空间向量的综合应用(理).ppt

1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 3 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 4 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 1 平面的法向量已知平面 如果向量n的基线与平面 垂直 则向量n叫做平面 的或说向量n与平面 正交 法向量 2 直线与平面的夹角 1 斜线和平面内任一直线所成的角已知OA是平面 的斜线段 O是斜足 线段AB垂直于 B为垂足 设OM是 内通过点O的任一条直线 OA与OB所成的角为 1 OB与OM所成的角为 2 OA与OM所成的角为 则cos cos 1 cos 2 2 斜线和平面所成角的性质 最小角定理 斜线和它在平面内的射影所成的角 是斜线和这个平面内所有直线所成角中的角 3 斜线和平面的夹角斜线和它在平面内的所成的角叫做斜线和平面所成的角 或斜线和平面的 4 直线和平面所成角 的范围是 最小 射影 夹角 0 90 思考探究 直线与平面所成的角和平面的法向量与直线的方向向量所成的角有怎样的关系 提示 当直线的方向向量与平面的法向量所成的角是锐角时 其余角为线面角 当直线的方向向量与平面的法向量所成的角是钝角时 其补角的余角是线面角 3 二面角及其度量 1 二面角及相关概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 这条直线叫做二面角的棱 每个半平面叫做二面角的 棱为l 两个面分别为 的二面角 记作 l 二面角 面 2 二面角的平面角在二面角 l 的棱上任取一点O 在两半平面内分别作射线OA l OB l 则叫做二面角 l 的平面角 平面角是的二面角叫做直二面角 3 二面角 的范围是 AOB 直角 0 180 1 若直线l1 l2的方向向量分别为a 2 4 4 b 6 9 6 则 A l1 l2B l1 l2C l1与l2相交但不垂直D 以上均不正确 解析 a b 2 6 4 9 6 4 0 a b 从而l1 l2 答案 B 2 若平面 与平面 的法向量分别是a 4 0 2 b 4 0 2 则平面 与 的位置关系是 A 平行B 垂直C 相交但不垂直D 无法判断 解析 由题意 有a b a与b共线 从而 与 平行 答案 A 3 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O是底面正方形ABCD的中心 M是D1D的中点 N是A1B1上的动点 则直线NO AM的位置关系是 A 平行B 相交C 异面垂直D 异面不垂直 解析 建立坐标系如图 设正方体的棱长为2 则A 2 0 0 M 0 0 1 O 1 1 0 N 2 y 2 1 1 y 2 2 0 1 0 则直线NO AM的位置关系是异面垂直 答案 C 4 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角的大小为 解析 cos m n 即 m n 45 其补角为135 两平面所成二面角为45 或180 45 135 答案 45 或135 5 正方体ABCD A1B1C1D1中 直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为 解析 如图 建立直角坐标系 设正方体棱长为1 则D 0 0 0 A1 1 0 1 B 1 1 0 C1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 设n x y z 为平面A1BD的法向量 则 取n 1 1 1 设直线BC1与平面A1BD所成角为 则sin cos n cos 答案 1 证线线平行与垂直 若直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则 l1 l2 v1 v2 l1 l2 v1 v2 v1 v2 0 2 证线面平行与垂直若直线l的方向向量为v 平面 的法向量为n 则 l v n l v n 3 证面面平行与垂直若 平面 和 的法向量分别为n1 n2 则 n1 n2 n1 n2 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PC 平面ABCD PC 2 在四边形ABCD中 B C 90 AB 4 CD 1 点M在PB上 PB 4PM PB与平面ABCD成30 的角 1 求证 CM 平面PAD 2 求证 平面PAB 平面PAD 思路点拨 课堂笔记 以C为坐标原点 CB为x轴 CD为y轴 CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C xyz PC 平面ABCD PBC为PB与平面ABCD所成的角 PBC 30 PC 2 BC 2 PB 4 D 0 1 0 B 2 0 0 A 2 4 0 P 0 0 2 M 0 0 1 2 2 3 0 0 1 令n x y z 为平面PAD的一个法向量 则令y 2 得n 2 1 n 2 0 1 0 n 又CM 平面PAD CM 平面PAD 2 取AP的中点E 则E 2 1 2 1 PB AB BE PA 又 2 1 2 3 0 0 BE DA 又PA DA A BE 平面PAD 又 BE 平面PAB 平面PAB 平面PAD 求直线与平面所成的角的方法有 1 找出直线在平面内的射影从而确定出直线与平面所成的角 通过解三角形求之 2 应用平面的法向量求解设直线AB的一个方向向量为a 平面 的法向量为n 则直线AB与平面 所成的角 为sin cos a n 如图 在四棱锥P ABCD中 底面为直角梯形 AD BC BAD 90 PA 底面ABCD 且PA AD AB 2BC M N分别为PC PB的中点 1 求证 PB DM 2 求CD与平面ADMN所成角的余弦值 思路点拨 课堂笔记 如图 以A为坐标原点建立空间直角坐标系 A 设BC 1 则A 0 0 0 P 0 0 2 B 2 0 0 C 2 1 0 M 1 1 D 0 2 0 1 证明 2 0 2 1 