静定结构的位移计算.ppt

土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 第4章静定结构的位移计算 本章导读 基本要求了解变形体系虚功原理的内容及其在结构位移计算中的应用 理解广义力及广义位移的概念 熟练掌握计算结构位移的单位荷载法 熟练掌握图乘法在位移计算中的应用 了解线性弹性体系的互等定理 重点静定结构由于荷载 支座位移 温度变化等原因引起的位移计算 特别是用图乘法计算静定梁和刚架在荷载作用下的位移 难点变形体系的虚功原理及其证明 广义力及广义位移的概念 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 1概述 4 1 1位移 荷载 温度变化 支座位移等外因作用下 结构各截面位置的移动 称为位移 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 图4 1绝对位移 图4 2相对位移 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 保证刚度条件D D 为计算超静定结构打下基础 在结构 或构件 的制作 施工过程中 也常需预先知道其位移 4 1 2计算位移的目的 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 外力 其值由零逐渐增加到最大值 在其自身引起的位移上所作的功称为实功 即T为三角形OAB的面积 4 2 1实功 4 2变形体系的虚功原理 T 4 1a 图4 3静力荷载所做的实功 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 1b 图4 4静力荷载所做的实功 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 外力在其他原因 其他荷载 温度变化 支座位移等 引起的位移上所做的功称为虚功 4 2 W1 FP 力状态 位移状态 图4 5虚功 图4 6虚功 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 2 2刚体体系的虚功原理 对于具有理想约束的刚体体系 其虚功原理可表述为 刚体体系处于平衡的必要和充分条件是 对于符合刚体体系约束情况的任意微小虚位移 刚体体系上所有外力所做的虚功总和等于零 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 2 3变形体系的虚功原理 虚功原理变形体系处于平衡的必要和充分条件是 对于符合变形体系约束条件的任意微小的连续虚位移 变形体系上所有外力所做的虚功总和W 等于变形体系各微段截面上的内力在其虚变形上所做的虚功U 即外力虚功等于变形虚功 或称虚应变能 W U 4 3 证明图示力状态和位移状态互不相关 将图4 7 a 中微段上的各力在图4 7 b 中微段上的对应位移上做虚功 并把所有微段的虚功总加起来 便是整个结构的虚功W总 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 a 力状态 b 位移状态 1 按外力虚功与内力虚功计算W总 图4 7虚功原理的证明 dW总 dW外 dW内 W总 W外 W内 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 2 按刚体虚功与变形虚功计算W总 将微段的虚位移分解为两步 先只发生刚体位移 由ABCD移到A1B1C2D2 然后再发生变形位移 截面A1B1不动 C2D2再移到C1D1 如图4 7 b 所示 dW总 dW刚 dW变 dW刚 0 即 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 3 变形虚功W变的计算 图4 8微段变形 dW变 Mdq FQdh FNdu 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 可写为 4 4 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 平衡力系和位移状态是相互独立无关的 虚功原理具有普遍适用性 虚功原理同样适用于刚体系 此时变形虚功U 0 则W 0 即外力虚功之和为零 刚体系的虚功原理是变形体系虚功原理的一个特例 力系是平衡力系 位移是可能的 微小的 连续的位移 4 变形体系的虚功原理的几点说明 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 虚功原理的两种表述形式 若平衡力系状态实际存在 位移状态是虚设的 称为虚位移原理 可用于求未知力 若位移状态实际存在 平衡力系是虚设的 称为虚力原理 此时式 4 4 表示变形协调条件 可用于求位移 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 3平面杆件结构位移计算的一般公式 此即平面杆件结构位移计算的一般公式 这种计算位移的方法又称为单位荷载法 4 3 1一般公式 图4 9虚力原理 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 3 2单位力设置法 求i i1方向上的D 求jK 求DKK1 求jKK1 虚拟状态所加的荷载应是与所求广义位移相应的广义单位力 图4 10单位力设置法 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 4静定结构在荷载作用下的位移计算 只考虑荷载作用时 一般公式 4 6 成为 其中 微段的变形dq dh du均由实际状态中的荷载引起 图4 11荷载引起的微段变形 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 根据工程力学 有 则线弹性结构在荷载作用下的位移计算公式为 4 7 式中 为反映剪应力沿截面高度不均匀分布的修正系数 如对矩形截面 1 2 对圆形截面 1 1 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 4 1梁和刚架的位移计算 4 8 正负号规定 MP与同侧受拉相乘为正 否则为负 D的方向确定 当D的计算结果为正时 其方向与单位力指向相同 D为负时 其方向与单位力指向相反 例4 1 求简支梁在均布荷载q作用下跨中截面C的竖向位移 即挠度 CV 已知抗弯刚度EI为常数 解 1 建立x坐标 