线性代数终极总结.pdf

1 概念 性质 定理 公式必须清楚 解法必须熟练 计算必须准确 一 行列式与矩阵 行列式的定义 1 2 1 2 1212 1 2 11121 21222 1212 12 1 n n nn nn n i ii n nj jj njjnjiii n j jjii nnnn aaa aaa Da aaa aa aaa L L L L L MMM L 1 n T A r An A A AxxAx Ax A A A AE 可逆 的列 行 向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 总有唯一解 0 是正定矩阵 R 12 si n n Ap ppp nBABEABE A A 是初等阵 存在 阶矩阵使得 或 的列 行 向量是的一组基 是的某两组基的过渡矩阵 R R 评 注 全体n维实向量构成的集合 n R 叫做n维向量空间 0 A r An AA A AxA 不可逆 的列 行 向量线性相关 0是 的特征值 有非零解 其基础解系即为 关于0的 特征向量 评 注 0 0 r aEbAn aEbAaEbA x a A b 有非零解 为 的特征值 具有 向量组等价 矩阵等价 反身性 对称性 传递性 矩阵相似 矩阵合同 2 关于 12 n e ee 称为 n 的标准基 n 中的自然基 单位坐标向量 87 p教材 12 n e ee 线性无关 12 1 n e ee tr n ii i Ean 1 n ii i a 即主对角元素之和 任意一个n维向量都可以用 12 n e ee 线性表示 逆序数 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 逆序数为奇数叫做奇排列 为偶数叫做偶排列 奇排列变成偶排列对换次数为奇数 反之相同 一个排列中任意两个元素对换 排列改变奇偶性 即 21 1 设排列为 111lmn aa abb bccLLL 作m次相邻对换后 变成 111lmn aa abbb ccLLL 再作1m 次相 邻对换后 变成 111lmn aabbb accLLL 共经过21m 次相邻对换 而对不同大小的两元素每次 相邻对换逆序数要么增加 1 要么减少 1 相当于 21 1 也就是排列必改变改变奇偶性 21m 次相邻对换后 21 211 11 m 故原命题成立 n阶行列式的 6 大性质 p教材9部分证明请看 性质 1 行列式与它的转置行列式相等 性质 2 互换任意行 列 式的两行列行列式变号 推论 如果有两行 列 相同 行列式为0 性质 3 行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数k 等于用k 乘以行列式 推论 行列式的某一行 列 的所有元素的共因子可以提到行列式的外面 性质 4 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式等于零 性质 5 任意行列式可按某行 列 分解为两个行列式之和 性质 6 把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一数然后再加到另一行 列 上 行列式不变 将D上 下翻转或左右翻转 所得行列式为 1 D 则 1 2 1 1 n n DD 将D顺时针或逆时针旋转90o 所得行列式为 2 D 则 1 2 2 1 n n DD 将D主副角线翻转后 所得行列式为 3 D 则 3 DD p教材27 将D主对角线翻转后 转置 所得行列式为 4 D 则 4 DD 3 行列式按某一行或一列元素的代数余子式展开定理 拉普拉斯定理 1 k n C ii i DM A 1 1 1 0 1 j 0 j n ijkjikik j n ijikjkjk i ik ia AD ik k ja AD k 按第行展开其中 按第行展开其中 克莱姆法则 p教材53 n元非齐次线性方程组 11 11221111121 21 12222221222 121 122 nnn nnn nnnnnnnnnn a xa xa xbaaa a xa xa xbaaa D aaaa xa xa xb LL LL LLLLL L 0D 方程组有唯一解 12 12 n n DDD xxx DDD L 其中 1 2 j Djn L是将D中的第 j 列元素换成常数 12 nbbbL 其余元素不变而得到的行列式 如果 12 0 n bbb L 对应方程组叫齐次线性方程组 证明 12 11 11221111 21 12222222 1 122 1 jjnj nnjj nnjj nnnnnnjnnj DjAAAn a xa xa xAb A a xa xa xAb A a xa xa xAb A L L L LLLLLLLLLLLL L 用 中第 列元素的代数余子式依次乘方程组的 个方程 得 再把n个方程依次相加 得 11 1111 nnnn kkjkjkjjknkjnkkj kkkk a Axa Axa Axb A LL 由代数余子式的性质可知 0 jij xDx ijD 上式中 的系数等于而其余的系数均为 又等式右端为 于是 1 2 jj DxDjn L 2 当0D 时 方程组 2 有唯一的一个解 312 123 n n DDDD xxxx DDDD L 评 注 克莱姆法则的应用范围 只适用于方程的个数与未知数个数相等的情形 0D 克莱姆法则失效 方程可能有解 也可能无解 齐次方程组总是有解 当0D 无穷多个解 有非零解 0D 只有唯一的零解 