量子跃迁理论与不含时微扰论的关系.ppt

11 3量子跃迁理论与不含时微扰论的关系 一 不含时微扰论所处理的两类问题 上学期我们学习了微扰论 仔细分析一下 发现这种微扰论实际上处理两类问题 1 纯粹是求能量本征值问题的一种技巧 例如 Stark效应 Zeeman效应等 在此过程中 实际上是随时间变化的 但人们通常仍用不含时微扰论 即定态微扰论来处理 2 真正加上了某种外界微扰 这样做是否合理 我们分析一下 式中参数表征微扰加进来的快慢 表示微扰无限缓慢地引进来 的变化如右图所示 设 1 长时微扰 设时体系处于的非简并态 按微扰论一级近似公式 时刻体系跃迁到态的波幅为 利用初始条件 来自 及前面所给公式 上式右边第一项是的非简并本征态 第二项正是微扰带来的一级近似修正 此式正好是定态微扰论中的一个本征态 但这种微扰是 绝热地 引进来的 即微扰时间参数比所处理体系的特征时间长得多 或者说 体系有足够的时间调整自己的状态来应对外界的微扰 所以可以用定态微扰论来处理 可以求出准确到一级近似下的波函数 上次课复习 对含时Hamilton体系 有 则 含时微扰论的一级近似解为 主要学习了含时微扰论 有简并的情况下跃迁几率为 通过与含时微扰论比较 发现非含时微扰论主要处理两类问题 1 纯粹是求能量本征值问题的一种技巧 2 真正加上了某种外界微扰 而当这种微扰是缓慢地 绝热地加进来时 可以用定态微扰论来代替含时微扰论 但当这种微扰是常微扰 且持续有限时间时 即有限常微扰时 如何处理 2 有限常微扰 即常微扰只在一定时间间隔中起作用 设 其中为阶梯函数 定义为 如右图 则在时刻 微扰导致的体系从态到态的跃迁振幅的一级近似为 分部积分 得 当t T后 上式右边第一项为0 利用公式 及 因此 跃迁几率为 下面我们利用上述结论来讨论散射问题中的一个重要公式 二 Fermi黄金规则 对公式 当微扰作用的时间间隔T足够长时 只在的一个窄范围中不为0 见右图 1 跃迁速率 利用公式 则有 因此 当时 而单位时间的跃迁几率 跃迁速率 为 如常微扰只在起作用 则只要足够长 远大于体系的特征时间 则跃迁速率与时间无关 只有当末态能量和初态能量相近的情况下 才有可观的跃迁发生 而恰是常微扰作用下体系能量守恒的反映 2 黄金规则 前面我们讲过 一级微扰论成立的条件是 跃迁几率很小 体系有很大几率仍停留在初始状态 但在公式 中出现了函数 与有关 此时一级微扰论还成立吗 解释 函数出现上述公式中只有当能量连续变化的情况下才有意义 此时我们对所有能量积分时 函数就被积分掉 不存在 问题了 设表示体系的末态的态密度 即在范围中的末态数为 因此 从初态到附近一系列可能末态的跃迁速率之和 求积分 为 上式应用很广 非常有价值 故人们习惯称之为Fermi黄金规则 goldenrole 物理含义容易理解 跃迁速率与能态密度成正比 与跃迁矩阵元的平方成正比 利用公式 下面看Fermi黄金规则在实际问题中的应用 3 黄金规则的应用 弹性散射 前面我们学习过 对于一维入射粒子 碰到势垒后会发生反射和透射 而且反射和透射系数定义为 对于三维粒子 入射粒子沿确定方向入射 动量为 取为轴方向 在受到靶子作用 视为微扰 后 可以沿不同方向出射 相应的几率也与出射方向有关 或者说 出射粒子有一个角分布 见下图 设出射粒子的动量为 与入射粒子动量方向夹角为 对于弹性散射 采用平面波近似 入射波表为 利用流密度公式 可以算出入射流密度为 出射波表为 这样 式中 是的Fourier变换 设沿角方向的立体角中出射粒子的末态密度为 则能量在范围内的末量子态数为 其中 相空间中的一个体积元相当于一个量子态 在相对论和非相对论条件下 都可以证明 v是粒子的速度 下面举例证明相对论的情况 所以 故 在相对论情况下 因为 得到沿角方向的立体角中出射的速率为 得 因此由 定义散射截面 及 将 代入上式 得 对于非相对论粒子 则 这就是粒子与靶碰撞的散射截面 