哈尔滨工业大学04结构力学-平面有限元.ppt

哈工大土木工程学院 1 75 土木工程学院结构力学学科组 HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY 结构力学 哈工大土木工程学院 2 75 实际工程中的深梁 墙梁 水坝 隧道等结构虽然都是处于空间受力状态 但由于问题的特殊性 有些是可以近似地按平面问题来处理 平面问题有限单元法可用的单元很多 作为初学 先介绍两种最简单的单元 三角形和矩形 然后再介绍高级些的单元 等参数单元 杆系问题以杆件的交接点作为分割单元的 结点 是很自然的 但对于平面问题 待分析物体是连续的 并不存在实际结点 要将物体 拆 成单元 必须用一些假想的线或面作人为地分割 哈工大土木工程学院 3 75 5 1引言 浅梁 深梁 平截面假设成立 杆类问题分析 平面问题分析 平截面假设未必成立 结构力学与弹性力学的区别 哈工大土木工程学院 4 75 一 平面应力问题 表面力作用在薄片边缘上且平行薄片 不沿厚度变化 体积力亦如此 三个应力分量只发生在xy面上 故称平面应力问题 弹性力学平面问题的两种类型 哈工大土木工程学院 5 75 二 平面应变问题 无限长柱体 荷载作用在柱体侧面上且垂直柱轴线 沿垂直纵线方向切出一薄片 由于对称 三个应变分量只发生在xy面上 故称平面应变问题 哈工大土木工程学院 6 75 5 1引言 5 1 1结构离散化 一个复杂的弹性物体可以看成是由无限个质点组成的连续体 它具有无限多自由度 为了进行解算 可以将它简化为有限个单元组成的集合体 这些单元只在有限个结点处铰接 这个集合体就只具有有限个自由度 由无限个质点的连续体转化为有限个单元的集合体 就称为离散化 在数学意义上说 就是把微分方程的连续形式转化为代数方程组 哈工大土木工程学院 7 75 规定单元之间仅在结点处铰接 单元之间的力只通过结点传递 外荷载只加在结点上 哈工大土木工程学院 8 75 离散单元的形式 三角形三结点单元 矩形四结点单元 四边形单元 三角形六结点单元 曲边四边形八结点单元 哈工大土木工程学院 9 75 划分单元时应注意的问题 单元划分越细 结点布置越多 计算结果越精确 但计算量增加 所以在划分单元时应兼顾这两个方面 考察一受弯板梁 哈工大土木工程学院 10 75 在边界比较曲折 应力比较集中 应力变化较大区域 单元应划分的细一些 而在应力变化平缓区单元可划分的大一些 考察单元分布密度 哈工大土木工程学院 11 75 细长比 最大尺寸 最小尺寸 三角元三条边长应尽量接近 不应出现钝角 矩形单元的长宽比不宜过大 长宽比越接近 精度越高 考察单元边长比的影响 哈工大土木工程学院 12 75 任意一个三角形单元的角点必须同时也是相邻单元的角点 而不能是相邻单元的边上内点 其它单元划分亦循此原则 哈工大土木工程学院 13 75 如计算对象具有不同的厚度或不同的弹性系数 则厚度或弹性突变处应是单元的边线 应在分布荷载有突变处或是受有集中荷载处布置结点 其附近单元也应划分的小一些 哈工大土木工程学院 14 75 问题由于在形状复杂的弹性体内 各点位移变化情况也非常复杂 很难选择一个恰当的函数来表示整个弹性体内位移的变化 单元位移模式 提示如果弹性体比较规整规模也比较小 那么可以采用比较简单的函数近似地表示区域真实位移 思路将弹性体整个区域分割成许多小区域 以满足规整和小规模的要求 则在每个小区域局部范围内就可以采用比较简单的函数近似地表示区域真实位移 再将各区域的位移连接起来 便可近似地表示整个区域的真实位移 哈工大土木工程学院 15 75 定义这个划分的小区域称单元 在小单元范围内把某一点的位移近似地表达为结点坐标的函数 这表达式称为位移模式 这种化繁为简 联合局部逼近整体的思想 正是有限元的绝妙之处 哈工大土木工程学院 16 75 5 1 2平面问题的总势能表达式 哈工大土木工程学院 17 75 5 2常应变三角形单元 5 2 1单元结点位移和结点力 单元间靠结点传递位移 故结点可视为铰结点 在各种单元形式中 以三角形单元最简单 且通过调整边长能对任意形状边界作精确描述 三角形单元 哈工大土木工程学院 