数学北师大版九年级下册二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质.doc

如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C连接AC，BC，A（-3，0），C（0，），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等（1）求抛物线的解析式；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连接MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B、N、Q为顶点的三角形与A0C相似？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由当运动时间为t秒时，连接MN，将BMN沿MN翻折，得到PMN并记PMN与AOC的重叠部分的面积为S求S与t的函数关系式【答案】分析：（1）此题的关键是求出三个待定系数，首先由“当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等”确定抛物线的对称轴，进而能求出a、b间的数量关系，由C点坐标不难得出c的值，再代入A点坐标后即可得解（2）由（1）的结果不难得出B点的坐标，此时可以发现ABC恰好是一个含30角的特殊直角三角形，即ABC=60，因此BMN是一个等边三角形，而四边形BNPM是一个菱形，即BM=BN=PN=t，由于PNAB，根据平行线分线段成比例定理可列出关于PN、AB、CN、CB的比例关系式，根据此时可求出t的值；在求点P的坐标时，首先要求出直线AC的解析式，点P的纵坐标可由BNM的高得出，则P点坐标不难求出在中，已经得到了ABC的特殊形状，显然AOC的形状和ABC是完全一样的，所以若以B、N、Q为顶点的三角形与AOC相似，那么BNQ也必须是一个含30角的直角三角形，所以可以分两种情况讨论：、BNQ是直角，由于NBM是60，那么点Q必须在x轴上，即点Q为抛物线对称轴与x轴的交点；、NBQ是直角，此时BQAC，即两条直线的斜率相等，首先求出直线BQ的解析式，联立抛物线对称轴方程即可得到Q点的坐标此题需要注意三个关键位置：P落在y轴上时（设此时t=）、点M和点O重合时（设此时t=）、P落在AC上时（设此时t=），那么整体上可以分四段：、0t时，PMN和AOC不重合，S=0；、t时（参照解答部分-图），PMN和AOC的重合部分是个含30角的小直角三角形，首先在RtBOC中由平行线分线段成比例定理求出GH的表达式，进而得出PG的长，而GH=PG，则PGH的面积（即S）可求；、t时（参照解答部分-图），PMN和AOC的重合部分是个不规则图形，其面积可由PMN的面积（即BMN的面积）减去含30角的小直角三角形得出；、t2时（参照解答部分-图），PMN和AOC的重合部分是个不规则图形，其面积可由PMN的面积（即BMN的面积）减去两个含30角的小直角三角形得出解答：解：（1）当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等，抛物线对称轴：x=-=-1，即b=2a；由C（0，）得：c=；将A（-3，0）代入y=ax2+2ax+（a0）中，得：9a-6a+=0，a=-抛物线的解析式：y=-x2-x+（2）由（1）的抛物线解析式知：A（-3，0）、B（1，0）、C（0，），则：OA=3，OB=1，OC=，即 OC2=OAOB，又OCAB，则ABC是直角三角形，且CAB=30，ABC=60；BMN中，BM=BN=t，NBM=60，即BNM是等边三角形；由于PMN由BMNA翻转所得，所以PMN也是等边三角形，四边形PNBM是菱形；PNAB（如题干图），得：=，代入数据，有：，解得：t=；由tanCAO=、C（0，）得，直线AC：y=x+；当y=tsin60=时，x+=，x=-1即 P（-1，）；综上，B点恰好落在AC边上的P处时，t=，P（-1，）AOC是一个含30角的直角三角形，若以B、N、Q为顶点的三角形与A0C相似，那么BNQ也必须是一个含30角的直角三角形分三种情况讨论：、QNB=90、BQN=30（如-图）；ABC=Q1BN=60，点Q1在x轴上，即Q1（-1，0）；、QBN=90、BQN=30（如-图）；此时BQ2AC，设直线BQ2：y=x+b，代入B（1，0），得：b=-直线BQ2：y=x-，Q2（-1，-）；、QNB=90、QBN=30（如-图）；此时N、C重合，点Q3应在的P点处，由的计算结果知：Q3C=sin60=，而BC=2，即CQ3B=60，符合条件；即 Q3（-1，）；综上，符合条件的Q点的坐标为：Q1（-1，0）、Q2（-1，-）、Q3（-1，）当点P落在y轴上时，=，即=，解得：t=；当点M、O重合时，t=OB=1；当点P落在AC上时，由知，t=；、当0t时，PMN和AOC不重合，即S=0；、当t1时（如-图），由=可求得：GN=1-，PG=PN-GN=t-（1-）=-1；S=SPGH=（-1）（-1）=（-1）2；、当1t时（如-图）；由知，GN=1-，GH=GN=（1-），SGHN=（1-）（1-）=t2-t+；S=SPMN-SGHN=SBMN-SGHN=tt-（t2-t+）=t2+t-；、当t2时（如-图）；同上，可求得SPDE=（t-2）2=t2-3t+2、SGHN=t2-t+、SPMN=t2，S=SPMN-SPDE-SGHN=-t2+t-；综上，S=点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形