4 行列式的计算 行列式按行 列 展开定理 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式的乘 积之和 推论 行列式某一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 若 AB与都是方阵 不必同阶 则 mn AOAAO A B OBOBB OAA A B BOBO 1 拉普拉斯展开式 上三角 下三角 主对角行列式等于主对角线上元素的乘积 关于副对角线 1 2 11 2121 1211 11 n n nn nn nnn nn aOa aa a aa aOaO K NN 1 即 所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和 范德蒙德行列式 12 222 12 1 111 12 1 2 n ij n j i n nnn n xxx n n xxxxx xxx L L L MMM L 111 共有个因子 p教材18 例12 七种常见的行列式计算问题 行和相等型行列式的计算方法 当行列式中每一行的元素之和相等 称为行和相等型 时 计算时把各列全部加到第一列 从第一 列中提出公因式 然后 各行都减去第一行就可以降阶 爪形行列式的计算方法 爪形行列式 n D 的计算一般方法是分三种情况分别讨论 假设主对角上的元素分别为 12 na aaL 如 12 na aaL中有两个或两个以上的元素为零 则必有两行成比例 故0 n D 如 12 na aaL中只有一个元素为零 例如0 k a 则先按第k 行展开 再按1k 列展开 便得到一个 主角行列式了 如 12 na aaL中没有零元素 则从 22 a 开始逐一提出主对角元素 然后 上三角化 便得到一个上三 角行列式了 5 评 注 爪形行列式的通用公式 012 11 220 11 00 00 0 00 n nn i i ji ij i nn a b bb ca cb caaaa a ca L L L LLLLL L 其中 三对角行列式的计算方法 先按第一列展开 可得通用递推公式 11112212 nnn Da Da a D 递推法常常要用到常系数二阶差分方程 常系数二阶差分方程的一般式 12 nnn DpDqDp q 为常数 1 12212 2 12 1212 0 nn n n cc pqD cc n 其中 系数 12 cc 由 12 DD 联立求得 范德蒙型行列式和升阶技巧 加边 加边的原则是不改变原有行列式的值 并使加边后的行列式能通过简单的加减行列变成爪 形 加补 即加上需要补的一行和需要补的一列 使原有行列式符合范德蒙行列式 再通过代数余子 式反求原行列式 自相似型行列式的计算方法 分为行和 或列和 相等型和不等型 对相等型 可用多行加和提出公因式 再用三角降阶求之 也 可先按第一列展开 得到递推公式 对不等型 先需要分别从末到第二行和第二列逐一对换 使之成 为两类特殊的拉普拉斯型而求之 抽象型 行列式的计算方法 参数型 行列式的计算方法 对特征参数型先看看是否具有行和相等的特点 其实大多数具备这个特点 如果没有则要找使行列 式为零的试探解 00 1 2 一般以 试探原行列式是否为零 依之为出发点利用行列式性质凑出公 因式 0 6 矩阵的定义 由m n 个数排成的m行n列的表 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa L L MMM L 称为m n 矩阵 记作 ij m n Aa 或 m n A 矩阵的乘法 ijm sijij s n AaBbCcCABAB 的列数必须等于 的行数 12121 12 1 1111 s ijiiisjjsjijiijissjikkj k mnnmnn ijikkjikkj m n ijkijk ca aabbba ba ba ba b CABca bABa b LLL 评 注 矩阵乘法虽然不满足交换律 但仍满足结合律和分配律 矩阵乘法的几何意义 投影 1010 00000 xxx Aop yy uu r 相当于把向量op uu r 投影到x轴上 旋转 cossincoscoscossincos sincossinsinsincossin r Aoprr r uu r cos coscossinsin cossinsincossin rr 相当于把向量op uu r 沿逆时针旋转 角 而 cossincossin sincossincos n nn nn 矩阵的迹 1 n ii i a 设 1 n ijijii n nn n i AaBbtr Aa 方阵的迹 tr ABtr BA 评 注 1111 nnnn ikkikiik ikki tr ABa bb atr BA 伴随矩阵 11211 12222 12 n T n ij nnnn AAA AAA AA AAA L L MMM L ij A为A中各个元素的代数余子式 1 ij ijij AM 评 注 TT TT ijijijij aAAaAAAA 即有故 逆矩阵的求法 评 注 B CABBEB ACBA CECC 逆矩阵具有唯一性 设都是 的逆矩阵 则有 1 A A A 注 1 abdb cdcaadbc 1 L L 主换位 副变号 7 1 A EE A MM 初等行变换 1 2 3 1 1 1 1 2 1 3 a a a a a a 3 2 1 11 1 1 2 1 3 a a a a a a 逆矩阵概念的推广 p教材87 例3 对矩阵 m n