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第二章解线性方程组的直接法 数值分析 2 1线性方程组的一般形式与直接法思想 2 1线性方程组的直接法 实际问题中的线性方程组分类 按系数矩阵中零元素的个数 稠密线性方程组 稀疏线性方程组 按未知量的个数 高阶线性方程组 低阶线性方程组 如1000 80 按系数矩阵的形状 对称正定方程组 三角形方程组 三对角占优方程组 一 直接法概述 直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形方程组的方法 共有若干种 对于线性方程组 其中 系数矩阵 未知量向量 常数项 1 根据Cramer 克莱姆 法则 若 1 需要计算n 1个n阶行列式并做n次除法运算 2 每个n阶行列式需要做n 次乘法运算 若采用行列式展开计算 3 对于较大的n 计算量大到一般计算机难以接受 另外累积误差也将不能接受 需要寻找其他实际求解的办法 这就是数值解法 若用初等变换法求解 则对其增广矩阵作行初等变换 n 1次 同解 即 以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法 则 都是三角形方程组 上述方法称为直接三角形分解法 2 不论是Gauss消去法还是直接三角形分解法 都归结为解三角形方程组 二 三角形线性方程组的解法 若记 下三角形线性方程组 上三角形线性方程组 即 其解为 其解为 三角形方程组的解有显示的计算公式 精确解 Gauss消去法和直接三角矩阵分解法都属于直接法 所谓直接法就是直接通过方程组的已知数据 用有限步的算式运算公式 求出方程组的精确解
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