大学课件-物理光学.ppt

物理光学 一光学的两大分支光学是物理学最古老的学科之一 它分为几何光学和物理光学两大部分 几何光学 以光的直线传播模型为基础 研究光的传播规律 成象规律 是光学系统设计的基础 物理光学 以光的电磁理论为基础 研究光的本性 光的传播规律及光与物质的相互作用 1波动光学2薄膜光学3非线性光学4傅立叶光学5集成光学 二物理光学的内容 绪论 1864年 麦克斯韦在总结安培 法拉第等人关于电场 磁场的研究工作的基础上 归纳得出了描述统一的电磁场规律的麦克斯韦方程组 建立了完整的电磁场理论 1865年他进一步提出了光是一种电磁波的设想并在1888年为赫兹的实验所证实 光的电磁理论由此得以确立 光的电磁理论的建立推动了光学及整个物理学的发展 尽管在理论上有其局限性 但它仍是阐明众多光学现象的经典理论 第一章光的电磁理论 积分形式的麦克斯韦方程组静电场和静磁场的麦克斯韦方程组 静电场的高斯定理 静电场的环路定律 这一方程组只适用于稳恒场 若电场和磁场是交变场 则其中的部分表达式不适用 静磁场的环路定律 静磁场的高斯定理 麦克斯韦方程组描述了电磁场的基本规律 它有积分和微分两种表达形式 1麦克斯韦方程组 交变电磁场的麦克斯韦方程组麦克斯韦假定在交变电场和交变磁场中 高斯定理依然成立 变化的磁场会产生涡旋电场 故静电场的环路定律应代之以涡旋电场场强的环流表达式 对静磁场的环路定律则引入了位移电流的概念后进行了修改 这样 就得出了适用于交变电磁场的麦克斯韦方程组 2 式的意义是 单位正电荷沿闭合回路移动一周时 交变的涡旋电场所作的功等于回路中产生的感应电动势 4 式中的为位移电流 1 2 3 4 微分形式的麦克斯韦方程组为方便地求解电磁场的某一场量 实际中常使用麦克斯韦方程组的微分形式 是电荷分布的体密度 j是传导电流密度 从积分式变换到微分式依据的数学定理 可参见课本后的附录 物质方程麦克斯韦方程组中共出现两个电场量E D和两个磁场量B H 其中的E B是基本量 D H是辅助量 对应的基本量与辅助量的关系取决于电磁场所在的物质 在各向同性物质中 有以下关系成立 导电物质中 还有的关系 为电导率 以上三式合称为物质方程 麦克斯韦方程组与物质方程结合 构成一组完整的反映电磁场普遍规律的方程组 为介质的介电系数 为介质的磁导率 电磁场的传播用麦克斯韦电磁理论的基本概念 可以将电场和磁场的相互关系表述为 空间某区域内有变化的电场 则在临近的区域内印起变化的磁场 这个变化的磁场又在较远的区域内引起新的变化的电场 并在更远的区域内引起新的变化的磁场 这个过程持续地继续下去 变化的电场和变化的磁场交替产生 构成统一的电磁场 在这种交替产生过程中 电磁场由近及远 以有限的速度在空间内传播 形成电磁波 电磁场的波动方程由麦克斯韦方程组可导出关于电场基本量E和磁场基本量B的两个偏微分方程 从而证明电磁场的波动性 为简化讨论 假设所讨论的空间为无限大且充满各向同性的均匀介质 故 均为常数 又设讨论的区域远离辐射源 因此 0 j 0 2电磁场的波动性 在此条件下 麦克斯韦方程组简化为 取第三式的旋度 将 4 式代入上式右侧 由场论公式 上式左侧可变为 由相似的数学运算可得到关于B的方程 两方程变为 这两个偏微分方程称波动方程 它们的解为各种波动 这表明电场和磁场是以波动的形式在空间传播的 传播速度为v 电磁波电磁波的速度电磁波在介质中的传播速度取决于介质的介电常数和磁导率 关系式为 当电磁波在真空中传播时 速度为c 电磁波谱电磁波包含许多波长成分 除了我们熟知的无线电波和光波以外 还包括X射线 射线等 按照波长或频率的顺序把这些电磁波排列成 称为电磁波谱 如图1 3所示 介质的绝对折射率电磁波在真空中的速度与在介质中的速度是不等的 为了描述不同介质中电磁波传播特性的差异 定义了介质的绝对折射率 代入c v各自的表达式 有 本节根据波动的两个偏微分方程 结合边界条件 初始条件 得出其中的平面波解 平面波的波函数 一沿某一坐标轴方向传播的平面波所谓平面波 是指电场和磁场在垂直于传播方向的平面内各点具有相同值的波 设平面波沿三维坐标系的Z轴正向传播 如图1 4所示 产生平面波的电磁场波动方程简化为 引入中间变量对方程化简 令 3平面电磁波 