A 存在矩阵 n m Q 使得 m AQE 的充分必要条件是 R Am Q的列向量线性无关 对矩阵 m n A 存在矩阵 n m P 使得 n PAE 的充分必要条件是 R An P的行向量线性无关 方阵的幂的性质 mnm n A AA mnmn AA 只有方阵 幂才有意义 矩阵A的两个多项式 A 和 fA总是可以交换 即总有 AfAfAA 从而A的几个多项式可以像数x一样相乘或分解因式 2 2 2EAEAEAA 323 33EAEAAA 1 21 kk AO kEAEAAA L设为正整数 则有 p教材55 14 212121kkkkk EAEAAAEAAAAAAAEAE LLL得证 二项展开式 011 1111 0 n n nnmn mmnnnnmmn m nnnnnn m abC aC abC abCa bC bC a b LL 评 注 n ab 展开后有1n 项 01 1 1 1 0 1 2 mnmn mmmm nnnnnnnn n rnrr nnn r n CCCCCCCC m nm CrCnC 设 m nn s AB A的列向量为 12 n B的列向量为 12 s 则 m s ABC 11121 21222 1212 12 s s ns nnns bbb bbb c cc bbb L L L MMM L ii Ac is L1 2 i 为 i Axc 的解 121212 sss AAAAc cc L 12 s c ccL可由 12 n 线性 表示 即 C 的列向量能由 A的列向量线性表示 B 为系数矩阵 同理 C 的行向量能由B 的行向量线性表示 T A 为系数矩阵 8 即 111211111112211 212222221122222 121122 nnn nnn mmmnnmmmmnnm aaacaaac aaacaaac aaacaaac LL LL MMMMMLLL LL 用对角矩阵 左乘一个矩阵 相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量 用对角矩阵 右乘一个矩阵 相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘 分块矩阵的转置矩阵 T TT TT ABAC CDBD ABAB CDCD 分块矩阵的逆矩阵 1 1 1 AA BB 1 1 1 AB BA 1 111 1 ACAA CB OBOB 1 1 111 AOAO CBB CAB 分块对角阵相乘 1111 2222 AB AB AB 1111 2222 A B AB A B 11 22 n n n A A A 分块对角阵的伴随矩阵 ABA BAB 1 1 mn mn AA B BB A 评 注 1 11 11 1 1 1 1 1 1 1 10 m n m n m n AAAA B AA A B BBBA B BB A B BAAA B A B BBBA A B A 矩阵方程的解法 0A 设法化成AXBXABAXBC I 或 II III 11 1 11 TTT T TTTTTTTTT A BE X A XB XXABEABXABAB X CBA MM MM 初等行变换 I 的解法 构造 II 的解法 将等式两边转置化为 用 I 的方法求出 再转置得 III 的解法 9 二 二 向量与矩阵的秩 需要反复揣摩需要反复揣摩 零向量是任何向量的线性组合 零向量与任何同维实向量正交 单个零向量线性相关 单个非零向量线性无关 12 m A L为 121 mm B L的部分组 如果一个向量组线性无关 则其部分组必无关 如 果部分组相关 则向量组必相关 部分相关 整体必相关 整体无关 部分必无关 向量个数变动 评 注 12121 121 12 1 1 11 mmm A mm B m ABR BR A R AmR BR Am R BmR AR Bm LL L L 线性相关 线性无关 记 故线性相关 故线性无关 原向量组无关 接长向量组无关 接长向量组相关 原向量组相关 向量维数变动不影响相关性 评 注 设n维向量组 12 nA L 1 2 i i i ri x x x M 为r 维 n维向量组 12 rB L为增加 i 的维数得到的 称为导出组 即 121 T irrs xxxxx L 则 12 n A L无关 导出组 12 rB L无关 导出组 12 rB L相关 12 nA L相关 两个向量线性相关 对应元素成比例 两两正交的非零向量组线性无关 114 p教材 评 注 123112233 2 TTT 111111111 12123 0 0000 000 nnn nn 设有使 以左乘上式两端 得 因 故 从而必有 类似可证明 于是向量组 线性无关 向量组 12 n 中任一向量 i 1 i n 都是此向量组的最大无关组的线性组合 向量组 12 n 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余n 1个向量线性表示 向量组 12 n 线性无关 向量组中每一个向量 i 都不能由其余n 1个向量线性表示 评 注 注意线性相关与线性无关的细微差别 10 m个n维向量向量组成的向量组 如果维数n小于向量的个数m时一定线性相关 特别地 1n 个n 维向量一定线性相关 评 注 1212 12 12 mn mm n mm n m m mnA A R AnR Amm LL L L 个 维向量构成矩阵 个向量线性相关 mn个 维列向量组 12 m 线性相关 r Am mn个 维列向量组 12 