求荷载作用下的MP 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 2 加相应单位力 求 0 x 3 计算 CV 图4 12例4 1图 当0 x 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 解 1 先建立各杆的x坐标 各杆内力方程为 AB杆 例4 2 试求图示刚架C点的竖向位移DCV 各杆材料相同 截面的A I均为常数 BC杆 图4 13例4 2图 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 2 加相应单位力 并求各杆内力 BC杆 AB杆 3 计算 CV 由式 4 7 得 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 讨论 上式中 第一项为弯矩的影响 后两项分别为剪力和轴力的影响 设为矩形截面 b h 则A bh I bh3 12 6 5 带入上式 得 即剪力和轴力的影响非常小 故用公式 4 8 计算梁和刚架的位移已足够精确 若取 可算得 可以看出 高跨比愈大 则剪力和轴力所占比例愈大 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 例4 3 试求图示刚架中截面C的水平位移 CH和角位移 设各杆EI为常数 解 1 先建立各杆的x坐标 并求荷载作用下的MP 图4 14例4 3图 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 2 加相应单位力 求 3 计算位移 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 4 2桁架的位移计算 FNP 荷载引起的桁架轴力 受拉为正 受压为负 单位力引起的桁架轴力 受拉为正 受压为负 4 9 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 例4 4 试求图示桁架中结点5的挠度 5V 设各杆的横截面面积均为A 144cm2 弹性模量E 850kN cm2 解 1 求各杆轴力FNP并标于图 a 中杆旁 2 在结点5处加竖向单位力 如图 b 所示 求出轴力并标于杆旁 3 计算位移 当杆件较多时 最好列表进行 图4 15例4 4图 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 250 20 40 20 20 20 100 50 50 50 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 注意 当要求桁架中某杆的角位移时 不能直接在杆上施加单位力偶 而应将其转换为等效的结点集中荷载 求BC杆的角位移时的单位力偶设置方法 图4 16求桁杆转角时的虚拟状态 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 4 3组合结构的位移计算 4 10 4 4 4拱结构的位移计算 一般拱的位移计算只要考虑弯曲变形的影响已足够精确 即按式 4 8 计算 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时 常需利用公式 4 8 1 简化的条件 适用条件 杆段的EI为常数 杆段的轴线为直线 杆段的图和MP图中至少有一个为直线图形 4 5图乘法 该公式在一定条件下可简化计算 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 2 简化方法 a b 将式 b 代入 a 有 图4 17图乘法 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 式中 A 一个弯矩图的面积 yC 另一个直线变化弯矩图中与A图的形心对应的纵标 3 几点说明 必须符合图乘法的适用条件 A与yC应取自不同的图形 它们位于杆件的同侧时相乘为正 否则为负 取yC的图形必须是直线图 不能是折线图或曲线图 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 若与均为直线图 则从任一图中取yC 另一图则取A 均可 对于EI为分段常数的杆 应当分别对EI等于常数的各段图乘 然后叠加起来 当MP是曲线图形 而是折线图时 应当分段图乘 如图所示 图4 18分段图乘 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 记住以下常见图形的面积及其形心位置 图4 19常见弯矩图形的面积及其形心位置 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 当取A的图形较复杂时 应将其分解为简单图形 再分别图乘后叠加起来 图4 20分解面积 图4 21分解面积 AyC A1yC1 A2yC2 AyC A1yC1 A2yC2 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 图4 22分解面积 AyC A1yC1 A2yC2 A3yC3 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 计算步骤 作实际荷载弯矩图MP图 加相应单位荷载 作单位弯矩图图 例4 5 求图示简支梁A端的转角及跨中截面C的挠度 CV EI为常数 用图乘法公式 4 11 求位移 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 解 先作MP图 如图 b 所示 1 求 2 求 CV 图4 23例4 5图 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 例4 6 求图示结构中C点的竖向位移 CV EI为常数 解 图4 24例4 6图 图4 25BC杆弯矩图的分解 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 例4 7 求图中铰C左右两侧截面C1 C2的相对转角 已知各杆EI相同 图4 26例4 7图 解 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 例4 8 求图示刚架中A B两点间的相对线位移 AB 各杆EI为常数 解 1 绘MP图 CD杆上有一抛物线分布的弯矩图 如图 a 所示 2 在A