对 1 式代换变量 得 因此 1 式化简为 平面简谐波 3 4 式是平面简谐波的波函数 即我们认定研究的电磁波为平面简谐波 波函数中各因子的意义 定义某一时刻位相相同的各点所形成的包络面为波面 分析位相因子可知 在任意时刻t时 位相相同的各点必有同一z值 即各点位于同一垂直于z轴的平面内 波面为一平面 故 3 4 式所表示的波为平面简谐波 波函数的多种表达形式 1 2 就一般情况而言 平面电磁波可沿空间任意方向传播 因此需要写出在一般情况下的波函数 如图1 5所示 电磁波沿空间某一方向传播 在t时刻波面为 波面上任意一点P到坐标原点的距离为r 电波的波函数为 在物理光学的研究中 主要关注的是光的能量 而理论分析证明 对光能量起决定作用的是电场强度E 所以将E的表达式称为光波的波函数 我们研究的光波是理想的单色光波 即波的频率 为与介质无关的单一值 由于波的传播速度随介质而异 所以在不同的介质中 波长有不同的值 真空中波长 0与折射率为n的介质中的波长 的关系是 3 复数形式的波函数为了运算方便 波函数常写成如下的复数形式 用这种复数表达式 可以免去复杂的三角函数运算 例如在光学问题中 常常要求振幅A的平方值 因为光波的能量 光强度I 与A2成正比 要求A2 只需将复数E乘上其共轭复数E 也可将复数波函数中的空间位相因子和时间位相因子分开写为 平面电磁波的性质 1 电磁波是横波证明 2 E和H互相垂直 综合以上所述三点 得到如图1 8的电磁波传播示意图 一球面波如果在真空中或各向同性的均匀介质中的O点放一个点光源 容易想象 从O点发出的光波将以相同的速度向各个方向传播 经过一定时间以后 电磁振动所到达的各点将构成一个以O点为中心的球面 如图所示 这时的波阵面是球面 这种波就称为球面波 O R 光线 波面 4球面波和柱面波 设图中的球面波为单色光波 由于球面波波面上各点的位相相同 因此只需研究从O点发出的任一方向上各点的电磁场变化规律 即可知道整个空间的情况 取沿OR方向传播的光波为对象 设O点的初相为0 则距O点为r的某点P的位相为 球面波的振幅Ar是随距离r变化的 设距O点为单位距离的O1点和距O点为r的P点的光强分别为I1和Ir 则 由波函数可看出 球面波的振幅与离开波源的距离成反比 实际中 当考察的空间离球面波的波源很远时 对一个较小范围内的球面波波面 可近似作平面处理 即认为是平面波 柱面波柱面波是一个无限长的线光源发出的光波 它的波面具有柱面的形状 用同样的方法可以证明 柱面波的振幅与成反比 因此 柱面波的波函数为 光是电磁波 光源发光就是产生物体电磁辐射 一个物体是由大量的分子 原子组成的 物体的发光实质上是组成物体的分子 原子发光 因为大部分物体的发光属于原子发光类型 所以可以只研究原子辐射电磁波的情况 电偶极子辐射模型经典电磁场理论把原子发光看作是原子内部过程形成的电偶极子的辐射 原子由带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子组成 在外界能量的激发下 原子核和电子产生剧烈运动 发生相互作用 使得原子的正电中心和负电中心通常并不重合 且两者间的距离在不断发生变化 形成一个振荡电偶极子 设原子核所带电荷为q 正负电中心的距离 矢径 为l 方向由负电中心指向正电中心 原子的电矩为p 见图1 13 p ql 5光波的辐射 最简单的情况是 振荡电偶极子是电矩随时间作余弦 或正弦 变化 原子作为一个振荡电偶极子 必定在周围空间内产生交变的电磁场 图1 14是电偶极子附近电场中电力线的分布图示 在前期的 电磁场理论 中 已应用麦克斯韦方程组对振荡电偶极子辐射的电磁场进行了计算 结果如下 1作简谐振荡的电偶极子在距离很远的P点辐射的电磁场的数值为 参见图1 15 上式表明 电偶极子辐射的电磁波是一个以电偶极子为中心的发散球面波 但球面波的振幅是随 角而变的 辐射能振荡的电偶极子向周围空间辐射电磁场 电磁场的传播伴随着场能量的传播 这种场能量称辐射能 为了描述辐射能的传播 引进辐射强度矢量 Poynting矢量 S 它的大小为单位时间内 通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能量 