连续信号与系统的时域分析.ppt

第2章连续信号与系统的时域分析 1 掌握连续时间基本信号 奇异信号 正弦信号 指数信号2 掌握卷积积分图解法 卷积性质 并加以灵活运用3 掌握连续系统时域模型的数学描述方法4 理解系统单位冲激响应和阶跃响应 掌握连续系统的零输入响应和零状态响应求解方法5 理解系统微分方程的经典解法 本章重点 2 1连续时间基本信号 2 1 1奇异信号 证明 t 的n次积分为 在连续信号与系统的时域分析中 t 和 1 t t 是经常使用的两种基本信号 奇异函数族 2 1连续时间基本信号 2 1 2正弦信号 是周期信号 周期T 频率f和角频率 之间的关系 2 1连续时间基本信号 三角函数形式 2 1连续时间基本信号 波形图 根据欧拉公式 正弦函数的三角函数形式和指数形式可以相互转换 2 1连续时间基本信号 指数形式 2 1 3指数信号 连续时间指数信号的一般形式为 1 若A a1和s 均为实常数 则f t 为实指数信号 即 2 1连续时间基本信号 根据式中A和s的不同取值 具体有下面三种情况 2 若A 1 s j 则f t 为虚指数信号 即 根据欧拉公式 虚指数信号可以表示为 表明ej t的实部和虚部都是角频率为 的正弦振荡 显然 ej t也是周期信号 其周期T 2 2 1连续时间基本信号 3 当A和s均为复数时 f t 为复指数信号 2 1连续时间基本信号 若设 表明 实部和虚部都是振幅按指数规律变化的正弦震荡 2 2卷积积分 2 2 1卷积的定义 设f1 t 和f2 t 是定义在 区间上的两个连续时间信号 我们将积分 定义为f1 t 和f2 t 的卷积 Convolution 简记为 式中 为虚设积分变量 积分的结果为另一个新的时间信号 即 2 2 2卷积的图解机理 信号f1 t 与f2 t 的卷积运算可通过以下几个步骤来完成 第一步 画出f1 t 与f2 t 波形 将波形图中的t轴改换成 轴 分别得到f1 和f2 的波形 第二步 将f2 波形以纵轴为中心轴翻转180 得到f2 波形 第三步 给定一个t值 将f2 波形沿 轴平移 t 在t0时 波形往右移 得到了f2 t 的波形 第四步 将f1 和f2 t 相乘 得到卷积积分式中的被积函数f1 f2 t 第五步 计算乘积信号f1 f2 t 波形与 轴之间包含的净面积 便是式f1 t 与f2 t 卷积在t时刻的值 第六步 令变量t在 范围内变化 重复第三 四 五步操作 最终得到卷积信号f1 t f2 t 2 2卷积积分 关键 划分公共非零区间 2 2卷积积分 2 2卷积积分 3 当t 3时 f2 t 波形如图 e 所示 此时 仅在0 3范围内 乘积f1 f2 t 不为零 故有 1 当t 0时 f2 t 波形如图 c 所示 对任一 乘积f1 f2 t 恒为零 故y t 0 2 当0 t 3时 f2 t 波形如图 d 所示 2 2 3卷积性质 性质1卷积代数 结合律 分配律 2 2卷积积分 交换律 性质2f t 与奇异信号的卷积 1 信号f t 与冲激信号 t 的卷积等于f t 本身 即 2 2卷积积分 特例 性质2f t 与奇异信号的卷积 2 2卷积积分 2 信号f t 与冲激偶 t 的卷积等于f t 的导函数 即 3 信号f t 与阶跃信号 t 的卷积等于信号f t 的积分 即 性质3卷积的微分和积分 2 2卷积积分 使用卷积的微积分性质的条件 被求导的函数在处为零值 或者被积分的函数在区间上的积分值为零 因为 2 2卷积积分 同理 可将f2 t 表示为 并进一步得到 当f1 t 和f2 t 满足 2 2卷积积分 时 微积分性质成立 推广 2 2卷积积分 性质4卷积时移 2 2卷积积分 若 则 式中为实常数 推论 若f1 t f2 t y t 则 式中 t1和t2为实常数 例计算常数K 不为零 与信号f t 的卷积积分 解直接按卷积定义 可得 常数K与任意信号f t 的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍 注意 