18 75 结点位移 单元结点位移 单元内点位移 哈工大土木工程学院 19 75 结点力 单元结点力 单元体积力 哈工大土木工程学院 20 75 三角形单元共有6个结点位移 所以有6个自由度 故选位移模式 讨论单元内任意一点的位移模式 待定系数广义坐标 结点坐标矩阵 哈工大土木工程学院 21 75 将单元结点坐标代入 哈工大土木工程学院 22 75 保证三角形面积为正 哈工大土木工程学院 23 75 哈工大土木工程学院 24 75 哈工大土木工程学院 25 75 a b c分别是D的代数余子式 哈工大土木工程学院 26 75 单元位移形状函数矩阵 哈工大土木工程学院 27 75 哈工大土木工程学院 28 75 由行列式性质 行列式任一行 列 的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值 而行列式任一行 列 的元素与其它行 列 对应的代数余子式的乘积之和等于零 注意 a b c分别是2A的代数余子式 哈工大土木工程学院 29 75 形状函数的性质 1 形函数在单元结点上具有 本点为1 它点为零 的性质 哈工大土木工程学院 30 75 类似有 哈工大土木工程学院 31 75 2 在单元内任一点三个形函数之和等于1 即 说明只有2个结点的形函数是独立的 若 则 由此可知 所设位移可反映单元的刚体位移 哈工大土木工程学院 32 75 如在ij边 3 在三角形单元内任一边上的形函数只与该边的两端点坐标有关且是线性的 而与其它结点坐标无关 i j边的直线方程为 在i j边上形函数 根据性质1 哈工大土木工程学院 33 75 注意应用 则有 哈工大土木工程学院 34 75 在ij边的位移 由此性质可知 单元边界是线性变化的 相邻单元在公共结点有相同位移 所以能保证相邻单元的位移协调 哈工大土木工程学院 35 75 5 2 2用面积座标建立单元位移场 为以后方便理解和确定复杂单元内任意一点处形函数的值 在此引入面积坐标的概念 在单元内任一点P x y 可用三个数 Li Lj Lk 来确定 哈工大土木工程学院 36 75 因为 所以 可见面积坐标就是形函数 哈工大土木工程学院 37 75 由面积坐标的定义不难发现 平行于某边直线 ik 上的所有点具有相同的坐标 Lj 并且该坐标就等于 该直线到至 ik 边的距离 与 点j到 ik 边的距离 之比 哈工大土木工程学院 38 75 三个结点的面积坐标分别为 不难验证面积坐标与直角坐标的变换关系 哈工大土木工程学院 39 75 5 2 3基于势能原理的单元分析 微分算子矩阵 哈工大土木工程学院 40 75 几何矩阵只与结点坐标有关 它的元素都是常数 所以单元内每点的应变也必为常数 所以三结点三角元称常应变三角元 哈工大土木工程学院 41 75 应变势能 外力势能 体系势能 哈工大土木工程学院 42 75 由最小势能原理 哈工大土木工程学院 43 75 荷载列阵 1 单元上任意点的集中荷载 直接加在相应位移方向上 非结点荷载等效到结点上 所以 哈工大土木工程学院 44 75 2 单元上体积力 所以 哈工大土木工程学院 45 75 结果分析 单元应力 哈工大土木工程学院 46 75 应力圆半径 平均应力 最大主应力 最小主应力 主方向角 哈工大土木工程学院 47 75 5 2 4几点结论 一 结点的选择和单元划分 1 集中力作用点 分布力突变点 支承点应选作结点 2 不同厚度 不同材料的部分不应划在同一个单元 3 应力变化大处单元应密集一些 结点的多少与疏密要考虑计算机的容量和计算精度 有限元分析应注意的问题和结果整理 哈工大土木工程学院 48 75 4 单元边界的边长之比应尽可能靠近1 5 相邻单元的尺寸尽可能接近 6 结点所连接的单元个数尽可能一致 哈工大土木工程学院 49 75 二 结点编码 尽可能使相关结点的结点编码差值最小 以缩小刚度矩阵的带宽 从而提高储存和运算效率 总刚半带宽 相关结点最大差值 1 结点位移数 哈工大土木工程学院 50 75 总刚半带宽 相关结点最大差值 1 结点位移数 总刚半带宽 16总刚需占用的存贮空间为 16 14 2 448 总刚半带宽 