它的方向为能量的传播方向 已知S的方向为电磁波的传播方向 而波的传播方向 E方向 B方向三者相互垂直 故 2 式又可以写成矢量式 由于电场和磁场的变化频率高达1015Hz数量级 所以S的值也在迅速改变 用任何方法都不能接受到其瞬时值 只能接受到在某一时间段内的平均值 已知辐射强度的瞬时值为S v E2 设电偶极子辐射球面波 代入球面波电场波函数的实数表达式 则辐射强度在一个周期内的平均值为 由此式可知 辐射强度的平均值与电偶极子振荡的振幅平方成正比 与振荡频率的四次方成正比 即与波长的四次方成反比 还与角度 有关 考察离电偶极子很远处的球面波时 可将其视为平面波 平面波的辐射强度在一个周期内的平均值为 物理光学中将 S 称为光强度 用I表示 由 5 式得 I A2当讨论相对光强时 比例系数可消去 I A2 对实际光波的认识光波的不连续性振荡电偶极子辐射的并不是连续的光波 而是持续时间极短的波列 每一波列的持续时间为10 9秒数量级 各波列之间没有确定的位相关系 光矢量的振动方向也是随机的 自然光的非偏振性光学中将普通光源辐射的 未经过特殊的起偏振装置处理的光波叫自然光 这种光波在空间各个方位上的振动几率相等 不表现出偏振性 光学中经常遇到光波从一种介质传播到另一种介质的问题 由于两种介质对光传播所表现的物理性质不同 这种不同以介电系数和磁导率的变化来表征 所以在两种介质的分界面上电磁场量是不连续的 但它们相互间有一定的关系 这种关系称为电磁场的边值关系 下面应用麦克斯韦方程组的积分式来研究这个边值关系 电磁场法向分量的关系参见图1 18 假想在两介质的界面上作一个扁平的小圆柱体 柱高为 h 底面积为 A 将麦克斯韦方程组的 3 式应用于该圆柱体 得出 6电磁场的边值关系 因为底面积 A很小 可认为B是常数 设柱顶和柱底分别是B1和B2 上面的积分可改写为 当柱高 h趋于零时 上式的第三项趋于零 且柱顶和柱底趋近分界面 此时用一个法线方向的单位矢量n来替代n1 n2 方向从介质2指向介质1 如图1 18所示 再将麦克斯韦方程组的 1 式用于图1 18的圆柱体 在界面没有自由电荷的情况下 可得 电磁场切向分量的关系假想在图1 18中两介质分界面上作一个矩形ABCD 其四条边分别平行或垂直于分界面 如图1 19所示 将麦克斯韦方程组的 2 式应用于该矩形 得出 设AB CD很小 在两线段范围内E可视为常数 则介质1中为E1 介质而中为E2 当矩形高度 h趋于零时 沿BC和DA路径的积分趋于零 由于矩形的面积将趋于零 前面等式右侧的积分也为零 前式变为 结论在两种介质的分界面上 电磁场量整体是不连续的 但在界面上没有自由电荷和面电流时 B和D的法向分量以及E和H的切向分量是连续的 光在两透明介质分界面上的反射和折射 实质上是光波的电磁场与物质的相互作用问题 它的精确处理是很复杂的 需要涉及到次波的产生和相干问题 本节中采用了一种较简单的方法 用介质的介电系数 磁导率和电导率来表示大量分子的平均作用 根据麦克斯韦方程组和电磁场的边界条件 研究平面光波在两介质分界面上的反射和折射问题 反射定律和折射定律当一个单色平面光波入射到两不同介质的分界面上时 被分为两个波 折射波和反射波 从电磁场的边值关系可以证明这两个波的存在 并求出它们的传播方向的关系 7光在两介质分界面上的反射和折射 1 2 k1 k1 k2 n 设介质1 介质2的分界面为无穷大平面 单色平面光波由1入射到2 入射波 反射波 折射波的波矢量分别为k1 k1 k2 角频率分别为 三个波分别表示为 1 1 2 菲涅耳公式菲涅耳公式是用来表示反射光 折射光与入射光振幅和位相关系的一组表达式 实际情况中 入射光的电矢量E1可以在垂直于传播方向的平面内的任意方位上振动 但总可以将E1分解为垂直于入射面的分量E1s和平行于入射面的分量E1p Es的正方向为沿y轴正向 即垂直于图面向外 Ep的正方向如图所示 需要说明的是 这种方向只是一种人为的规定 改变这种规定 并不影响结果的普遍适用性 x z o n1 n2 E1s E1p E1s E1p E2s E2p k1 k1 k2 1 1 2 s波的反射和透射系数设平面波入射于两介质界面 其中的电矢量垂直于入射面 磁矢量的方向如图所示 