m 线性无关 r Am 若 12 n 线性无关 而 12 n 线性相关 则 可由 12 n 线性表示 且表示法唯一 评 注 1212 1 1 mm ABbR AR B AR AmBR Bm mR BmR BmR AR Bm A xBbA 的矩阵必可分解为两个满秩矩阵之积 特别地 当 r A 1 时 必有分解形式 T A 其 中 是单行或单列矩阵 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线 线的下方全为0 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数 阶 梯线的竖线后面的第一个元素非零 当非零行的第一个非零元为 1 且这些非零元所在列的其他元素都是 0时 称为行最简形矩阵 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩 且不改变列向量间的线性关系 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩 且不改变行向量间的线性关系 即 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 11 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系 一般初等矩阵指初等行矩阵 因为初等列矩阵变换的集合与初等行矩变换的集合相等 这是关键 对 A施行一次初等行变换得到的矩阵 等于用相应的初等矩阵左乘 A 对 A施行一次初等列变换得到的矩阵 等于用相应的初等矩阵右乘 A 2 kk mn m nAkkkm knkA kAkm nAkCC 在矩阵中任取行列 位于这些行列交叉处的个元素 不改变它们在中 所处的位置次序而得的 阶行列式 称为矩阵的阶子式矩阵的阶子式共有个 矩阵的定义 如果矩阵A存在不为零的r阶子式 且任意r 1阶子式均为零 则称矩阵A的秩为r 记作 r Ar 向量组的秩 向量组 12 n L的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩 记作 12 n r L 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B 记作 AB 向量组等价 12 n 和 12 n 可以相互线性表示 记作 1212 nn 矩阵 A与B 等价 PAQB P Q可逆 r Ar BA BA B 为同型矩阵作为向量组等价 即 秩相等的向量组不一定等价 评 注 0 0 123 ij i ij rr r k r rr rrr rrrr rkr rrr ABR AR BR ArAr DABABBDD DDDDDkDDR Br AB DiDijDi 先证明 若 经一次初等行变换变为 则设 且的某个阶子式 当或时 在中总能找到与相对应的子式 由于或或因此 从而 当时 分三种情况讨论 中不含第 行 中同时含第 行和第 行 中含第 行但不 1 2 0 3 0 0 0 r rr r ijijrrr r r rr j BDDDR Br Drkrrk rDkDD DiAirR Br DDDR BrABR AR B BAR MMM MMM 含第 行 对两种情形 显然中与对应的子式故 对情形 若 因中不含第 行知中有不含第 行的阶非零子式 若则也有若 经一次初等行变换变为 则 又由于也可经一次初等变换变为故也有 TT TTTT BR AR AR B ABR AR B ABAB R AR BR AR AR BR BR AR B ABABR AR B Q 因此 设 经初等列变换变为也有 设经初等列变换变为则经初等行变换变为 且 综上 若经有限次初等变换变为即则 12 矩阵 A与B 作为向量组等价 1212 nn rr 1212 nn r 矩阵 A与B 等价 评 注 ABsr srrssr 设向量组 与向量组 的秩依次为和 因两个向量组等价 即两个向量组能相互线性表示 故与 所以 向量组 12 s 可由向量组 12 n 线性表示 AXB 有解 12 n r 1212 ns r 12 s r 12 n r 评 注 11 ml ABbbR AR A B R BR A BR BR A LL记有 又故 向量组 12 s 可由向量组 12 n 线性表示 且sn 则 12 s 线性相关 评 注 00 00 srij BBBAAA BAKk 因组能由 组线性表示 组能由 组线性表示 组能由组线性表示 故组能由组线性表示即存在系数矩阵使得 1111 11 1 10 0 0 0 r rssr ssrr s kkx bbaarsKKx kkx R Ksr aa KxBrsrs L LLMMM L L 如果 则方程组简记为 有非零解 因 从而方程组有非零解 这与组线性无关矛盾 因此不能成立 所以 向量组 12 s 线性无关 且可由 12 n 线性表示 则s n 向量组 12 s 可由向量组 12 n 线性表示 且 1212 sn rr 则两向量组等 价 p教材94 例10 评 注 010100 1101 1 rr rrrrr rrrrr ABrAB AaaBbbBABA rKbbaa KBR bbr R KR bbrR KrR KrK a LL LLL L 只要证明向量组 能由向量组 线性表示设两个向量组的秩都为 并设 组和 组 的最大无关组依次为和因 组能由 组线性表示 故组能由组线性 表示 即有 阶方阵使 因组线性无关 故 有但 