反映了散射后粒子的空间分布几率 作业 P3414 Heisenberg测不准关系 一定程度反映经典和微观粒子描述的关系 一个问题 电子分别处在基态和激发态 哪一种状态更稳定或寿命较长 讨论另一种测不准关系 11 4能量与时间测不准关系 一 两个特例 例1设粒子初始状态为和是粒子的两个能量本征态 本征值分别为和 则有非定态 在此态下 各力学量的几率分布要随时间改变 比如粒子的空间几率分布 其中 可将视为测量体系能量时出现的不确定度 由 可知 随时间呈周期性变化 其周期为 动量及其它力学量的几率分布也有同样的变化周期 故此周期T是表征体系性质变化快慢的特征时间 记为 对定态来说 能量是完全确定的 即 定态的特点 所有不显含时间的力学量几率分布都不随时间改变 或者说 变化周期为无穷大 特征时间 这与关系是一致的 上次课复习 Fermi黄金规则公式 对有限常微扰 黄金规则公式在散射问题中的应用 对非相对论粒子 有 利用一个特例 给出了下式 下面看另一个例子 例2 此波包所描述的粒子的动量不确定度为 设自由粒子状态用一个波包来描述 波包宽度 群速度为 相应于经典粒子的运动速度 波包掠过空间某点所需时间为 因此其能量不确定度为 故 上述两个特例给出相同的结论 二 能量 时间测不准关系的严格推导 有 其中 分别表示在给定状态下能量和力学量的不确定度 由前面所学习的测不准关系 设体系的Hamilton量是 为另一个不含时的力学量 利用前面学习的不显含时间力学量的平均值随时间的变化规律 或 令 意义 改变所需的时间间隔 表征变化快慢的周期 此时 由 得 若最小的记为 它当然满足式 或写成 此所谓能量 时间测不准关系 三 能量 时间测不准关系的意义 1 物理含义 表示状态能量的不确定度 为该状态的特征时间 可理解为状态性质有明显改变所需要的时间间隔 或变化周期 上式表明 与不能都任意地小下去 而要受到一定的制约 如激光脉冲 2 能量 时间测不准关系与坐标 动量测不准关系的区别 在非相对论情况下 时间只是一个参量 而不是属于某一特定体系的力学量 因此不能套用坐标 动量测不准关系的普遍论证方法 在坐标 动量测不准关系中 与都是指同一时刻而言 而在能量 时间测不准关系中 不可能理解 同一时刻 的是什么含义 物理意义不同 不能随便地令 由此得出 能量 时间 能量和时间分辨不可能同时达到高精度要求的 坐标 动量 微观粒子坐标和动量不能同时确定 是表征体系随时间演化特性的力学量 而体系状态的演化要满足方程 但这绝不表明 对于任意 上式都成立 例3 设原子处于激发态 它可以通过自发辐射而衰变到基态 寿命为 见下图 此激发态是非定态 其能量不确定度为 称为能级宽度并用表示 通过测量自发辐射光子的能量 如何测量激发态的能量 思考一个问题 从而能量的不确定度为 由此得出粒子激发态能量的不确定度并满足 因而光子动量不确定度为 已知粒子在激发态上的寿命 则自发辐射光子相应的辐射波列的长度为 此结论与能量 时间测不准关系相吻合 11 5光的吸收与辐射的半经典处理 一 几个基本概念 1 光的吸收 在光的照射下 原子可能吸收光从低能级跃迁到高能级 11 5 0概述 2 受激辐射 在光的照射下 原子可能从较高能级跃迁到较低能级并放出光 3 自发辐射 处在激发能级的原子 即使没有外界光的照射 也可能跃迁到某些较低能级而发出光 4 谱线频率 或波数 按照频率条件 相对应的频率 5 谱线相对强度 是一个与跃迁速率成比例的量 实际上与参与跃迁的粒子数成正比 比如氢原子的可见光光谱为 二 处理光的吸收和发射常用的方法 1 量子电动力学 需要把电磁场量子化 光子即电磁场量子 2 非相对论量子力学 研究光的吸收和受激辐射现象 研究光的吸收与辐射现象 光子产生和湮灭 此时辐射场的作用可以看作与时间有关的微扰来处理 能级跃迁 处理自发辐射时 这种方法无能为力 3 相对论量子力学的方法 一个方兴未艾的研究课题 Einstein基于热统中平衡概念的考虑 