理论力学复习第十二章.ppt

1 第十二章动能定理 12 1力的功 12 2动能 12 3动能定理 12 4功率 功率方程 12 5势力场 势能 机械能守恒定理 12 6动力学普遍定理的综合应用 重点 难点 2 F S s M1 1 常力在直线运动中的功 0 0正功 2 W 0负功 2 变力在曲线运动中的功 元功 全功 3 合力的功 合力的功等于各分力的功的代数和 M2 M1 M2 M F r dr 12 1力的功 3 4 几种常见力的功 重力的功 重力的功与路径无关 弹性力的功 弹簧原长l0 小变形 弹簧变形d 原点取在未变形位置x d 弹簧力为F kx k为弹簧的刚性系数 弹性力的功与路径无关 d2 l0 d1 F d x M1 M2 M x y z h zi2 zi1 Pi x o 对质点系 考点 对质点 4 转动刚体上作用力的功 力偶的功 摩檫力的功 动摩檫力与相对滑动的方向相反 作负功 z v r F F M1 M2 M N F FS FN Mf 静摩檫力 动摩檫力 滚阻力偶 作用于转动刚体上力的功等于力矩的功 5 万有引力功 万有引力所作的功只与质点的始末位置有关 与路径无关 可见 质点系内力功 变形体中内力功不为零 刚体中内力功为零 平面运动刚体上力系的功 可得 主矢FR在刚体随C平移中做功 主矩在刚体绕C转动中做功 力系向质心简化 6 例1 1如图所示 均质链条重为P 长为l 初始静止 且垂下的部分长为a 试求链条全部离开桌面时重力所作的功 则重力所的功为 解 在桌面建立向下的坐标轴z 如图所示则链条全部离开桌面时其重心的高度差为 7 解 从A到B弹力的功 从B到C弹力的功 例1 2固定圆环半经为R 小球套在环上 被长度为l的弹簧约束在A点 求 小球从A到B及从B到C弹力的功 8 例1 3图示绕线轮沿斜面下滑S距离 计算所受外力的功 解 解 9 1 质点的动能 m 瞬时量 与速度方向无关 永为正值 2 质点系的动能 单位 焦耳 J kgm2 s2 某瞬时质点系的动能等于该瞬时质点系内各质点的动能的算术和 它是反映系统运动强度的又一物理量 v m1 v1 v2 m2 12 2动能 10 对于第i个质点相对质心的速度 m1 v1 vi mi v2 C vri vC m2 vC 柯尼希定理 质点系的动能等于随同其质心平动的动能与相对其质心运动的动能之和 11 z 3 刚体的动能 平动刚体 C vi 定轴转动刚体 平面运动刚体 O为速度瞬心 C为质心 vC v C O vc r 12 例2 1坦克履带轮 已知 履带重P 各轮重W 半径R 写出整个系统的动能 解 EK E轮 E轮履转动 E水平履带 13 例2 2长为l 重P的均质杆OA绕通过球形铰链的竖直轴Oz以等角速度w转动 如杆与铅直线的夹角为a 求杆的动能 解 在杆上距O为r处取一微段dr 如图 则该微段的动能为 所以整个杆的动能为 14 例2 3均质轮与均质杆铰接 已知m l r v0 w 求系统动能 解 EK E轮 E杆 15 m F 1 质点动能定理 微分形式 积分形式 质点动能的微分等于作用在质点上的力作的元功 质点在运动过程中两瞬时的动能变化 等于作用在质点上的力在相应路程上作的全功 M1 M2 v 12 3动能定理 重点 考点 16 2 质点系动能定理 Fi Fi ds2 若作用力按内力和外力分类 质点 微分形式 积分形式 质点系两瞬时的动能变化等于质点系的所有外力和内力在相应路程中所作的全功的代数和 质点系 ds1 17 3 刚体动能定理 微分形式 积分形式 刚体两瞬时的动能变化等于刚体的所有外力在相应路程中所作的全功的代数和 若作用力按主动力和约束力分类 系统在理想约束的条件下 微分形式 积分形式 在理想约束的条件下 刚体两瞬时的动能变化 等于刚体的所有主动力在相应路程中所作全功的代数和 