因此于是矩阵可逆 并有 1 1100 rrr abb KABAB LL即组能由组线性表示从而 组能由 组线性表示 000 ABrBAABA BA AA BAA BA BAA Br BrBBrBA BA BB AB 设向量组 和 的秩都为因 组能由 组线性表示 故 组和 组合并而成的向量组能由 组线性表示 而 组是组的部分组 故 组总能由组线性表示 所以组与 组等价 因此组的秩也为 又 组的秩为 故 组的最大无关组含 个向量 因此组也是组的最大无关组故组与组等价 从而 组与 组等价 13 任一向量组和它的极大无关组等价 向量组的任意两个极大无关组等价 评 注 极大无关组与向量组可相互线性表示 于是等价 由等价的传递性 两个极大无关组等价 向量组的极大无关组不唯一 但极大无关组所含向量个数唯一确定 若两个线性无关的向量组等价 则它们包含的向量个数相等 评 注 1212s 1212s12 12 1 2 iiir iiiniiinik ikiiin aaaa aa aaaa aaaaaakn aaaa sttsst 如果向量组 I 与向量组 II 都是向量组的极大线性无关组 因为是的极大线性无关组 所以 于是可由线性表示 从而向量组 II 可由向量组 I 线性表示 又因向量组 II 是极大线性无关组 所以同理有 所以 设 A是m n 矩阵 m AXE 有解的充分必要条件是 r Am A的行向量线性无关 p教材81 19 n YAE 有解的必要条件是若 r An A的列向量线性无关 即 12 n 线性无关 mm mm TTT nnn AXER AR AEAm nR Am mR ER AER AR Am YAEA YEAnmYAEr An 有解的充分必要条件是 是矩阵由秩的性质有 所以 对两边转置 有是矩阵 有上的证明有有解的充要条件是 Am nAXAYR AnXY 设 是矩阵 若且则 0 00AXAYA XYR AnA XYXYXY 由 有 由 则矩阵方程只有零解 即 从矩阵 A划去一行 列 得B 问 A B的秩的关系 任意矩阵每减少一行或一列 其秩减少不超过任意矩阵每减少一行或一列 其秩减少不超过 1 1 1 ABa AB aR AR B a R BR B aR BR BR AR B 不妨改为从矩阵 中划去一列得记划去的一列为从而 由秩的性质有 所以有 1 TT R AabAab 的充要条件是存在非零列向量 及非零行向量使得 1212 12 0 1 1 min 1 1 1 1 100 1 00 00 0 TTTT nnij TTT n aa aabb bbabAabab R aR bR AR abR a R bR A Am nR Am nP Q APQPQp pp LL LL M 充分性 由于 非零 故 且从而 必要性 设 为矩阵 因 故存在阶可逆矩阵 使得 1 2 1 1 11 1 0 1 00 0 T T T T n T T q q p q q ap bqPQ ab L MM 令注意到 是可逆矩阵 从而不可能有全为零的行与列 从而 就是满足条件的非零向量 14 12121212 rsrs Bb bbAb bbK KsrABR Kr 设向量组能有向量组线性表示为 其中 为矩阵 且 组线性无关 证明 组线性无关的充要条件是 1212 1 122 min 0 0 0 0 rs rr BBb bbABAK R BR AKR KBR BrR KrKsr R Ks rrR Kr xbx bx bBxBAKAKxAR As AKx L 必要性 设 组线性无关记 则有由秩的性质有 由 组线性无关 则故又 为矩阵 故 充分性 记方程为代入则组线性无关 方程只有零解 0 00KxR KrKxxB 则 方程只有零解 则 所以 组线性无关 矩阵 m n A l n B 的行向量组等价的充分必要条件是 齐次方程组00AxBx 与同解 p教材101 例14 也可表述为00AxBx 与可互推的充分必要条件是它们同解 评 注 00 0 0 0 TTTT AxBx AxA xStnt BxB A R AR BRR AR BR ABABAB B 条件的必要性是显然的 下证明充分性 设方程与同解 从而也与方程 即同解 设解集 的秩为 则三个系数矩阵的秩都为故 即所以 与 的列向量等价 即 与 的行向量等价 15 矩阵的秩的性质 AOr A 若 1 0AOr A 若 0 m n r A min m n TT r Ar Ar A A p教材101 例15 0 0 T A AA 若则 p教材51 例16 评 注 0 0 0 0 0 00 00 TT T TTT TTT Am nxn xAxAAxA A x xA A xxA A xAxAxAx AxA A xr A Ar A 设 为矩阵 为 维列向量 若 满足则有即 若 满足则有即 从而可推知 综上可知与同解 因此 r kAr Ak 若0 0 m nn s r Ar Bn ABr AB BAx 若若0 的列向量全部是的解 p 及附 5 教材101例13 评 注 1212 12 0 0 1 2 00 lli ilSSS Bb bbA b bbAbil BlAxAxS bSR b bbRR BRR ARnR AR Bn 记则即 表明矩阵 的 个列向量都是齐次方程的解 记方程的解集为 知有即 又 故有 r AB min r A r Bp教材78定理8 若AB均为n阶方阵 R ABR AR Bn Ar ABr B Br ABr A 若 可逆 若 可逆 即 可逆矩阵不影响矩阵的秩 可逆矩阵为满秩矩阵 GHr GAr AHr A 