回避了光子的产生和湮灭 巧妙地予以解决 强场物理 外场中电子的动力学行为 以上三种方法并不互相独立 11 5 1光的吸收与受激辐射 一 微扰项的给出 假设入射光为平面单色光 其电磁场强度为 在原子中 电子的速度 磁场对电子的作用远小于电场对电子的作用 高斯制 只需考虑电场的作用 另外 对于可见光 波长 即在原子大小范围内 电场变化极其微小 可以看成是均匀电场 所以 其相应的电势为 或利用公式 由于常数项对微扰项的贡献仍是常数 对跃迁矩阵元的贡献为0 不妨略去 故入射可见光对原子中电子的作用可表为 其中 将代入跃迁振幅的一级微扰公式 二 跃迁几率和速率的计算 当时 则时 后项贡献显著 所以方括号中的两项只有当时才有显著贡献 当时 则时 前项贡献显著 对于原子吸收光的跃迁 此时 只有当入射光的情况 才会引起的跃迁 此时保留后项贡献 有 一个具体的例子 从而的跃迁几率为 利用公式 上式可以写为 可以发现 当时 有一极大值 见下图 可以发现 当时间充分长以后 只有的入射光对的跃迁有明显贡献 这种吸收叫共振吸收 而跃迁速率为 式中是与的夹角 如入射光是非偏振光 光偏振的方向是完全无规的 此时可把换为它对空间各方向的平均值 即 所以 这里是角频率的单色光的电场强度值 问题解答 在光的吸收理论中讨论微扰项时 我们说到 原子中电子的速度 故磁场对电子的作用远小于电场对电子的作用 即 其中光速c的出现是高斯单位制的缘故 有的同学问 高斯单位制下电场力公式中为何无c 原因 见电动力学 高斯单位制下洛仑兹力的表达式 但高斯单位制下 即公式本身就相差一个常数c 故造成了 从而有 上次课复习 能量时间测不准关系 代入跃迁振幅的一级微扰公式 有 对光的吸收和受激辐射 将微扰 当k k 且时间较长时 出现共振吸收现象 跃迁几率公式为 跃迁速率为 对单色非偏振光 有 但自然界中不存在严格的单色光 只不过有的光单色性比较好 如激光 对自然光引起的跃迁 要对上式中各种成分的贡献求和 令表示角频率为的电磁场的能量密度 利用 可将换为 就得出非偏振自然光引起的跃迁速率 代入 由上式 有 从上式可以看出 跃迁快慢与入射光中角频率为的光强度成比例 跃迁速率还与成比例 即与初末态的性质相关 对 下面举例予以介绍 设 首先考虑到为奇宇称算符 对于 只有当宇称时才可能不为零 由此得出电偶极辐射的宇称选择定则 宇称 改变 其次考虑角动量的选择定则 三 电偶极辐射选择定则 利用基本公式 在具体计算的矩阵元时 需要求解因子 即求解的矩阵元 分析上述基本公式 可知下面的递推公式是重要的 见曾谨言 习题精选与剖析 相关内容 再根据球谐函数的正交性 可以知道 只当 时 才可能不为0 由此得电偶极辐射的角动量选择定则 以上未考虑电子自旋 可以证明 电偶极辐射的选择定则为 见曾书 习题精选与剖析 相关内容 在考虑电子自旋及旋轨耦合作用后 电子状态用好量子数nljmj来描述 11 5 2自发辐射的Einstein理论 前面提过 在非相对论量子力学理论框架内是无法解释原子的自发辐射现象的 Eintein曾提出一个很巧妙的半唯象理论来说明原子的自发辐射现象 如初始时原子处于某一定态 则原子将保持在该定态 不会跃迁到较低能级去 因为此时Hamilton量是守恒量 借助于物体与辐射场达到平衡时的热力学理论 一 受激辐射和吸收系数 按照上节的讨论 在强度为的光的照射下 原子从态到态的跃迁速率可表为 其中 称为吸收系数 与此类似 对于从态的受激辐射 跃迁速率也可以表成 由于为厄米算符 所以 即受激辐射系数等于吸收系数 它们都与入射光强度无关 二 自发辐射和自发辐射系数的给出 现在用热力学与统计物理的知识来处理这个问题 设处于平衡态下体系的绝对温度是分别为处于能级上的原子数目 可知 式中为Boltzman常数 由Boltzman分布律 吸收粒子数 辐射粒子数 故只有受激辐射无法与吸收过程达到平衡 根据平衡的要求 必须引进自发辐射 由于