线性方程与非线性方程的概述与运用.ppt

线性方程与非线性方程的概述与运用 问题背景和研究目的 解方程 代数方程 是最常见的数学问题之一 也是众多应用领域中不可避免的问题之一 求解一般非线性方程没有通用的解析方法 但如果在任意给定的精度下 能够解出方程的近似解 则可以认为问题已能够解决 至少可以满足实际需要 本节主要介绍一些有效的求解方程的数值方法 二分法 迭代法 牛顿法 同时要求大家学会如何利用Matlab来求方程的近似解 2 6非线性方程近似根 相关概念 如果f x 是一次多项式 称上面的方程为线性方程 否则称之为非线性方程 线性方程与非线性方程 问题 如何求连续的非线性方程实根的近似值 根的隔离 若函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在开区间 a b 内至少存在一个根 通过根的隔离 可假设此区间内存在唯一根x 基本思想 二分法 将隔离区间进行对分 判断出解在某个子区间内 然后再对该子区间对分 依次类推 直到满足给定的精度为止 算法 二分法 设方程在区间 a b 内连续 且f a f b 0 给定精度要求 若有 f x 则x就是f x 在区间 a b 内的近似根 收敛性分析 二分法收敛性 设方程的根为x an bn 又 所以 根据上面的算法 我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列 an bn 在 an bn 中含有方程的根 二分法总是收敛的 二分法的收敛速度较慢通常用来给出根的一个较为粗糙的近似 简单迭代法 x 的不动点 f x 0 x x f x 的零点 x 称为迭代函数 若收敛 即 假设 x 连续 则 收敛性分析 迭代法的收敛性 即 注 若得到的点列发散 则迭代法失效 迭代法的收敛性判据 定理2 1 全局收敛 定理2 2 全局发散 定理2 3 局部收敛与发散 定理2 4 收敛速度 定义 迭代法收敛性判断 如果存在x 的某个邻域 x x 使得对 x0 开始的迭代xk 1 xk 都收敛 则称该迭代法在x 附近局部收敛 迭代法收敛性判断 L越小 迭代收敛越快 收敛阶 为了进一步研究收敛速度问题 引入阶的概念 记 如果 p 1时还要求01时称为超线性收敛 p越大收敛越快 牛顿迭代法 令 设非线性方程f x 0 f x 在xk处作Taylor展开 牛顿迭代公式 k 0 1 2 牛顿迭代公式 牛顿法的优点 牛顿法是目前求解非线性方程 组 的主要方法 对于单重根迭代2阶收敛 收敛速度较快 特别是当迭代点充分靠近精确解时 在实际计算中 如果要求高精度 可以先用其它方法 如二分法 获得精确解的一个粗糙近似 然后再用牛顿法求解 牛顿迭代法大范围收敛性 Matlab解方程的函数 roots p 多项式的所有零点 p是多项式系数向量 fzero f x0 求f 0在x0附近的根 f可以使用inline 字符串 或 但不能是方程或符号表达式 solve f x 求方程关于指定自变量x的解 f可以是用字符串表示的方程 符号表达式或符号方程 solve也可解方程组 包含非线性 得不到解析解时 给出数值解 A b 解线性方程组Ax b 其他Matlab相关函数 g diff f x 求符号表达式f关于x的导数g diff f 求符号表达式f关于默认变量的导数g diff f x n 求f关于x的n阶导数 diff f是符号表达式 也可以是字符串 默认变量由findsym f 1 确定 symsx f sin x 3 x 2 g diff f x g diff sin x 3 x 2 x 作业 每题分别用两种一步迭代法 要求写出迭代格式 1 Newton迭代法 2 自己构造的非牛顿切线或割线法迭代格式 需讨论收敛性 根据迭代格式用计算机 器 求下列非线性方程的根 迭代法的加速 设迭代xk 1 xk 第k步和第k 1步得到的近似根分别为xk和 xk 令 其中wk称为加权系数或权重 得新迭代xk 1 xk 松弛迭代法 松弛法迭代公式 松弛法具有较好的加速效果 甚至有些不收敛的迭代格式 通过加速后也能收敛 缺点 每次迭代都需计算导数 Altken迭