三个波同相 由电磁场边值关系的 3 式可得 E1s H1p E1s H1p E2s H2p 1 1 2 o n1 n2 p波的反射和透射系数入射的平面波是电矢量平行于入射面的p波 磁矢量的方向垂直于入射面 入射 反射 折射三波仍同相 与前面研究s波的过程相仿 由电磁场边值关系的 3 4 式和右图可得 E1p H1s k1 1 1 2 E1p H1s H2s E2p k1 k2 n1 n2 将入射 反射 折射波的表达式代入 3 和 4 式 得到 菲涅耳公式的讨论对菲涅耳公式的讨论分n1 n2和n1 n2两种界面情形来进行 n1 n2时举最常见的光从空气射向玻璃的情况为例 n1 1 n2 1 5 图1 24是这种情况下s波和p波的透射系数 反射系数与入射角 1的关系曲线 由该图可得如下结论 1 在图中 1角的变化范围内 s波和p波的透射系数值接近 而且均随 1的增大而减小 当 1 90o时 ts tp均为0 没有折射光波存在 2 在图中 1角的变化范围内 rs的绝对值随 1的增大而增大 当 1 90o时 rs的绝对值为1 即垂直分量全部反射 rp的变化分为 1 B和 1 B两段 B 2 90o 当 1 B时 rp的值随 1的增大而减小到0 反射光中没有平行分量 当 1 B时 rp的绝对值随 1的增大而增大 当 1 90o时rp的绝对值为1 即平行分量也完全反射 3 由图中可看出 ts tp均为正值 A2s与A1s同号 A2p与A1p也同号 即界面上E2s与E1s为同方向 E2p与E1p也为同方向 位相相同 4 图中rs始终为负值 A 1s与A1s异号 即界面上E 1s与E1s反向 反射波中的垂直分量发生了 的位相突变 rp当 1 B时为正值 A 1p与A1p同号 E 1p与E1p同向 位相相同 当 1 B时 A 1p与A1p异号 E 1p与E1p反向 位相相反 5 由图1 25可知 平面波在界面上发生正入射 1 0o 或掠入射 1 90o 时 E 1s与E1s E 1p与E1p都反向 所以E 1与E1也反向 即在这两种情况下反射光与入射光的振动位相相反 可以理解为反射时发生了 的位相突变 称为 半波损失 n1 n2时设光波与1相比逆向入射 n1 1 5 n2 1 这种情况下s波和p波的反射系数 透射系数与入射角 1的关系如图1 26的曲线所示 与n1 n2时对应曲线相比较 不同之处如下 1 在 1 c时 c为 2 90o时对应的入射角 rs rp的符号与n1 n2时的情况正好相反 将不会出现相位突变 即这种界面条件下不存在半波损失 2 在 1 c时 rs rp为复数 但模值为1 意味着产生了全反射 3 ts tp的值均大于1 且随 1的增大而增大 反射率和透射率菲涅耳公式表示的是入射 反射 折射波的振幅之比 利用光强度与振幅的关系式 可将振幅比变为能量比 得出界面的反射率和折射率 最常见的是自然光入射 这时s波和p波能量相等 五反射和折射产生的偏振 当自然光以其他的角度入射于界面时 反射光和折射光一般为部分偏振光 即s波和p波都存在但强度不等 此外 不论以何种角度入射 折射光都不会变为完全偏振光 下面对发生全反射时光波的情况进行深入的讨论 8全反射 反射系数和位相变化 将 1 式和 2 式代入反射波的两个反射系数rs rp的公式中 得到 倏逝波我们已经知道 全反射时全部光能都返回入射光所在介质 但对于光波在界面上的行为如何 是否有光波进入第二介质 并没有说明 深入的实验研究表明 全反射时光波将透入第二介质很薄的一层表面 深度约为一个波长 并在第二介质中沿界面传播约半个波长的距离 然后再返回第一介质 透入第二介质表面的这个波称为倏逝波 倏逝波的存在有其必然性 因为电磁场在两介质界面上应满足边值关系而不会中断 所以在第二介质中一定会有透射波 只是在全反射时这个透射波有着特殊性 虽然有倏逝波存在 但并没有能量向第二介质的内部传播 所有倏逝波的能量最终都流回到第一介质中 全反射的应用1全反射棱镜2光学纤维 光在光洁的金属表面上一般有着强烈的反射 这与金属中存在着密度很大的自由电子有关 自由电子受到光波电磁场的强迫振动 而产生次波 这些次波造成了强烈的反射波和比较薄弱的传播到金属内的透射波 由于自由电子的密度如此之大 