如果应用卷积运算的微积分性质来求解 将导致 2 2卷积积分 例计算下列卷积积分 2 2卷积积分 解 1 先计算 t t 因为 0 故可应用卷积运算的微积分性质求得 2 2卷积积分 所以 2 利用卷积运算的分配律和时移性质 可将给定的卷积计算式表示为 2 2卷积积分 2 2卷积积分 例 解 2 2卷积积分 例2 2 4图2 2 5 a 所示为门函数 在电子技术中常称矩形脉冲 用符号g t 表示 其幅度为1 宽度为 求卷积积分g t g t 解 方法一图解法 由于门函数是偶函数 故其波形绕纵轴翻转180 后与原波形重叠 图中用虚线表示 注意 t 0时 门函数左边沿位于x 2位置 右边沿位于x 2位置 如图2 2 5 b 所示 在任一t时刻 移动门函数左边沿位于x t 2位置 右边沿则位于x t 2位置 如图2 2 5 c 所示 按照图2 2 5中卷积过程的图解表示 可计算求得 2 2卷积积分 2 2卷积积分 2 2卷积积分 方法二应用卷积运算的微积分和时移性质 可得 2 2卷积积分 2 2卷积积分 2 2 4常用信号的卷积公式 表2 1常用信号的卷积公式 2 2卷积积分 2 3系统的微分算子方程 2 3 1微分算子和积分算子 1 算子的定义 微分算子p 积分算子1 p或p 1 2 3系统的微分算子方程 对于微分方程 可以表示为 或 性质1以p的正幂多项式出现的运算式 在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解 性质2设A p 和B p 是p的正幂多项式 则 2 3系统的微分算子方程 2 微分算子p的运算性质 微分算子p及其多项式 加 减 乘 因式分解 例如 性质3微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去 同理 2 3系统的微分算子方程 C为常数 C为常数 性质4设A p B p 和D p 均是p的正幂多项式 则 2 3系统的微分算子方程 例 但是 一般而言 对函数进行 先除后乘 算子p的运算 对应先积分后微分运算 时 分式的分子与分母中公共p算子 或p算式 允许消去 反之则不能消去 2 3 2LTI系统的微分算子方程 对于LTIn阶连续系统 其输入输出方程是线性 常系数n阶微分方程 若系统输入为f t 输出为y t 则可表示为 2 3系统的微分算子方程 用微分算子p表示 缩写为 为常数 且 H p 代表了系统将输入转变为输出的作用 或系统对输入的传输作用 故称H p 为响应y t 对激励f t 的传输算子或系统的传输算子 2 3系统的微分算子方程 令 称作系统的微分算子方程 则 用H p 表示的系统输入输出模型 2 3系统的微分算子方程 连续时间LTI系统的表示 1 传输算子2 线性常系数微分方程3 方框图4 单位冲激响应5 系统函数 例 某连续系统如图所示 试写出该系统的传输算子 2 3系统的微分算子方程 解选图中右端积分器的输出为中间变量x t 则其输入为x t 左端积分器的输入为x t 如图所示 写出左端加法器的输出 右端加法器的输出 2 3系统的微分算子方程 消去中间变量 或者利用两方程系数与微分方程系数之间的对应关系 求得图示系统的微分方程为 写出系统的算子方程 于是 得到系统的传输算子为 2 3系统的微分算子方程 2 3系统的微分算子方程 电路系统算子方程的建立方法 元件自身的约束关系 伏安关系 VAR 电路基本定律 基尔霍夫电流定律 KCL 对于任一节点 基尔霍夫电压定律 KVL 对于任一回路有 2 3 3电路系统算子方程的建立 表2 2电路元件的算子模型 2 3系统的微分算子方程 电路系统中常用电路元件模型关系 例 电路如图2 3 3 a 所示 试写出u1 t 对f t 的传输算子 2 3系统的微分算子方程 解画出算子模型电路如图 b 所示 由节点电压法列出u1 t 的方程为 所以u1 t 对f t 的传输算子为 它代表的实际含义是 2 3系统的微分算子方程 例 如图 a 所示电路 电路输入为f t 输出为i2 t 