为列满秩 为行满秩 若 m n Ax r ABr B r An ABOBO A ABACBC 只有零解 在矩阵乘法中有左消去律 p教材81 20 若 n s r ABr BABOAO r Bn BABCBAC 在矩阵乘法中有右消去律 rr EOEO r ArAA OOOO 若与唯一的等价 称为矩阵 的等价标准型 r AB r Ar B max r A r B r A B r Ar B p教材70 p 教材71 AOOA rrr Ar B OBBO AC rr Ar B OB R AER AEn 16 12 12 12 0 A n n A n AxA n Ax Axr Ar A AxA n L LM L 当 为方阵时 当 为方阵时 有无穷多解0 表示法不唯一 线性相关有非零解 可由线性表示有解 有唯一组解0克莱姆法则 表示法唯一 线 12 7 1 n Ax r Ar A Axr Ar A r Ar A M LM M 证明看教材72 讲义8 性无关只有零解 不可由线性表示无解 注 Ax Ax 有无穷多解其导出组有非零解 有唯一解其导出组只有零解 线性方程组的矩阵式 Ax 向量式 1122nn xxx L 1112111 2122222 12 n n mmmnnm aaaxb aaaxb Ax aaaxb L L MMMMM L 1 2 2 j j j mj jn L M 1 1 2 12 n n x x x L M 17 矩阵转置的性质 TT AA T TT ABB A T T kAkA T AA T TT ABAB 11 TT AA TT AA 矩阵可逆的性质 11 AA 111 ABB A 11 1 kAA k 1 1 AA 111 ABAB 11 kkk AAA 伴随矩阵的性质 2 n AAA ABB A 1 n kAkA 1n AA ABAB 11 A AA A kk AA 1 1 0 1 nr An r Ar An r An 若 若 若 重要定理重要定理 ABA B n kAkA k k AA ABAB AAA AA E 无条件恒成立 17 评 注 自己动手证明下自己动手证明下 1 TT AA 根据转置的定义即可得出 2 T TT ABB A 教材 39 1 1221122 ijm sijs nijm n TT ijn m jijijijssiijijijsijs TTTT jiij AaBbABCAc B ADAd ca ba ba bdb ab ab a cdCDABB A LL 设记 即故 3 T T kAkA T AA 行列式的性质 1 4 T TT ABAB 5 11 TT AA 1 111 TT TTT AAEAAEAAA 所以可逆 6 TT AA 1 T TT AAA A 1 11 AA 111 A AEAA 由定义有 2 111 ABB A 111111111 ABB AABB AAEAAAEABB A 3 11 1 kAA k 1111 1 kAkAA k 4 1 1 AA 111 1 1 111n nn AAAAAA A AA 5 111 ABAB 1111111111 111111 1111 1111111 0 ABA EEBA BBA ABABA B ABABA BABA B ABBBAAB BAAAB P教材55 25 6 11 kkk AAA 1 2 n AAA 1 122 nnnA AAAAAAAAA A 2 ABB A 1 1111 ABABAB EA B ABA B B AB BA AB A 18 3 1 n kAkA 1 1111 1 nnn kAkAkA E kAkA kAkAAkA AkA k 4 1n AA 0AA 若 则 1 nn AAA E AAAAA EA AAAA 5 ABAB 6 11 A AA A 1 1 11 1 A AAAAAA A 7 kk AA 1 1 1 0 1 nr An r Ar An r An 若 若 若 见秩的证明 6 2 ABA B 教材41 12 1122 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ijij jj nj ijijjijinjin n jnj nnn AO AaBbnD EB DA BDbb AC bnnjjnD EB Cccb ab ab aCAB EO DrrjnD AC DE CCAB L L L L 设记阶行列式 可知而在 中以乘以第一列 乘以第二列 乘以第 列 都加在第列有 其中故 再对 的行做有 3 n kAkA A是数表 k乘以A的每一个数 4 k k AA 注意 k kk ABA B 不满足交换律 5 ABAB 6 AAA AA E 无条件恒成立 1122 1 ijijijijijinjn ijij n kikjijij k AaAAbba Aa Aa A AAAAA E AAA aAAA E L设记则 故同理可得 19 三 线性方程组 线性方程组解的性质 1212 12 121 122 1212 1 2 3 4 5 6 k kkk Ax Axk k Axk AxAxAx AxAx L L 是的解也是它的解 是的解 对任意也是它的解 齐次方程组 是的解 对任意 个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解 2112 12 1 12212 1 12212 7 1 00 k kkk kkk AxAx Ax Ax Ax L 是的解 则也是它的解是其导出组的解 是的解 则 也是的解 是的解 设 