解数学问题-美的原则.ppt

对称性原则和谐性原则奇异性原则简单性原则 解数学问题 美的原则 解数学问题 对称性原则 对称性给人一种圆满而匀称的美感与享受 数学中对立统一的概念 运算 命题 图形等在结构与形式的很多方面体现对称美 数学解题可以从对称美的角度出发 或分析式子的对称 或变换调整对称元素关系 或补形构造对称等等 这常能打开我们的解题思路 优化解题过程 虽然数学没有明显地提到善和美 但善和美也不能和数学完全分离 因为美的主要形式就是秩序 匀称和确定性 这些正是数学所研究的原则 亚里士多德 解数学问题 对称性原则 例1 设有一直角QOP 试在OP边上求一点A 在OQ边上求一点B 在直角内求一点C 使BC CA等于定长l 且使四边形ACBO的面积最大 分析 从条件看 动点太多 难于直接确定点的位置 由命题 周长一定的凸边形中 以正边形的面积为最大 但需要补形 解数学问题 对称性原则 例1 设有一直角QOP 试在OP边上求一点A 在OQ边上求一点B 在直角内求一点C 使BC CA等于定长l 且使四边形ACBO的面积最大 解数学问题 对称性原则 例2 若y x2 0 x 1 与x 1 x轴围成的图形面积是1 3 那么y x2与 0 x 1 围成的图形面积是多少 分析 不规则图形的面积 如何求 如何变成规则的 解数学问题 对称性原则 例2 若y x2 0 x 1 与x 1 x轴围成的图形面积是1 3 那么y x2与 0 x 1 围成的图形面积是多少 解数学问题 对称性原则 例3 求y cosx 0 x 2 与y 1围成的图形面积 分析 不规则图形的面积 如何求 如何变成规则的 到底是什么使我们感到一个解答 一个证明优美呢 那就是为了部分之间的和谐 对称 恰到好处的平衡 一句话 那就是井然有序 统一协调 从而使我们对整体以及细节都能有清楚的认识和理解 这正是产生伟大成果的征兆 庞加莱 解数学问题 和谐性原则 对称是和谐美的一种表现之一 除了对称 和谐美有广泛含义 包括不同数学对象或同一对象的部分与整体所存在的内在统一规律 在数学解题中 可以从条件与结论的和谐 数 式 形的和谐 解题方法与思维策略的和谐等方面来探寻解题思路 和谐美的原则能够导向我们解题思路的自然流淌 迅速制定解题计划与策略 解数学问题 和谐性原则 解数学问题 和谐性原则 解数学问题 和谐性原则 分析 表面上看 不等式两边一边是式 一边是数 风马牛不相及 仅考虑左边 可以将左边转化为柯西不等式来证明 但这需要化简技巧 从两边考虑 应该和谐共处 左边每个不等式应该能够化简到分子分母可以约掉的情况 解数学问题 和谐性原则 解数学问题 和谐性原则 分析 不等式左边是n个自然数的倒数之和 而右边是一个超越型的对数式 不属于 同类 对求实数a的范围阻碍较大 和谐性原则告诉我们 得先化简左边的和式 没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇特 美在于奇特而令人惊异 培根 解数学问题 奇异性原则 数学中奇异是指数学理论延伸 或方法拓广 或和谐性遭到破坏后 而产生新奇或变异的理论与方法等 追求奇异是创新的导火线 但这种奇异美与前述的和谐美是相互对立而统一的关系 必须把它们结合起来 以能在新的高度达到更好的和谐与统一 在数学解题中 追求奇异美则导向方法的奇思妙想 结论的新颖奇特 使人感到 既在情理之中 又在意料之外 解数学问题 奇异性原则 据考证 勾股定理的发现超过4000年 它是改变人类50大科学定理之一 是世界上证明方法最多的定理 超过500多种 无字证明或图说 proofwithoutwords 的一种是最值得推崇的 例7 勾股定理的证明方法与推广 解数学问题 奇异性原则 例7 勾股定理的证明方法与推广 stsin scos tsin ssin tcos 解数学问题 奇异性原则 例8 分析 两个等式中既含有代数式x3和4y3 又含有超越式sinx和sinxsiny 不和谐 需要通过参数 联系 在数学解题中 应以简单 自然为上 单墫 解数学问题 简单性原则 简单性既是数学美的直观显现 又深刻反映数学的内在美 简单美不仅包括数学结果的简单 譬如数学符号的简单 而且也包括了获得数学结果的过程的简单 譬如思维过程 应该从简单开始 追求简单 明快是数学发现的重要因素之一 解数学问题 奇异性原则 例9 求证 对任意实数a 1 b 1都有不等式 分析 从不等式左边看 具有某种对偶 不妨构造对偶式 解数学问题 奇异性原则 例9 求证 对任意实数a 1 b 1都有不等式 解数学问题 简单性原则 解数学问题 简单性原则 你想学会游泳 你就必须下水 你想成为解题的能手 你就必须去解题 波利亚寻找题解不能教会 而只能靠自己学会 弗里德曼