Fi ds1 ds2 Fi 2 1 18 理想约束 质点系的约束反力在其位移下所作的元功之和等于零 1 光滑固定面 2 无重刚杆 3 光滑绞链 4 不可伸长的绳索 5 刚体在粗糙面上的纯滚动 19 C h A B C A B 例3 1两根均质杆AC和BC各重为P 长为l 在C处光滑铰接 置于光滑水平面上 设两杆轴线始终在铅垂面内 初始静止 C点高度为h 求铰C到达地面时的速度 解 研究整体 受力分析 且初始静止 所以水平方向质心位置守恒 代入动能定理 vA vB 运动分析 C点竖直向下 P P vC 分析AB杆 20 例3 2卷扬机 常力偶M作用在鼓轮上 鼓轮半径R1 质量m1 质量分布在轮缘上 圆柱半径R2 质量m2 质量均匀分布 设斜坡的倾角为 圆柱只滚不滑 系统从静止开始运动 求圆柱中心C经过路程S时的速度 解 研究系统 受力如图 外力作功 运动分析 初 末两状态动能 a FS O C 于是 由 得 21 例3 3在对称连杆的A点 作用一铅垂方向的常力F 开始时系统静止 如图 求连杆OA运动到水平位置时的角速度 设连杆长均为l 质量均为m 均质圆盘质量为m1 且作纯滚动 解 系统 受力如图 所有力作的功为 运动分析 初瞬时的动能为 OA到水平位置时 B端为AB的速度瞬心 因此轮B的角速度为零 vB 0 此时系统的动能为 由 得 22 例3 4图示 均质盘A B各重P 半径均为r 两盘中心线为水平线 盘B上作用矩为M的一常力偶 重物C重Q 问下落距离h时重物的速度与加速度 绳重不计 绳不可伸长 盘A作纯滚动 初始时系统静止 解 研究系统 受力分析 运动分析 C 上式求导得 h 23 例3 5均质杆AB长l 质量m1 滑块B质量m1 圆柱A质量m2 半径r 纯滚动 q q t 如图示 450时vA v0 试求此瞬时轮心A点的加速度 解 在任意位置q时 轮与杆的速度瞬心分别为P和I 计算动能 以杆和圆轮组成的系统为研究对象 用动能定理求解 24 经整理得 当q 450 vA v0 代入上式整理得 若q 450 vA 0 得 受力分析 计算所有力做功 25 1 功率 2 功率方程 启动时 制动时 稳定运转时 3 机械效率 单位 J sW 瓦 12 4功率 功率方程和机械效率 26 P1 l0 势力场 当质点在力场中从一位置运动到另一位置时 场力所作的功与路程无关 而只与其始末位置有关 这种场称为势力场 其场力称为有势力 重力场 引力场 弹性力场 力场 是一定的空间 当质点在其中任一位置上都受到确定大小和方向的力的作用 场 是反映物质存在的一定的空间 1 势力场 PotentialField P2 P3 F1 F2 F3 F1 F2 F3 12 5势力场 势能 机械能守恒定律 27 M z P M0 l0 3 势能与势力所作的功的关系 选地面为零势能点 选弹簧原长处为零势能点 重力势能 弹性力势能 质点在势力场中运动时 随着它在场中的不同位置所具有的能量 称为质点在该位置所具有的势能 或称位能 以EP表示 是一种潜在的能量 2 势能 PotentialEnergy 计算时必需选定零势能点M0 M点的势能 z M M0 M0 M M1 M0 M2 28 结论 势力场中运动的质点或质点系 在其任一位置上的动能和势能之总和 称总机械能 保持不变 所以势力场又称保守力场 将势能与势力所作的功的关系式代入质点系的动能定理 将势能与势力所作的功的关系式代入质点的动能定理 4 机械能守恒定律 29 例5 1电梯轿厢重为P 钢索的刚性系数为k 当轿厢以速度v匀速下降时钢索突然卡住 求钢索的最大张力 取平衡位置为零势位 重力和弹簧的静伸长抵消 解 讨论 当 k 3 35kN mm v 0 5m s P 2 5kN 增加 5 76倍 30 12 6普遍定理的综合应用 难点 考点 