1 0 PB DM 2 2 0 2 0 2 0 0 PB AD 又 PB DM AD DM D PB 平面ADMN 因此 的余角即是CD与平面ADMN所成的角 cos sin CD与平面ADMN所成角的余弦值为 若本例条件不变 求AM与平面CDN所成角的余弦值 解 以A为坐标原点 建立空间直角坐标 A 设BC 1 则A 0 0 0 P 0 0 2 B 2 0 0 C 2 1 0 D 0 2 0 M 1 1 N 1 0 1 1 1 2 1 0 1 2 1 设m x y z 是平面CDN的一个法向量 x 令x 1 得m 1 2 3 cos m sin m 直线AM与平面CDN所成角的余弦值为 利用空间向量方法求二面角 有两种办法 1 分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小 2 通过平面的法向量来求 设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2 则二面角的大小等于 n1 n2 或 n1 n2 特别警示 利用空间向量方法求二面角时 注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角 2009 全国卷 如图 直三棱柱ABC A1B1C1中 AB AC D E分别为AA1 B1C的中点 DE 平面BCC1 1 证明 AB AC 2 设二面角A BD C为60 求B1C与平面BCD所成的角的大小 思路点拨 课堂笔记 1 证明 以A为坐标原点 AB为x轴 AC为y轴 AA1为z轴 建立如图所示的直角坐标系A xyz 设B 1 0 0 C 0 b 0 D 0 0 c 则B1 1 0 2c E c 于是 0 1 b 0 由DE 平面BCC1知DE BC 0 求得b 1 所以AB AC 2 设平面BCD的法向量 x y z 则 0 0 又 1 1 0 1 0 c 故令x 1 则y 1 z 1 1 又平面ABD的法向量 0 1 0 由二面角A BD C为60 知 60 故 cos60 求得c 于是 1 1 1 1 Cos 60 所以B1C与平面BCD所成的角为30 解 由本例 2 知 1 1 又B 1 0 0 A1 0 0 1 0 1 1 又 2 cos 异面直线B1C与BA1所成角的余弦值为 在本例 2 的条件下 能否求出异面直线B1C与BA1所成角的余弦值 利用空间向量解决空间中线面位置关系的论证 空间中各种角的求解问题 以代数运算代替复杂的空间的想象 给解决立体几何问题带来了鲜活的方法 另外 空间向量还可以用来解决许多探索性问题 这类问题具有一定的思维深度 更能考查学生的能力 因此正逐渐成为高考命题的热点题型 考题印证 2009 福建高考 12分 如图 四边形ABCD是边长为1的正方形 MD 平面ABCD NB 平面ABCD 且MD NB 1 E为BC的中点 1 求异面直线NE与AM所成角的余弦值 2 在线段AN上是否存在点S 使得ES 平面AMN 若存在 求线段AS的长 若不存在 请说明理由 解 1 如图 以D为坐标原点 建立空间直角坐标系D xyz 依题意 易得D 0 0 0 A 1 0 0 M 0 0 1 C 0 1 0 B 1 1 0 N 1 1 1 E 1 0 2分 0 1 1 0 1 3分 cos 5分所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为 6分 2 假设在线段AN上存在点S 使得ES 平面AMN 0 1 1 可设 0 又 1 0 1 8分由ES 平面AMN 得即 9分 故 此时 0 10分经检验 当AS 时 ES 平面AMN 11分故线段AN上存在点S 使得ES 平面AMN 此时AS 12分 自主体验 直三棱柱A1B1C1 ABC的三视图如图所示 D E分别为棱CC1和B1C1的中点 1 求二面角B A1D A的余弦值 2 在AC上是否存在一点F 使EF 平面A1BD 若存在确定其位置 若不存在 说明理由 解 1 如图建立空间直角坐标系 则B 0 2 0 D 0 0 1 A1 2 0 2 2 0 1 2 2 2 设平面A1DB的法向量为n1 1 x y 则 n1 1 1 2 而平面ACC1A1的法向量为n2 0 1 0 cos n1 n2 二面角B A1D A的余弦值为 2 当F为AC的中点时 EF 平面A1BD 证明 设F x 0 0 由E 0 1 2 得 x 1 2 若EF 平面A1BD 则 n1 由n1 1 1 2 得x 1 F为AC的中点 存在F为AC的中点 使EF 平面A1BD 1 设平面 的法向量为 1 2 2 平面 的法向量为 2 4 k 若 则k A 2B 4C 4D 2 解析 两平面的法向量平行 即有 k 4 答案 C 2 若直线l的方向向量与平面 的法向量的夹角等于120 则直线l与平面 所成的角等于 A 120 B 60 C 30 D 以上均错 解析 如图所示 可知直线l与平面所成的角等于30 答案 C 3 2008 福建高考 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 A B C D 解析 以D点为坐标原点 以DA DC DD1所在的直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 则A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 C1 0 2 1 2 0 1 2 2 0 且为平面BB1D1D的一个法向量 cos BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 答案 D 4 2010 南京模拟 若直线l的方向向量e 2 1 m 平面 的法向量n 1 2 且l 则m 解析 l e n m 4 答案 4 5 如图 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 M和N分别是A1B1和BB1的中点 那么直线AM与CN所成角的余弦值为 解析 建立如图所示的坐标系 则A 1 0 0 M 1 1 C 0 1 0 N 1 1 则 0