结构稳定理论第五章.ppt

第五章梁的侧扭屈曲 第一节前言 影响梁弹性侧扭屈曲临界荷载的主要因素 1 截面形状和尺寸 截面尺寸比值 2 荷载的类型及其在截面上的作用点位置 3 支承条件和相邻杆件约束的影响 4 初始缺陷 第二节纯弯曲时梁的侧扭屈曲 固定坐标oxyz移动坐标o 一中性平衡方程 计算假设 1 梁处于弹性工作阶段 材料为各向同性 2 弯曲和扭转变形时 梁截面形状保持不变 3 微小变形 4 沿跨度方向 梁截面是均匀的 5 不考虑残余应力和初弯曲等缺陷的影响 6 截面在弯曲平面内的抗弯刚度很大 屈曲前弯曲变形的影响可略去不计 由 4 22 式可得梁的约束扭转方程为 由前面得到 将 c 式代入 a 和 b 式后得 5 1 将第二式对z求导二次 第三式对z求导数一次后得双轴对称截面梁的中性平衡方程 5 2 也可由偏心压杆弯扭屈曲中性平衡方程式 4 49 来建立 将P 0 My 0和Mx M0代入 4 49 式得 这是任意开口薄壁截面梁在最大刚度平面yz内承受纯弯曲时的中性平衡方程 对于双轴对称截面或以x轴为对称轴的单轴对称截面 y 0 上式即化为 5 2 式 二临界弯矩 对 5 3 式的第一式积分二次得 对于两端简支边界条件 在z 0和z l处应满足u u 0 于是A B 0 上式可写成 代入式 5 3 的第二式后可得扭角 的常微分方程 通解为 式中 根据简支边界条件 由 e 式可得积分常数A B C和D的线性齐次代数方程为 稳定特征方程为 即 因此 将 m 式代入式 使n 1 求得M0的最小值就是梁侧扭屈曲的临界弯矩 将 k 式代入 h 式得A B D 0 于是由 e 式可得梁侧扭屈曲时转角变形曲线为 将 p 式代入 d 式积分二次后得 边界条件z 0和z l处u 0 得C1 C2 0 因此梁侧扭屈曲时侧向弯曲变形曲线为 为了避免直接求解微分方程 5 4 临界弯矩可根据边界条件假设位移函数 代入中性平衡方程求得 代入 5 3 式得 稳定特征方程为 解此方程 当n 1 得M0的最小根 即为所求的临界弯矩 其表达式与 5 5 完全相同 当梁端为固定时 边界条件是在z 0和z l处满足u u 0 假定位移函数为 代入 5 3 后求得临界弯矩为 当梁为悬臂梁 可假定位移函数为 满足边界条件 固定端z 0处 u u 0 自由端z l处 u 0 代入 5 3 式可得临界弯矩为 引用计算长度概念 可得纯弯曲时梁临界弯矩的一般表达式为 或 当为双轴对称 点对称和x轴为对称轴的单轴对称截面时 y 0 式 5 9 可简化为 当截面为狭长矩形时 由于翘曲刚度EI 0 y 0 5 10 式可简化为 当梁截面为壁厚很小的工字形时 其抗扭刚度GIk很小 与翘曲刚度相比可略去不计 则 5 8 和 5 10 式可分别近似地表达为 和 三屈曲前变形对梁侧扭屈曲的影响 考虑屈曲前变形影响时 应将临界弯矩除以一个修正系数 当EIx远大于EIy和 2EI l02 GIK 时 1 当EIx EIy或EIx 2EI l02 GIK时 0 此时Mcr 对于两个方向的抗弯刚度相接近的截面中 如正方形 不狭长的矩形 圆形 圆管和方管等截面 梁不会在强度破坏前发生侧扭屈曲 阅读P222例6 1 第三节横向荷载作用时梁侧扭屈曲的总势能 补充假设 荷载作用点发生位移时 荷载作用线的方向保持不变 这两部分应变能表达式为 根据分枝理论 屈曲时临界弯矩保持不变 因此 式中 离原点为z的梁截面上任意点B x y 处取一微段dAd dAdz来研究 当截面平移时 微段一端位移u 另一端位移为u du 因此微段长度dz改变为ds1 当截面绕剪力中心转动时 微段B点位移由 4 27 确定 微段另一端B1点位移为 因此微段由于扭转而产生的相对位移为 由于侧向弯曲 产生曲率1 u 