1 重要物理量 机械运动的度量 力作用的度量 物体惯性的度量 动量 动量矩 冲量 力 力系的主矢 力矩 力系的主矩 动能 功 功率 质量 转动惯量 31 2 综合应用的两种含义 求运动 优先考虑动能定理 一题用几个定理 一题多解 几种解法 3 一般规律 是否是守恒问题 求约束反力 反力偶 必须用动量定理 质心运动定理 或动量矩定理 定轴转动微分方程 经常需要补充运动学方程或静力学方程 总体思路 任何动力学问题总的原则是 先分析加速度或角加速度 再进一步求解某些力或力偶 32 例6 1均质圆盘A m r 滑块B m 杆AB 质量不计 平行于斜面 斜面倾角 摩擦系数f 圆盘作纯滚动 系统初始静止 求 滑块B的加速度 轮A的摩擦力和杆AB所受的力 解1 1 系统 动能定理求加速度 受力分析计算功 运动分析计算动能 由EK2 EK1 W12 对t求导 得 33 2 A轮 受力分析 由相对质心动量矩定理 由质心运动定理 或有 解2 单独分析每一个物体 列三方程 补充 可联立求解 34 A 讨论 若问题换作下图所示 如何解 解1 先系统 动能定理求加速度 列方程 建立运动量关系 再A环 解2 单独分析每一个物体 列方程 补充 可联立求解 A环 方程如上 B轮 35 例6 2如图示 斜面倾角为q 在水平力F 2mg作用下 沿水平面向右移动 并带动半径为R的均质轮O在斜面上纯滚动 铅直杆AO与轮心O铰接 不计摩擦 设三构件质量均为m 试求斜面加速度及铰O处反力 解 设系统由静止开始 斜面向右移动S距离时速度为v 如图 则 由EK EK0 W 且EK0 0 有 将上式代入 两边对时间t求导 并注意到 可得 对轮O P为速度瞬心 有 36 分别研究轮与斜面系统及杆AO 受力如图 对后者有 对前者 由质心运动定理有 单自由度问题 最简便的方法就是应用动能定理分析加速度 37 例6 3已知磙子C 滑轮O均质 重量 半径均为Q r 磙子沿倾角为 的斜面向下作纯滚动 借不可伸长的绳子提升重W的物体 同时带动滑轮O绕轴转动 求 1 磙子质心C的加速度aC 2 系在磙子上的绳子的张力 3 轴承O处的反力 D 系统受力如图 运动分析 解1 用功率方程求aC 系统所有力的功率为 P Qsin W vC 代入功率方程 38 研究轮O及重物系统 受力如图 由质点系动量矩定理 即 由质点系质心运动定理 联立式 a b c 即可解得 a b c 39 D 系统对O的动量矩 系统受力 运动分析如图 解2 用动量矩定理求aC 外力对O的力矩 注意滚子沿法向平衡 则 依动量矩定理 得 40 讨论 D 开始系统处于静平衡 h 在碾子连上根弹簧 刚度系数k 鼓轮加力偶M 开始时系统处于静平衡 求重物下降h时加速度 O处约束力 由 得 O处约束力的计算同样用动量矩定理求解 41 例6 4已知物块A B的质量均为m 两均质圆轮C D的质量为2m 半径均为R 无重悬臂梁CK长为3R 求 1 物块A的加速度 2 HE段绳的拉力 3 固定端K的约束反力 解 1 运动情况如图 系统动能为 式中 所以 受力如图 所有力功率为 由功率方程 可解得 C D K H A E B D mg FKy 2mg 2mg FT FKx 42 C D K H A E B D mg FKy 2mg 2mg FT FKx 2 取物块A与轮C系统为研究对象 受力如图 由 式中 解得 由质心运动定理 有 求得 3 取悬臂梁CK为研究对象 受力如图 由静力平衡得 解得 43 解得 例6 5已知杆长l 质量m 剪断B端绳子瞬时 试求A端绳子张力 解 取AB杆为研究对象 受力 运动分析 列平面运动微分方程 A B C 60 60 O 应用平面运动加速度分析 取A为基点 突然解除约束问题的特点 系统的自由度一般会增加 解除约束的前 后瞬时 速度与角速度连续 