B两点加一对方向相反的单位力 绘图 如图 b 所示 3 图4 27例4 8图 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 例4 9 求图示组合结构中铰C处的竖向位移 CV 梁杆的抗弯刚度为EI 桁杆的抗拉刚度为 解 组合结构的位移计算公式 图4 28例4 9图 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 6静定结构在支座位移时的位移计算 静定结构在发生支座位移时不引起内力 杆件只有刚体位移而不产生微段变形 即dq dh du 0 代入一般公式 4 6 得 C与方向相同时 乘积为正 否则为负 4 12 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 例4 10 图示简支梁支座B产生竖向位移 B 0 03m 试求杆端A处的转角 解 在杆端A处加一单位力偶 求得B支杆的支反力 如图b所示 则 本例虽然简单 但可用其验证公式 4 12 的正确性 图4 29例4 10图 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 例4 11 结构的支座位移如图所示 求铰C的竖向位移 CV 解 在C点加一单位力 求出支座位移处的支反力 如图 b 所示 图4 30例4 11图 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 7静定结构在温度变化时的位移计算 温度变化时位移计算的一般公式 4 6 为 现以求图示结构截面K的竖向位移 为例推导公式 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 实际状态中任一微段ds上的变形 3 若杆件截面对称于形心轴 即 则上式中 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 13 4 14 正负号规定 温差 t采用绝对值 若图中杆件的弯曲变形与温度变化引起的弯曲变形方向一致 则乘积取正号 反之取负号 对于桁架 在温度变化时 其位移计算公式为 4 15 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 设桁架各杆长度的制造误差为 l 伸长为正 缩短为负 则位移计算公式为 4 16 例4 12 图示刚架施工时温度为20 试求夏季当外侧温度为30 内侧温度为20 时A点的水平位移 AH和转角 已知l 4m a 10 5 各杆均为矩形截面 高度h 0 4m 解 外侧温度变化为t1 30 20 10 内侧温度变化为t2 20 20 0 故有 t t1 t2 10 温变引起杆件的弯曲方向如图中虚线所示 图4 32例4 12图 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 1 求 AH 3 6mm 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 2 求 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 8具有弹性支座的静定结构的位移计算 外力做的虚功为 图4 33具有弹性支座的静定结构位移计算 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 内力做的虚功为 根据虚力原理 于是 为 对于梁和刚架 仅考虑弯曲变形dq 它由实际状态中的弯矩MP引起 则有 4 18 注意 若实际状态中弹性支座的反力与虚拟状态中弹性支座的反力同方向时 乘积为正 反之为负 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 例4 13 求图 a 所示梁铰B左右两侧截面的相对转角位移 设EI为常数 刚度系数 图4 34例4 13图 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 解 绘MP图和图 由公式 4 18 计算得 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 9线性弹性结构的互等定理 4 9 1功的互等定理 设第一状态为平衡力系状态 第二状态为位移状态 按照虚功原理得 图4 37功的互等定理 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 反过来 设第二状态为平衡力系状态 第一状态为位移状态 按照虚功原理得 功的互等定理 故有 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 9 2位移互等定理 应用功的互等定理 得 它表明 第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移 等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移 位移互等定理 位移互等可能是两个线位移之间的互等 两个角位移之间的互等 也可能是线位移与角位移之间的互等 图4 38位移互等定理 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 由工程力学可知 将FP 1 M 1代入 也可得到 可见 虽然是单位力引起的角位移 是单位力偶引起的线位移 含义不同 但此时二者在数值上是相等的 量纲也相同 由位移互等定理可知 位移互等定理将在用力法计算超静定结构中得到应用 图4 39广义位移互等 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 4 9 3反力互等定理 应用功的互等定理 得 反力互等定理 它表明 约束1发生单位位移所引起的约束2的反力 等于约束2发生单位位移所引起的约束1的反力 反力互等定理将在用位移法计算超静定结构中得到应用 与不仅数值上相等 量纲也相同 图4 40反力互等定理 土木工程专业系列教材 结构力学出版社科技分社 本章小结 1 结构在荷载 温度变化 支座位移等外因作用下都会产生位移 位移计算在工程实践和结构分析中有重要地位 本章内容既是静定部分的结尾 又是超静定部分的先导 2 静定结构位移计算以虚功原理为理论基础 虚功原理包括刚体虚功原理和变形体虚功原理 前者是后者的特殊情况 应用虚功原理必须要有两个互不相关的独立状态 即力状态和位移状态 其中一个是实际的 而另一