试建立该电路的输入输出算子方程 2 3系统的微分算子方程 解 画出算子模型电路如图 b 所示 列出网孔电流方程如下 2 3系统的微分算子方程 该方程组对新设变量而言是一个微分方程组 可以用代数方法求解 得 2 3系统的微分算子方程 2 4连续系统的零输入响应 2 4 1系统初始条件 根据线性系统的分解性 LTI系统的完全响应y t 可分解为零输入响应yx t 和零状态响应yf t 即 分别令t 0 和t 0 可得 对于因果系统 t 0时接入激励 有yf 0 0 时不变系统 内部参数不随时间变化 有yx 0 yx 0 同理 可推得y t 的各阶导数满足如下关系 2 4连续系统的零输入响应 分别称为系统的0 初始条件和0 初始条件 对于n阶系统 j 0 1 n 1 2 4 2零输入响应算子方程 设系统响应y t 对输入f t 的传输算子为H p 且 y t 和f t 满足的算子方程为 yx t 由系统及系统状态决定 与激励信号无关 故令f t 0时方程的解即为零输入响应 2 4连续系统的零输入响应 2 4 3简单系统的零输入响应 简单系统1一阶系统 A p p 则yx t c0e t c0由初始条件yx 0 确定 2 4连续系统的零输入响应 简单系统2特殊二阶系统 A p p 2则yx t c0 c1t e t c0由初始条件yx 0 和yx 0 确定 推广到r阶 2 4 4一般系统的零输入响应 对于一般情况 设n阶LTI连续系统 其特征方程A p 0具有l个不同的特征根 i i 1 2 l 且 i是ri阶重根 那么 A p 可以因式分解为 r1 r2 rl n 2 4连续系统的零输入响应 根据线性微分方程解的结构定理 令i 1 2 l 将相应方程求和 得 所以方程A p yx t 0的解为 第二步 求出第i个根对应的零输入响应yxi t 第三步 将所有的yxi t i 1 2 l 相加 得到系统的零输入响应 即 第四步 根据给定的零输入响应初始条或者0 系统的初始条件 确定常数 2 4连续系统的零输入响应 第一步 将A p 进行因式分解 即 对于一般n阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤 例 某系统输入输出微分算子方程为 已知系统的初始条件y 0 3 y 0 6 y 0 13 求系统的零输入响应yx t 解 由题意知A p p 1 p 2 2 所以 2 4连续系统的零输入响应 其一阶和二阶导函数为 2 4连续系统的零输入响应 代入初始条件值并整理得 令t 0 并考虑到 c10 1 c20 2 c21 1 将各系数值代入yx t 式 最后求得系统的零输入响应为 例 电路如图 a 所示 激励为is t 响应为iL t 已知R1 1 R2 5 C 0 25F L 2H 电容上初始电压uC 0 6V 电感中初始电流iL 0 2A 试求t 0时的零输入响应iLx t 2 4连续系统的零输入响应 解 画出给定电路的算子电路模型如图 b 所示列出电路的回路电流方程 为确定待定常数 除应用电感初始电流iLx 0 iL 0 2A外 还需计算iLx 0 值 为此 画出t 0 时的等效电路如图 c 所示 由KVL可得 2 4连续系统的零输入响应 代入初始条件值并整理得 所以 2 5连续系统的零状态响应 2 5 1连续信号的 t 分解 任一连续信号f t 与单位冲激信号 t 卷积运算的结果等于信号f t 本身 即 2 5连续系统的零状态响应 可以从图形上定性地说明式的正确性 连续信号的 t 分解 2 5连续系统的零状态响应 当 0 即趋于无穷小量d 时 离散变量k 将趋于连续变量 式 2 5 3 中的各量将发生如下变化 2 5连续系统的零状态响应 2 5 2基本信号 t 激励下的零状态响应 一 单位冲激响应 一个初始状态为零的LTI连续系统 当输入为单位冲激信号时所产生的响应称为单位冲激响应 简称冲激响应 记为h t 2 5连续系统的零状态响应 二 单位冲激响应的计算 设LTI连续系统的传输算子为H p 讨论从H p 出发计算冲激响应h