加速度与角加速度将发生突变 44 O A 例6 6已知杆m l 圆盘2m R 初始时OA杆水平 系统静止 求落至 角时杆的角速度 角加速度 A B A 解 先分析圆盘的运动 圆盘受力如图 根据对质心的动量矩定理 有 即 盘为平动 系统落至 角处 受力如图 法1 由动能定理 有 解得 求导且注意到 所以 45 法2 动量矩定理 O e A mg FOy 2mg 注意到 积分得 所以 B FOx 讨论1 轴承O处约束反力如何求 用质心运动定理 式中 即可解得 46 O B A 再用质心运动定理求O处反力 讨论2 初始OA杆水平时轴承O处约束反力如何求 所以 先由动量矩定理求e0 得 47 讨论3 若初始时OA杆水平静止 而圆盘角速度为 A 求杆落至与水平线成 角时杆的角速度 角加速度 O A 圆盘为平面运动角速度始终为 A 初始动能 角时动能 角时动量矩 m 2m 48 讨论4 若杆与圆盘固接为一体 求 1 杆初瞬时角速度 角加速度及轴承O处约束反力 2 杆落至与水平线成 角时 杆的角速度 角加速度 轴承O处约束反力 O A mg 2mg B 系统对轴O的动量矩为 系统对轴O的转动惯量为 系统的动能为 49 例6 7已知滑块A 均质轮B 质量均为m1 均质杆长2l 质量为m 三者铰接 f 0 由j 0静止释放 求j 900时vA和vB 研究整体 因 研究轮B 因 有 解 轮B平移 时 速度如图 滑块A向左平移 50 1 如何求j 450时 vA vB 2 如何求任意位置时aA与aB及铰B处约束力 3 若将轮与杆固结 情形有何不同 讨论 由 此题是多自由度问题 需要考虑守恒情形 在守恒条件下 简化或结合动能定理分析加速度 必要时需补充运动学关系 51 例6 8均质细杆AB长2l 质量为m B端搁在光滑的地板上 A端靠在光滑的墙壁上 A B均在垂直墙壁的同一铅直平面内 初瞬时 杆与墙壁的夹角为 0 由静止开始运动 求杆的角加速度 角速度及墙壁和地面的反力 表示成 的函数 解1 研究杆 画受力图 用平面运动微分方程求解 根据几何关系 有 xC lsin yC lcos 对时间t求二阶导数 得 又杆对质心的转动惯量为 52 联立求解 式 得 代入式 得 现在求杆的角速度 式 代入式 得 53 解2 用动能定理求运动量 杆的速度瞬心为D 杆的动能为 对时间t求导数 得 所有力的功率为 根据功率方程 得 杆的角加速度为 再求杆的角速度 两边积分 54 AB杆在运动过程中 质心C的轨迹为以墙角O为圆心的圆周 所以 质心C的加速度为 于是得A B处的反力为 根据质心运动定理 得 AB杆脱离墙壁的条件 FNA 0 得AB杆开始脱离墙壁的角度为 55 解3 较好 无需解联立方程 解4 较好 无需解联立方程 56 例6 9均质杆长l 质量m 静止直立于光滑水平面上 杆受微小干扰而倒下 求杆刚到达地面时的角速度和地面约束力 解 地面光滑 杆沿水平方向不受力 倒下过程中质心铅直下落 杆运动到任一位置 与水平夹角为q 时的角速度为 此时杆的动能为 初动能为零 此过程只有重力作功 由 当q 0 时解得 C 法1 上式两边求导 57 杆刚刚达到地面时受力及加速度如图所示 由刚体平面运动微分方程 得 杆作平面运动 以A为基点 则C点的加速度为 沿铅垂方向投影 得 联立 1 3 求解 得 讨论 图示均质杆长2l 重G 细绳长l f 0 不计摩擦杆由静止滑到虚线位置时 求vB及A B处反力 动能定理求速度 但不方便求加速度 运动学知识求加速度 58 例6 10已知三棱柱m1 圆柱m2 纯滚动 光滑水平面 求a 解 研究整个系统 受力如图 Fx 0 水平方向动量守恒 所以 设圆柱体O质心由静止沿斜面向下滚动距离s时 三棱柱的速度为v 圆柱中心速度为vo 系统动量为 系统动量在x方向的投影 选O为动点 三棱柱为动