所以即使非常薄的金属片也能够把大部分入射光反射回去 以及把进入金属内的透射光吸收掉 各种金属反射光的能力不同 在于它所包含的自由电子的密度不同 一般说来 自由电子密度越大 电导率越大 反射率也越高 对于同一种金属来说 入射光波长不同 反射率也不同 频率比较低的红外线 主要对金属中的自由电子发生作用 而频率较高的可见光和紫外线 也可以对金属中的束缚电子发生作用 束缚电子的作用将使金属的反射能力降低 透射能力增大 呈现出非金属的光学性质 9光在金属表面的透射和反射 金属表面的反射率除了与波长有关外 还与光波的入射角有关 但是与电介质表面的反射不同 对于金属不论在什么角度下反射 都不能使反射光成为完全偏振光 进一步的研究还表明 光在金属表面上反射时 反射波平行分量的振动和垂直分量的振动与入射波相应的振动之间有一定的位相变化 位相变化的数值并非0或 反射波的两个分量彼此之间也有一定的位相差 因此完全偏振光在金属表面上反射后将变为椭圆偏振光 光的吸收无论是在金属中或是在电介质中 光波在传播过程中都会出现能量的损耗 这种损耗中的一部分缘于吸收 在金属中 入射光波的电场使得金属中的自由电子运动 形成的电流在金属中产生热 因而消耗了能量 介质中 包括一些看来透明的介质中 入射光波的电场使介质中的束缚电子振动 发出次波和产生热 也消耗了能量 这些都是形成吸收的原因 下面我们主要讨论介质的吸收 为描述介质中的吸收 引入复折射率见图1 38 介质中沿z轴传播的平面波的波函数为 10光的吸收 色散和散射 这个公式被称为吸收定律 它表明 介质中光波的强度随在介质中传播距离的增大以指数规律衰减 衰减速度取决于吸收系数 吸收系数决定于物质特性 不同的物质对同一波长的光波有不同的吸收系数 同一物质对不同波长的光波也有不同的吸收系数 光学上将吸收系数较小的情况称为一般吸收 将吸收系数很大的情况称为选择吸收 当介质对某光波表现为一般吸收时 光学上称之为 透明 当介质对某光波表现为选择吸收时 称之为 不透明 意思是基本上无光能透过 光的色散光在某种介质中传播时 不同波长的光波有着不同的传播速度 因而具有不同的折射率 这就是光的色散现象 正常色散和反常色散介质中的色散有两种类型 在介质的 透明 波段 即发生一般吸收的波段表现为正常色散 在介质的 不透明 波段 即发生选择吸收的波段表现为反常色散 1 正常色散的特点及描述特点 光波长增大时 折射率值减小 其色散曲线如图1 41 描述 描述正常色散采用经验公式 科希公式 当波长的变化范围不太大时 取其近似形式为 2 反常色散的特点及描述特点 在反常色散区域内 折射率值随波长增大而增大 色散曲线参见图1 42 描述 描述反常色散的经验公式是塞耳迈尔方程 色散的经典理论介质中存在的色散现象曾一度使麦克斯韦电磁理论陷入困境 因为经典电磁理论中折射率n只与介电常数有关 与光波的频率无关 后来洛伦兹的经典电子论建立了介电常数与频率的联系 解释了色散现象 解决了经典电磁理论的困难 三光的散射光通过某些介质时 在偏离正常传播方向上有光出射的现象称为散射 1散射类型 1 瑞利散射发生于混浊介质中 原因是在均匀介质中包含许多线度比波长更小的 折射率不同的其他物质的微粒 2 分子散射发生于表面看来均匀纯净的介质中 原因是介质中分子密度起伏破坏了介质的均匀性而导致 2散射定律 1 正常传播方向上的光强因为散射分散了正常传播方向上的光能量 表现为正常传播方向上光强的减弱 故可用朗伯定律描述 s称散射系数 出射光仍为自然光 2 散射光光强设观察方向与正常传播方向之间的夹角为 散射光强为光的性质由 角的变化而变为偏振度不同的偏振光 当 90o时为平面偏振光 其余方向为部分偏振光 3瑞利定律实验表明 散射光中各种波长的能量不是均匀分布的 短波占有明显优势 即有的关系成立 这个关系称为瑞利定律 散射的解释散射是光与物质的相互作用所致 光射入介质时 介质中的电子将作受迫振动 发出次波 如果介质不均匀 入射光所激发的次波的振幅不完全相同 彼此还存在位相差 导致次波相干叠加后除了在反射 折射方向有光传播之外 在其他方向上叠加未能达到干涉相消 故也有光传播 形成了散射 除了以上谈到的散射外 还有一种喇曼散射 这种散射不但会改变光的传播方向 还会改变光的频率 