t 的方法 思路 先研究若干简单系统的冲激响应 再在此基础上推导出一般系统冲激响应的计算步骤 2 5连续系统的零状态响应 简单系统1 一阶系统的单位冲激响应 简单系统2 特殊二阶系统的单位冲激响应 推广 简单系统3 2 5连续系统的零状态响应 计算系统冲激响应h t 的一般步骤是 2 5连续系统的零状态响应 三 高阶系统的单位冲激响应 方法 高阶系统简单系统 1 确定系统的传输算子H p 2 将H p 进行部分分式展开成如下形式 3 根据简单系统的冲激响应形式 得到各分式对应的冲激响应分量 4 将所有的冲激响应分量相加 得到系统的冲激响应h t 例 描述系统的微分方程为 求其冲激响应h t 解 由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为 2 5连续系统的零状态响应 其H p 可表示为 2 5连续系统的零状态响应 因为 所以 例 二阶电路如图所示 已知L 0 4H C 0 1F G 0 6S 若以us t 为输入 以uC t 为输出 求该电路的冲激响应h t 2 5连续系统的零状态响应 解 1 列写电路输入输出方程 由KCL和KVL有 2 5连续系统的零状态响应 代入元件值 2 求单位冲激响应 传输算子 特征方程 2 5 3一般信号f t 激励下的零状态响应 2 5连续系统的零状态响应 分解 叠加 分析 2 5连续系统的零状态响应 即 LTI连续系统在一般信号f t 激励下产生的零状态响应为 一 系统的单位阶跃响应 一个LTI连续系统 在基本信号 t 激励下产生的零状态响应称为系统的阶跃响应 通常记为g t 2 5连续系统的零状态响应 2 5 4零状态响应的另一个计算公式 t g t 阶跃响应g t 与冲激响应h t 之间的关系为 或者 2 5连续系统的零状态响应 2 5连续系统的零状态响应 二 利用g t 计算零状态响应 分解 叠加 2 5连续系统的零状态响应 即 LTI连续系统在一般信号f t 激励下产生的零状态响应为 分析 例 某LTI连续系统N有A B C三部分组成 如图所示 已知子系统A的冲激响应 子系统B和C的阶跃响应分别为gB t 1 e t t gC t 2e 3t t 系统输入f t t t 2 试求系统N的冲激响应 阶跃响应和零状态响应 2 5连续系统的零状态响应 解 1 求系统N的冲激响应 设子系统B C的冲激响应为hB t 和hC t 则 2 5连续系统的零状态响应 按照冲激响应的定义 它是f t t 时系统的零状态响应 系统N的冲激响应为 2 5连续系统的零状态响应 2 求系统N的阶跃响应 设系统N的阶跃响应为gN t 则 2 5连续系统的零状态响应 3 求系统的零状态响应 2 5连续系统的零状态响应 方法二因为已经求得系统的阶跃响应 它是输入为 t 时对应的零状态响应 激励信号f t t t 2 是一个阶跃信号与另一个位移阶跃信号的组合 所以 可利用阶跃响应和系统的线性 时不变特性直接求得 2 5连续系统的零状态响应 例 已知某LTI连续系统的冲激响应h t t t 1 输入f t t 2 t 2 若以t 0为初始观察时刻 试求系统的零输入响应yx t 和零状态响应yf t 并画出波形 解 以初始观察时刻t 0为时间分界点 将输入区分为历史输入f1 t 和当前输入f2 t 即 2 5连续系统的零状态响应 所谓零输入响应 是指历史输入f t 作用于系统 在t 0区间上产生的响应 即 2 5连续系统的零状态响应 画出g t 波形如图 a 所示 再画出 g t 2 g t 波形如图 b 所示 其中t 0部分代表yx t 于是 2 5连续系统的零状态响应 2 5连续系统的零状态响应 当输入f2 t 作用于系统 在t 0区间上产生的响应为零状态响应 即 2 5连续系统的零状态响应 2 6 1齐次解和特解 2 6系统微分方程的经典解法 对于LTIn阶连续系统 其输入输出方程是线性 常系数n阶微分方程 其输入输出微分算子方程为 按照微分方程的经典解法 其完全解y t 由齐次解