A为m n 矩阵 若 r Am r Ar A M Ax 一定有解 当mn 时 一定不是唯一解 方程个数未知数的个数 向量维数向量个数 则该向量组线性相关 m是 r Ar A M和的上限 判断 12 s L是 Ax 的基础解系的条件 12 s L线性无关 12 s L都是 Ax 的解 snr A 每个解向量中自由未知量的个数 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一 若 是 Ax 的一个解 1 s L是 Ax 的一个解 1 s L线性无关 Ax 与Bx 同解 A B列向量个数相同 则 它们的极大无关组相对应 从而秩相等 它们对应的部分组有一样的线性相关性 它们有相同的内在线性关系 两个齐次线性线性方程组 Ax 与Bx 同解 A rr Ar B B 20 两个非齐次线性方程组 Ax 与Bx 都有解 并且同解 A rr Ar B B M M 矩阵 m n A 与 l n B 的行向量组等价 齐次方程组 Ax 与Bx 同解 PAB 左乘可逆矩阵P 101 p教材 矩阵 m n A 与 l n B 的列向量组等价 AQB 右乘可逆矩阵Q 关于公共解的三种处理办法 把 I 与 II 联立起来求解 通过 I 与 II 各自的通解 找出公共解 当 I 与 II 都是齐次线性方程组时 设 123 是 I 的基础解系 45 是 II 的基础解系 则 I 与 II 有公共解 基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示 即 1231231425 rrcc M 当 I 与 II 都是非齐次线性方程组时 设 11 122 cc 是 I 的通解 233 c 是 II 的通解 两方程组有公共解 2331 c 可由 12 线性表示 即 12122331 rrc M 设 I 的通解已知 把该通解代入 II 中 找出 I 的通解中的任意常数所应满足 II 的关系式而求 出公共解 21 三元线性方程组的几何意义与向量组秩的联系及其形象化 重点 设三元线性方程组为 11 11221331 21 12222332 31 13223333 a xa xa xd a xa xa xd a xa xa xd 设增广矩阵的列向量依次为 12341234 Ab 数矩阵的行向量依次为 1 1232 3 A 增广矩阵的行向量依次为 1 1232 3 A 便于对照 我们把矩阵作如下向量表示 111121311112131 221222322122232 331323333132333 1231234 aaaaaad aaaaaad aaaaaad 方程组中每一个方程代表一个平面 依次极记为 123 每个平面能否存在 等价于每个方程能否 成立 也等价于 1 2 3 i d i 能否由 123 xxx线性表出 只要有一个 1 2 3 i d i 不能由 123 xxx线 性表出 其中有个平面就不存在 即存在一个矛盾方程 方程组就无解 对应 R AR Ad 由空间 解 析 几 何 知 123 分 别 是 平 面 123 的 法 向 向 量 决 定 平 面 的 取 向 如 123123 3 R 线性无关 则说明三个平面 法线 既不能平行又不能重合 如 123123 3 R 线性相关 则说明三个平面 法线 既可能同时平行又可能全部重合 或 既可能部分平行又可能部分重合 123 3R 表示三个方程独立 123 3R i 非负性 当时当时 ii 齐次性 iii 三角不等性 是单位向量 1 即长度为1的向量 n维向量的夹角 0 0 arccos x y xynxy xy 当时称为 维向量 与 的夹角 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交 则称该向量组为正交向量组 向量空间的正交基 1212 12 rr r V V LL L 若是向量空间 的一个基 且是两两正交的非零向量组 则称是向量空间 的正交基 规范正交基 1212 12 n rr r ne eeV VRe ee e eeV LL L 设 维向量是向量空间的一个基 如果两两正交 且都是单位向量 则称是的一个规范正交基 施密特正交规范化 123 线性无关 几何解释见教材 P117 25 11 21 221 11 3132 3312 1122 正交化 单位化 1 1 1 2 2 2 3 3 3 技巧 取正交的基础解系 跳过施密特正交化 让第二个解向量先与第一个解向量正交 再把第二个解 向量代入方程 确定其自由变量 例如 123 xxx 0取 1 T 1 1 0 2 1 1 2 T 特征值的 定义 AXX 针对方阵 A的特征矩阵 EA A的特征多项式 EA 111213 22231113111232 112233212223 323331332122 313233 123112233 111213 123212223 313233 1 n aaa aaaaaa EAaaaaaa aaaaaa aaa aaaTr A aaa aaaA aaa 根据韦达定理 马上可以得到两个重要公式 评 注 特别地 如特征值行列式中 有两行或两列对应成比例 上述公式可以简化为 3 323232 112233123 1 0 ii i EAaaaatrAtrA 韦达定理一般形式为 12 102 120 111 0 1 nnn n nnn nn nnniiij iiji nnn aaa a xaxaxaxxx x aaa L f 是矩阵 A的特征多项式 f AO 