在光谱学中 喇曼散射是一个很重要的内容 两个或多个光波在空间相遇时产生光的叠加 任意光波之间的叠加结果是很复杂的 本章仅限于讨论频率相同或频率差很小的单色光波的叠加问题 而实际光波可以理解为一组由余弦函数表示的单色波的合成 波的叠加原理 几个光波在空间一点相遇时 相遇点处的合振动是各个波单独产生的振动的矢量和 即各个波独立地产生作用 不会因为其他波的存在而受到影响 保持自身原有的波动特性 以下分别讨论三种不同情形的单色光波的叠加 以最简单的两光波的叠加为例 第二章光波的叠加与分析 这是光波叠加中最重要的内容 我们采用了三种不同的数学方法来讨论这一问题 代数加法参见右图 两个频率相同 振动方向相同的单色光波分别由光源s1 s2发出 经过一段传播路程后在P点相遇 产生叠加 s1到P点的距离为r1 s2点到P点的距离为r2 s1 s2 r1 r2 y P 1两个频率相同 振动方向相同的单色光波的叠加 两光波在P点的振动可用波函数表示为 结论 P点的合振动与两个分振动一样 也是一个简谐振动 其频率和振动方向也与两个分振动相同 我们关注的是合振动的强度I A2 故进行以下的讨论 4无论位相差表达式还是光程差表达式 都只适用于两光波的初位相相同的情况 若非如此 还应加上两光波的初位相差 5由光程差的表达式可知 两光波叠加区域内不同位置处将有不同的光程差 因而会有不同的光强度 整个叠加区域内将出现稳定的光强度的周期性变化 这就是光的干涉现象 这种叠加称为相干叠加 叠加的光波称为相干光波 复数方法光源S1 S2发出的单色光波在P点的复数形式的波函数为 相幅矢量加法这种方法是采用相幅矢量叠加的图解方法来求解合振动的振幅和初相 如图2 2所示 所得的结果与其他两种方法完全相同 一束单色光波垂直入射到两种介质的界面上时 入射光波和反射光波成为两个频率相同 振动方向相同 传播方向相反的单色波 它们的叠加将形成驻波 参见图2 4 两介质界面的投影沿Y轴方向 两介质折射率分别为n1 n2 设入射 反射光的沿Z轴方向传播 且两光振幅近似相等 2驻波 此式表明 形成该波的合振动为频率不变的简谐振动 该振动的特点分析如下 典型的驻波实验是维纳驻波实验 光驻波现象在多个光学过程中存在 现在见的最多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波形成的驻波 激光输出的这种稳定的驻波称为激光束的纵模 椭圆偏振光参见图2 8 由光源S1 S2发出两个单色光波 两波的频率相同 振动方向相互垂直 设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴 合振动矢量的大小和方向均随时间变化 经简单的数学运算可得其末端的运动轨迹方程 3两个频率相同 振动方向相互垂直的光波的叠加 椭圆方程中各量的几何意义见图2 9 这种光矢量末端轨迹为椭圆的光称为椭圆偏振光 结论 两个在同一方向传播的 频率相同的 振动方向互相垂直的单色光波叠加时 一般将形成椭圆偏振光 两种特殊情况由椭圆方程可知 偏振椭圆的形状由参与叠加的两光波的位相差 2 1 和振幅比a2 a1决定 以下是两种特殊情况 左旋和右旋由合振动矢量旋转方向的不同 可以把椭圆 圆 偏振光分为左旋两类 区分原则是 对着光的传播方向观察 合矢量向逆时针方向旋转时为左旋偏振光 合矢量向顺时针方向旋转时为右旋偏振光 左旋偏振光 sin 0 右旋偏振光 sin 0 四椭圆偏振光的强度由第一章第五节关于辐射能的讨论已知 相对光强度即辐射强度的平均值为 这个结果表明 椭圆偏振光的强度等于参与叠加的两个振动方向相互垂直的单色光波的强度之和 利用全反射产生椭圆和圆偏振光已知光在两介质界面上以布儒斯特角 B入射时 反射光中只有唯一方向的振动 这种光叫完全偏振光或线偏振光 如果让线偏振光在两介质的界面上发生全反射 则反射光波中的s分量和P分量之间有一位相差 两波一般合成为椭圆偏振光 特殊情形下 当两波的振幅相等时合成为圆偏振光 当两个沿同一方向传播的振动方向相同 振幅相等而频率相差很小的单色光波叠加时 将出现 拍 现象 光学拍设符合于上述条件的两光波沿z方向传播 各自的波函数为 4不同频率的两个单色光波的叠加 出现拍现象时的拍频等于2 