6总刚需占用的存贮空间为 6 14 2 168 哈工大土木工程学院 51 75 三 充分利用结构的对称性 FP FP FP FP 哈工大土木工程学院 52 75 四 应力结果的整理 位移的计算结果一般比应力 内力结果精度高 位移达到满意结果 由几何方程求应变 再由物理方程求应力 结果的精度较差 上述三角形单元为常应力 矩形单元应力线性变化 而工程问题的应力是比较复杂的 为更好地反应实际应力情况 需要对计算结果进行整理 常用处理方法有两种 绕结点平均法和两单元平均法 哈工大土木工程学院 53 75 以交于同一结点各单元此结点处某应力分量的代数平均值 作为此结点该实际应力的近似值 对于边界处的结点 由内结点结果的外得到 结点4的应力由结点1 2 3的应力外插得到 1 绕结点平均法 相关单元应力平均值作为结点应力值 哈工大土木工程学院 54 75 2 两单元平均法 相邻单元应力平均值作为边界应力值 三角形单元时 以两相邻单元应力平均值作为边中点的应力近似值 矩形单元时 以两相邻单元公共边两端结点四个应力的平均值作为边中点的应力近似值 对于边界处的结点 同样由内结点结果的外插得到 哈工大土木工程学院 55 75 5 2 5计算实例 例题1 Page104 哈工大土木工程学院 56 75 5 2 6收敛准则 希望随着离散网格的逐步细分 所得到的解答能收敛于问题的精确解 单元形状确定后 位移模式的选择非常关键 因为荷载的位置 应力矩阵 刚度矩阵的建立都依赖于单元的位移模式 要尽量与位移分布相吻合 计算经验表明 在给定位移模式后计算的刚度系数通常比精确值大 所以在给定荷载作用下 计算模型的应变将比实际结构的变形小 当网格分得越来越细时 位移的近似解将由下界趋于真解 哈工大土木工程学院 57 75 为保证计算的收敛 要求位移模式必须满足以下条件 1 位移模式必须包含单元的刚体位移 保证产生刚体位移时 弹性体内不会产生应变 2 位移模式中必须包含单元的常应变 保证随单元尺寸的缩小 单元应变应趋于常数 3 位移模式在单元内要连续 且在相邻单元间位移协调 通常当单元交界面上的位移取决于该交界面上结点的位移时 就能保证位移的协调性 能满足1 2条件的单元称完备单元 能满足3条件的单元称协调单元 哈工大土木工程学院 58 75 优点 可以方便地拟和各种不规则边界 缺点 因应力 应变为常数 一般与实际物体受力相差较大 为得到满意结构 必须把网络划分得很密 因而自由度增大 运算时间加长 哈工大土木工程学院 59 75 5 3矩形双线性单元 常应变三角元的应力是常数 当用它分析变化大的问题时 必须加密网格的划分才能得到较好的计算结果 这样做将使结点数增加 未知量增多 工作量增大 如果采用的单元的形函数为线性或高次多项式 那么单元精度会提高 单元个数会减少 分析效率提高 但对复杂边界的描述不如三角元好 实际工作中梁和剪力墙等都为规则的矩形形状 因此采用矩形单元进行网络划分是十分方便的 下面介绍的双线性矩形单元得到的应力是线性变化的 比三角形单元更接近于实际物体的应力状态 哈工大土木工程学院 60 75 1 2 4 3 正则 自然 坐标系 哈工大土木工程学院 61 75 单元结点位移向量 单元结点力向量 哈工大土木工程学院 62 75 5 3 1用正则座标建立位移场 由结点位移确定广义座标 1 单元位移模式 广义座标法 由广义座标确定形函数 由形函数表示位移场 哈工大土木工程学院 63 75 正则座标下单元四条边的方程 函数试凑法 根据形函数性质 本点为1 它点为0 哈工大土木工程学院 64 75 代入结点座标得 引人 则有 广义座标法和试凑法得到的形函数完全相同 但试凑法要方便一些 哈工大土木工程学院 65 75 单元位移函数 单元协调性 位移函数中包含常数项和一次项 故满足完备性条件 边界上线性变化且由结点确定 故满足位移连续 所以矩形双线性单元是收敛的 哈工大土木工程学院 66 75 5 3 2应变和应力矩阵 应变矩阵 应变矩阵 哈工大土木工程学院 67 75 应力矩阵 应力矩阵 对于平面应力问题 哈工大土木工程学院 68 75 对于平面应变问题 做如下替换 从应变矩阵和应力矩阵可见 单元内应力和应变沿x方向是线