提公因式法教学设计一.doc

提公因式法三、教学过程引言：同学们在小学里学完整数的四则运算和应用题之后，就学习因数分解因为通分和约分要直接应用质因数分解在初中一年级，我们已经学习了整式本学期，代数课先学习因式分解因为这部分内容不仅在分式的通分和约分里有直接的应用，而且在解方程和各种式子的恒等变形等方面经常用到，希望同学们努力学好它从初中代数课本第二册(以下简称教科书)第2页上半部分的图，同学们可看出用字母表示分配律的等式m(a+b+c)=ma+mb+mc 这个式子表明了两个因式相等所得的结果，结果是一个多项式，其中各项都含有一个公共的因式m把式反过来写，就是ma+mb+mc=m(a+b+c) 这个式子表明：如果一个多项式的各项都含有一个公共的因式m，那么这个多项式可化为因式m与另一个因式的积这种把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式式是做整式乘法，式是进行因式分解，由此可以看出因式分解正好与整式乘法相反，就是说，因式分解是整式乘法的逆变形从教科书第2页下半部可知(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn表明两个多项式相乘，结果仍是一个多项式把式反过来写，就是am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)这个式子表明：把一个多项式通过先分组，再化为两个整式的积可见式是做整式乘法，式是进行因式分解，它们是互逆的两种整式变形式给出了因式分解的一种基本方法提公因式法，式给出了因式分解的另一种方法分组分解法这一章就是学习因式分解的几种基本方法提公因式法：同学们看多项式ma+mb+mc， 各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式 例如，m是多项式ma+mb+mc的公因式，又如d是ad+bdd的公因式根据乘法分配律，可得m(a+b+c)=ma+mb+mc 将式反过来，得到多项式ma+mb+mc的因式分解的形式ma+mb+mc=m(a+b+c) 也就是，多项式ma+mb+mc各项都含有公因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式 例如，m是多项式ma+mb+mc的公因式，又如d是ad+bdd的公因式根据乘法分配律，可得m(a+b+c)=ma+mb+mc将式反过来，得到多项式ma+mb+mc的因式分解的形式ma+mb+mc=m(a+b+c) 也就是，多项式ma+mb+mc各项都含有公因式m，可以把公因式m提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成因式m与a+b+c乘积的形式这里的m既可以是单项式，也可以是多项式一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式这种分解因式的方法叫做提公因式法下面，我们用提公因式的方法把一些多项式分解因式1公因式是单项式的类型例1 把8a3b212ab3c分解因式 解：8a3b212ab3c=4ab22a24ab23bc=4ab2(2a23bc)说明：怎样提公因式呢？公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的例2 把3x26xy+x分解因式 解：3x26xy+x=x3xx6y+x1=x(3x6y+1)说明：提公因式后，不能出现漏项的情况，1作为项的系数，通常可以省略不写，但如果单独成一项时，如例2中的x，它在因式分解过程中不能漏掉，检查是否漏项的方法是用乘法进行验证例3 把4m3+16m226m分解因式 解：4m3+16m226m=(4m316m2+26m)=2m(2m28m+13)说明：如果多项式首项的系数是负的，一般要提取“”号，使括号内的第一项系数是正的，在提取负号时，多项式的各项都要变号2公因式是二项式或三项式乘方的类型例4 把2a(b+c)3(b+c)分解因式 解：令m=b+c，则2a(b+c)3(b+c)=(b+c)(2a3)例5 把6(x2)+x(2x)分解因式 解：6(x2)+x(2x)=6(x2)x(x2)=(x2)(6x)例6 把18b(ab)212(ab)3分解因式 解：18b(ab)212(ab)3=6(ab)23b6(ab)22(ab)=6(ab)23b2(ab)=6(ab)2(3b2a+2b)=6(ab)2(5b2a)例7 把5(xy)3+10(yx)2分解因式 解：因为(yx)2=(xy)2=(xy)2所以5(xy)3+10(yx)2=5(xy)2(xy)+5(xy)22=5(xy)2(xy+2)说明：(1)进行因式分解时常用的一些等式ba=(ab)；(ba)2=(ab)2;(ba)3=(ab)3.