m 而 m 1 2 为参与叠加的两光波的频率之差 所以可通过观测光学拍现象来检测光波的微小频率差 群速度和相速度对于一个单一的单色光波 光速是指其等位相面的传播速度 称为相速度 对于两个单色波的合成波 光速包含两种传播速度 等位相面的传播速度和等振幅面的传播速度 分别称为相速度和群速度 由合成波波函数可求得两速度的表示式 群速度是光能量或光信号的传播速度 实际的光信号测量实验中 测量到的速度就是群速 本节的基本内容是 将一个复杂的光波分解为几个简单的单色光波的组合 应用的是傅立叶分析法 周期性波的分析参见图2 15c 该波的运动在一定的空间周期内重复一次 即为周期性波 应用数学上的傅立叶级数定理 具有空间周期 的函数f x 可以表示为一组空间周期为 的整分数倍的简谐函数之和 即 5光波的分析 由傅立叶级数表达式可知 f z 代表的沿z轴传播的 空间角频率为k的周期性复杂波可以分解为若干个振幅不等且空间角频率分别为k 2k 3k 的单色波 当给定一个复杂的周期波时 只要定出各个分波的振幅A0 An Bn 便可以将复杂波分解为一系列简谐分波 以下以矩形波为例进行分解 非周期性波的分析这种波只存在于空间有限的范围之内 在此范围之外振动为零 呈现为波包的形状 如图2 19中a b c所示 波包的分析要利用傅立叶积分 分析的结果将表明 波包中包含着无限多个振幅不等的简谐分波 任意两个相邻分波的频率之差为无穷小 若以频谱图表示时 将得到一条连续的频谱曲线 如图2 19中d e f所示 曲线的坐标为振幅 空间角频率 这表明 若非周期函数f z 表示一个波包 则这个波包可以分解为无限多个频率连续的 振幅随A k 变化的简谐分波 以图2 19中的波包b为例 设这个波的长度为2L 在此范围内振幅A0为常数 空间角频率k0也为常数 光强度函数为 这表明 波列长度2L和波列包含的单色分波的波长范围成反比 当波列长度为无穷大时 将为零 这就是单色波 由 与波列长度的关系可知 由于实际光源中的原子发出的都是一段段有限长度的波列 故光波不可能是真正单色的 都有一定的波长范围 光波单色性的优劣用光波的谱线宽度 来表示 越小 单色性越好 除此之外 单色性还可以用波列的持续时间 t来表示 t越大 单色性越好 第三章光的干涉和干涉仪当两个或两个以上振动方向相同 频率相同的单色光波在空间产生叠加时 叠加区域内将出现周期性的强度分布图象 这就是光的干涉 实际光波并不是严格的单色光波 为使实际光波实现干涉 必须设法使其满足干涉的条件 因而设计了各种干涉的实验装置和干涉仪 这些装置实现干涉的方法可分为两类 分波前法和分振幅法 本章将对光的干涉条件和干涉装置进行系统介绍 1产生干涉的条件由经验我们知道 自然条件下两个光波相遇时 是不会出现如第二章中所介绍的光强度呈现有规律的周期性变化的干涉现象的 第二章中已介绍了实现干涉时光波应满足的两个条件 两光波的频率相同 振动方向相同 这里要介绍的是另一个重要的条件 位相差条件 至此可将光波产生干涉必要条件总结如下 频率相同 振动方向相同 位相差恒定 实际情况中是将同一光源发出的光波用不同的方法分为若干个光波 以使其满足于干涉的三个必要条件 要说明的是 有三个必要条件后 并不一定就能实现干涉 例如两光波叠加时的光程差如果过大则不能干涉 可阅读77页的相关讲解 深入的解释涉及到光波的时间相干性 空间相干性 将在以后的内容中讨论 2杨氏干涉实验杨氏实验是最早实现的人为干涉实验 作为典型的分波前干涉 我们可以由该实验了解分波前干涉的共有特点 杨氏实验装置如图3 4所示 光源发出的光波通过小孔S照射在光屏A上两个对称的小孔S1 S2上 分出的两光束在空间传播时产生相干叠加 在观察屏E上出现干涉图样 干涉条纹 一干涉图样的计算设通过S S1 S2的光波均为单色光 当S1 S2发出的光波在屏E上P点叠加时 该点的光强应为 该装置中S1 S2大小相等 故有I1 I2 I0 同时S1 S2处于同一个波前上 具有同相性 所以在P点叠加时光波的位相差只取决于S1 S2到P点的光程差 由以上分析可知 杨氏实验的结果是在屏幕上沿垂直于S1 S2连线方向形成一系列光强度为极大值的亮条纹和一系列光强度为极小值的暗条纹 各级条纹的位置由x坐标值确定 