因果关系 输入 输出 对上述微分方程进行拉氏变换 绘制各部件的方框图 按照信号在系统中的传递 变换过程 依次将各部件的方框图连接起来 得到系统的方框图 示例 m1 fi t m2 fK1 fK2 fm1 fm2 fB 闭环控制系统 Xi s 到Xo s 的信号传递通路称为前向通道 Xo s 到B s 的信号传递通路称为反馈通道 闭环系统的开环传递函数 闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈信号B s 和偏差信号 s 之间的传递函数 即 将闭环控制系统主反馈通道的输出断开 即H s 的输出通道断开 此时 前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积G1 s G2 s H s 称为该闭环控制系统的开环传递函数 记为GK s xi t 作用下系统的闭环传递函数 令n t 0 此时在输入xi t 作用下系统的闭环传递函数为 n t 作用下系统的闭环传递函数 令xi t 0 此时在扰动n t 作用下系统的闭环传递函数 干扰传递函数 为 n t 作用下系统的闭环传递函数 令xi t 0 此时在扰动n t 作用下系统的闭环传递函数 干扰传递函数 为 n t 作用下系统的闭环传递函数 令xi t 0 此时在扰动n t 作用下系统的闭环传递函数 干扰传递函数 为 系统的总输出 根据线性系统的叠加原理 系统在输入xi t 及扰动n t 共同作用下的总输出为 上式表明 采用反馈控制的系统 适当选择元部件的结构参数 可以增强系统抑制干扰的能力 3 5信号流图与梅逊公式 78 结构图是一种很有用的图示法 对于复杂的控制系统 结构图的简化过程仍较复杂 且易出错 Mason提出的信号流图 其表达方式比动态结构图更为简洁 而且应用梅逊公式 可以直接求出系统中任意两个变量之间的传递函数 因此 信号流图在控制工程中也被广泛地应用 表达方式简洁 应用梅逊公式直接求传递函数 1信号流图 1 1信号流图的组成 信号流图起源于梅逊 S J MASON 利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式 是由节点和支路组成的一种信号传递网络 每一个节点表示系统的一个变量 而每两个节点间的连接支路为该两个变量之间信号的传输关系 信号流向由支路上的箭头表示 而传输关系 增益 传递函数 则标注在支路上 箭头方向相同的支路顺序连接 沿箭头方向而穿过各相连支路的途径 统称为通路 若通路与任一节点相交不多于一次 称开通路 若通路的终点就是通路的起点 且与其它节点相交不多于一次 就称为闭通路 回路 1 2信号流图的常用术语 1 节点 表示系统中的变量或信号 用小圆圈表示 节点变量表示所有流向该节点的信号之和 由节点流出的信号即为该节点变量 2 支路 连接两个节点间的有向线段 用来表示变量或信号的传输和变换过程 箭头表示信号的传递方向 3 增益 传输 标在两个节点间支路上的传递函数 或增益 支路增益为1时可以不标出 4 输入节点 源点 只有输出支路的节点 例如x1 5 输出节点 汇点 仅有输入支路的节点 有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的 我们只要定义信号流图中任一变量为输出变量 然后从该节点变量引出一条增益为1的支路 即可形成一输出节点 如图中的x6 6 混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点 如图中的x2 x3 x4 7 前向通路 前向通道 开始于输入节点 沿支路箭头方向 每个节点只经过一次 最终到达输出节点的通路称之前向通路 8 不接触回路 回路之间没有公共节点 这种回路叫做不接触回路 例如 7 回路 闭通路 起点和终点在同一节 并与其它节点相遇仅一次的通路 由系统结构图绘制 2信号流图的绘制 由微分方程绘制 将微分方程变换成以s为复变量的代数方程 按系统中各变量的因果关系 将对应的节点从左到右顺序排列 然后根据代数方程组绘制出有关的支路 并标出各支路的增益 便得到了信号流图 信号流图的绘制方法与画结构图差不多 但要注意两点 信号用节点表示 传递关系用带增益的支路表示 信号流图与系统结构图在布局上是类似的并且有等效对应关系 例画出如图所示系统方块图的信号流图 解 用小圆圈表示各变量对应的节点A1 A2 在比较点之前的引出点B 需设置两个节点 分别表示引出点和比较点 注意图中的e1 e2 在比较点之后的引出点只需在比较点后设置一个节点便可 也即可以与它前面的比较点共用一个节点 4梅逊公式 n 前向通路数 tn 第n条前向通路总增益 特征式 L1i 所有单独回路增益乘积