因截面扭转而产生的x轴方向位移为 y y0 又使微段纵向引起变化 其值为 由于截面扭转 微段的长度由ds1改变为ds2 由 a b 和 c 式可得 将上式展开 并略去高阶微量后得 位移和转角均是微小 将上式展开并取前面二项 可得 对 e 式沿全截面积分 并注意到O为形心 x轴和y轴为形心主轴 可得 或 式中 6 15 式中第一项是外力引起的弯矩Mx在屈曲弯扭变形时所作的功 华格纳效应系数 6 15 式中第二项是由于截面扭转使弯曲正应力 z方向偏斜 由其水平分力形成抵抗扭矩所引起的应变能 K 称为华格纳 H Wagner 效应 在截面上B x y 处取出微段dAd dAdz 当截面扭转 角时 微段两端产生相对扭转角d 使微段偏斜r 角而引起水平分力 zdAr 该力对剪力中心形成一个微扭矩 zr2 dA 而整个截面的抵抗扭矩为 由于 z是z的函数 所以K也是z的函数 非线性应变能U3包括两部分 一部分是由Mx因侧扭而产生转动引起 另一部分是纵向纤维应力偏斜而引起的扭转应变能 梁屈曲弯扭变形时的外功 对于横向集中荷载 将集中荷载Pn看作qndz利用 5 17 可得集中荷载所作的功为 梁端外力矩M0所作的功 横向分布荷载所作的功 简支或固定边界 M0与侧向斜率u 方向垂直 M0不作功 自由边界 产生v M0作功为W3 M0v0 由 4 26 和 5 15 5 18 式可得梁侧扭屈曲时总势能的变化为 或 第四节跨间有横向荷载作用时梁的侧扭屈曲 一横向均布荷载作用时梁的侧扭屈曲 一 中性平衡方程 将 5 19 或 5 20 式中的被积函数代入 4 32 式后可得梁侧扭屈曲的中性平衡方程为 和 其中 6 22 式也可写成 当截面对称于弯曲轴 y 0 当仅有端弯矩M0作用时 q 0 Mx M0 常数 5 21 和 5 23 式可简化为 5 3 式 二 临界弯矩 方程 5 21 5 24 为变系数微分方程 难以求出解析解 利用 5 21 消去一个变量 将 5 21 积分二次得 简支边界 z 0和z l处 u u 0 可得C D 0 代入 5 20 式和 5 23 式得 和 采用迦辽金法 注意到下列积分 得到梁侧扭屈曲时的临界弯矩M0为 横向荷载作用时梁侧扭屈曲临界弯矩一般表达式 临界弯矩可用瑞利 里兹法或铁木辛柯法导出 将上述位移函数和Mx代入 5 26 式 得 瑞利 里兹法 A 0 或铁木辛柯法 M0 A 0导出 5 29 相同的结果 直接由 5 20 求解临界弯矩 需要假设二个位移函数 稳定特征方程为 解得C1 1 15 C2 0 466 C3 0 5338 高于 5 29 u和 不是相互独立的变形 在两端简支时 存在以下关系 二集中荷载作用时梁的侧扭屈曲 1 由 5 20 应用瑞利 里兹法或铁木辛柯法求得 将q 0以及以上关系代入 5 20 式 可得 因 故 2 利用均布荷载作用时梁的中性平衡方程式 5 20 5 20 式来求 将以下积分式代入上式 得到临界弯矩同 5 31 式 阅读P235例6 2 第五节梁的非弹性侧扭屈曲 布莱希 F Bleich 采用相应于梁中最大应力处的切线模量Et和Gt来代替弹性侧扭理论中的弹性模量E和G 得到梁非弹性侧扭屈曲临界荷载的下限 如令Et E Gt G 代入 5 10 式得双轴对称截面梁的非弹性侧扭屈曲临界弯矩为 求出荷载偏低 非弹性侧扭屈曲临界荷载数值分析方法 计算假定 1 材料理想弹塑性体 切线模量Et 0 Gt 0 25G 2 考虑残余应力的影响 相应于Mcr时的长度l为临界长度 以lcr表示 在非弹性屈曲时 截面分成弹性区和塑性区 中和轴和剪力中心均将有变动 截面刚度将降低 截面刚度 K 中和轴和剪力中心位置随Mcr和lcr而改变 因此必须先求出相应于Mcr或lcr的截面有效刚度