(2)在提公因式后的多项式因式里，如果有同类项，要合并同类项，如例6；如果化简后的因式化为单项式，要把单项式因式写在前面，如(m+n)(p+q)(m+n)(pq)=(m+n)(p+q)(pq)=(m+n)(p+qp+q)=(m+n)2q=2q(m+n)本课题可分三课时进行教学第一课时内容：引言，因式分解的意义，因式分解与整式乘法的区别与联系例题：1根据乘法运算(a+b)(ab)=a2b2;(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab;(a+b)(a2ab+b2)=a3+b3把下列多项式分解因式：(1)a2b2；(2)x2+(a+b)x+ab；(3)a3+b3练习：1(口答)下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？(1)(x+2)(x2)=x24；(2)x24=(x+2)(x2)；(3)x24+3x=(x+2)(x2)+3x2根据乘法运算m(ab+c)=mamb+mc;(x2)2=x24x+4；(x+1)(x2x+1)=x3+1把下列多项式分解因式：(1)mamb+mc；(2)x24x+4；(3)x3+1作业：根据乘法运算(m+4)(m4)=m216，(x+2)(x+3)=x2+5x+6，(y3)2=y26y+9，(p2)(p2+2p+4)=p38，把下列多项式分解因式(1)m216；(2)x2+5x+6(3)y26y+9；(4)p38第二课时内容：提公因式法，公因式为单项式类型的多项式的因式分解，例1例3练习：1(口答)指出下列多项式中各项的公因式：(1)ax+ay； (2)3mx6mx；(3)4a2+10ab； (4)15a2+5a；(5)x2y+xy2； (6)12xyz9x2y22填空：(1)2R+2r=_(R+r)；(2)2R+2r=2(_)；(5)3x3+6x2=_(x+2)；(6)7a221a=_(a3)；(7)15a2+25ab2=5a(_)；(8)x2y+xy2xy=xy(_)3把下列各式分解因式：(1)nxny；(2)a2+ab；(3)4x36x2；(4)8m2n+2mn；(5)3a2y3ay+6y；(6)a2b5ab+9b；(7)x2+xyxz；(8)24x2y12xy2+28y3；(9)3ma3+6ma212ma；(10)56x3yz+14x2y2z21xy2z2参考答案1(1)a；(2)3x；(3)2a；(4)5a；(5)xy；(6)3xy3(1)n(xy)；(2)a(a+b)；(3)2x2(2x3)；(4)2mn(4m+1)；(5)3y(a2a+2)；(6)b(a25a+9)；(7)x(xy+z)；(8)4y(6x2+3xy7y2)；(9)3ma(a22a+4)；(10)7xyz(8x2+2xy3yz)作业1把下列各式分解因式(1)cxcy+cz； (2)pxqxrx；(3)15a310a2； (4)12abc3bc2；(5)4x2yxy2； (6)63pq+14pq2；(7)24a3m18a2m2； (8)x6yx4z2填空(1)14abx8ab2x+2ax=2ax(_)；(2)7ab14abx+49aby=7ab(_)3把下列各式分解因式：(1)15x3y2+5x2y20x2y3；(2)6m2n15mn2+30m2n2；(3)16x432x3+56x2；(4)4a3b2+6a2b2ab参考答案1(1)c(xy+z) (2)x(pqr)(3)5a2(3a2) (4)3bc(4ac)(5)xy(4xy) (6)7pq(9+2q)(7)6a2m(4a3m) (8)x4(x2yz)2(1)7b4b2+1 (2)1+2x7y3(1)5x2y(3xy+14y2)(2)3mn(2m5n+10mn)(3)8x2(2x2+4x7)(4)2ab(2a2b3a+1)第三课时内容：公因式为二项式或二项式乘方类型的多项式的因式分解例4例7练习：略作业：略四、需要注意的几个问题1教科书第2页上半部分：用一组矩形及两条逆向的箭头表明因式分解与整式乘法的区别和联系，这种利用直观形象简捷而生动地阐明数学概念和规律的方法，体现了数形结合思想的优越性，我们还可以就下半部分作类似的表述： 整式乘法(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn因式分解am+an+bm+bn=a(m+b)