见教材124 1 1 1 111 n n APP APdiag f f APfPPPPOPO f L O 若 与 相似 即有可逆矩阵使有 A的特征方程 EA 0 AxxxAxx 为非零列向量 与 线性相关 26 12n A L 1 n i A tr Atr 称为矩阵 A的迹 上三角阵 下三角阵 对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素 若0A 则 0为 A的特征值 且 Ax 的基础解系即为属于 0的线性无关的特征向量 1r A A一定可分解为 A 1 2 12 n n a a bbb a L M 2 1 122 nn Aaba ba bA L 从而 A的特征值 为 11 122nn Aaba ba b Ltr 23n L0 评 注 12 T n a aaL为 A各行的公比 12 n b bbL为 A各列的公比 若 A的全部特征值 12 n L f A 是多项式 则 若 A满足 f AO A的任何一个特征值必满足 i f 0 f A 的全部特征值为 12 n fff L 12 n f Afff L 初等矩阵的性质 E i j 1 E i kk E i j k 1 T E i jE i j T E i kE i k T E i j kE j i k 1 E i jE i j 1 1 k E i kE i 1 E i j kE i jk 1 E i jE i j 1 k E i kkE i E i j kE i jk 设 1 110 mm mm f xa xaxa xa L 对n阶矩阵 A规定 1 110 mm mm f Aa AaAa Aa E L为 A 的一个多项式 1 23 1 1 22 T A m m kkA abaAbE A A A A A A L 是 的特征值 则 分别有特征值 27 1 2 11 2 2 n A m m k kA ab aAbE A xAx A A A L 是 关于 的特征向量 则 也是关于的特征向量 2 m AA 的特征向量不一定是 A的特征向量 A与 T A 有相同的特征值 但特征向量不一定相同 p教材138 6 T TT AEAEAEAA 即与 的特征多项式相同 故特征值相同 设n阶矩阵 A B满足 R AR Bn 则 A B有公共的特征值 有公共的特征向量 p教材138 7 12 00 0 0 0 00 n R AR BnR AnR BnABA A BA B A BAxBxA B AA AxBxxRR AR Bn BB 的个数为正惯性指数 0 i d L0 正定矩阵 正定二次型对应的矩阵 T f xx Ax 为正定二次型 之一成立 x T x Ax 0 0 T B BXA BX 满秩 抽象正定二次型 A的特征值全大于0 抽象的正定二次型 f 的正惯性指数为n 对实对称矩阵而言 正负惯性指数分别等于正负特征值的个数 A的所有顺序主子式全大于0 111 1112 11 2122 1 0 0 0 n mmn aa aa a aa aa K LMOM L 具体二次型 A与E 合同 即存在可逆矩阵C 使得 T C ACE p教材140 33 存在可逆矩阵P 使得 T AP P 存在正交矩阵C 使得 1 21T n C ACC AC O i 大于0 必要条件有 1 0 ii a 0A 充分条件有 2 正定矩阵一定为满秩矩阵 正定矩阵一定为实对称矩阵 T f xx Ax 为负定二次型 f 正定 奇数阶子式为负 而偶数阶主子式为正 霍尔维茨定理霍尔维茨定理 111 1 1 0 1 2 n r mmn aa rn aa K MOML L 合同变换不改变二次型的正定性 37 A为正定矩阵 ii a 0 0A A为正定矩阵 1 T AAA 也是正定矩阵 A与B 合同 若 A为正定矩阵 B 为正定矩阵 A B为正定矩阵 AB 为正定矩阵 但 AB BA不一定为正定矩阵 二次型 T f xx Ax 在1x 时的最大值为矩阵 A的最大特征值 p教材140 29 1212 12 22 1212 11 max max nn T nii TTTTTT nn T xx AnQq qq Q AQdiagQiq xQyxx xxyy yyxx xy Q Qyy yy f xx A LL L LL 记为 是矩阵 的 个特征值 由对称性可正交相似对角化 故存在正交阵使 并且 的第 个列向量 是对应于特征值 单位特征向量 今做变换其中则 从而 一方面 2 2 11 2 1 222 1122 11 11 2 11010000 1 1 000000001 maxmaxmaxmax max 1 0 0 1 1 nn i ii n i i TTTT nn yy yy n T i i y TTTT xy Q AQyyyyyyyy yyeyxQyx f xxf xxAxy Q AQyyy L L 另一方面 当取则 令则 且二次型在 处的值为 此式说明二 11 11 1max max T xx xf xx Ax 次型在条件下确可取得 综合以上两个方面有 证明对称阵 A为正定的充要条件是存在可逆矩阵U 使 T AU U 即 A与E 合同 p教材140 33 充分性 已知存在可逆矩阵U 使 T AU U 任取0 n xR 必有0Ux 否则0 x 并且对应 于矩阵 A的二次型在该处的值 2 0 TTT f xx Axx U UxUx UxUx 即对应于矩阵 A的二次型是正 定的 从而根据定义知 A是正定矩阵 必要性 因 A是对称阵 故存在正交阵Q 使 1212 T nn Q AQdiagA