条纹走向与y轴平行 二杨氏实验的强度分布公式和分布曲线 由于条纹间距与波长 相关 所以实验中不宜用复色光作光源 三条纹的间距 3分波前法干涉的其他实验装置由杨氏实验可知 分波前法干涉是由一个波前上设法分出两个小的部分 让它们相遇叠加 产生干涉 分波前的方法有多种 但原理是一致的 干涉的结果也是一致的 一菲涅耳双面镜实验装置及干涉光路图见图3 9 电光源发出的光波在两块成很小夹角的反射镜上反射后 形成的两象点相当于杨氏实验中的一对相干光源 可依图求得干涉条纹计算中的各个相关量 洛埃镜洛埃镜实验装置与干涉光路图见图3 11 比起前面介绍的装置 它的最大优点就是简单 仅用一块水平放置的平面反射镜即可 实验中一束光沿直线传播 另一束光以近掠射的角度在平面镜上反射 实际点光源和反射象点构成一对相干光源 洛埃镜实验的重要意义在于实验中出现的 半波损失 现象 由于实验中光在空气 玻璃界面发生反射 实际出现的干涉光强的结果与理论上预期的情况正好相反 即预期为光强最大值的位置却是光强的最小值 因为光强最大 最小值之间的光程差是 2 上述现象就称为 半波损失 即理解为在反射时光程发生了 2的突变 因此在此情况下 将光程差表达式修正为 以修正后的光程差表达式计算 所得结果与实际观察到的一致 将洛埃镜实验中出现的半波损失现象推而广之 凡是光束在光疏 光密界面反射时 都会发生光程的突变 都需要在光程差表达式中加上修正项 2 4条纹的对比度干涉条纹的清晰程度用条纹的对比度表示 条纹对比度的定义是 IM Im分别是条纹光强的极大值和极小值 从定义式来看 条纹的对比度与亮暗条纹的相对光强有关 当Im 0时 K 1 对比度最好 称为完全相干 当IM Im时 K 0 条纹完全消失 为非相干 条纹的对比度取决于以下三个因素 光源大小 光源的非单色性 两相干光波的振幅比 光源大小的影响当光源为理想的点光源时 产生的干涉条纹强度分布如图3 6b 的单一曲线所示 由于暗条纹的强度为零 所以K 1 条纹对比度最好 但实际光源不可能是一个单一发光点 它是很多发光点的集合体 每一个点光源都会形成一对相干光源 产生一组干涉条纹 由于各点光源位置不同 形成的干涉条纹位置也不同 这种干涉条纹强度分布如图3 14下方的一组曲线所示 各组条纹的强度总和如图中上方的曲线所示 显然 干涉总强度没有为零的情况 这使得条纹的对比度下降 甚至为零 以下进行具体的讨论 光源的临界宽度临界宽度是指对比度下降到零时光源的一维线度 设在光源中选定两个强度相等的发光点S S 它们各自产生一组干涉条纹 条纹的间距相等 但在空间位置上不重合 设S在屏幕上P0点为光强极大值 光程差为零 当S 点在该点的光程差为 2时 光强为极小值 反映在干涉条纹上 就是两个发光点产生的干涉条纹发生了半个条纹间距的位置移动 此时两组条纹光强叠加的结果使屏上各处光强相同 条纹的对比度下降到零 无法观察到干涉条纹 s s s1 s2 d l1 l2 l P0 由以上分析可知 SS 间的宽度应是临界宽度的1 2 设光源的临界宽度为bc 由前面的图可求得bc 条纹对比度随光源大小的变化当光源的宽度小于临界宽度时 条纹对比度的变化趋势是 光源宽度越大 条纹对比度越小 具体的关系可用积分法求得 见教材中 3 27 式 一般认为 当光源宽度不超过临界宽度的四分之一时 条纹的对比度是良好的 这个光源宽度称为许可宽度bp 空间相干性光波的空间相干性与光源大小密切相关 当光源的宽度小于临界宽度时 光波才具有相干性 当光源宽度为临界宽度时 有 产生干涉的两光源之间的距离必须小于横向相干宽度才能产生干涉条纹 现有光源中空间相干性最好的是激光 光源非单色性的影响尽管在各种干涉实验中我们使用了单色光源 但任何一种光源都不可能是绝对单色的 即光源发出的光波不可能是单一波长的 都会有一定的波长变化范围 由于在 变化范围内的每一种波长的光都各自产生一组干涉条纹 而除零级以外的各级条纹间都发生位移 重叠 所以最终的情况将使得条纹的对比度下降 因此需要对光源非单色性的影响进行讨论 相干长度参见图3 20 a 图中下部为波长为 和 的两光波的干涉强度曲线 图中上部为叠加后总的强度曲线 由两组曲线可看出 两组不同波长的条纹的相对移动量随着光程差 的增大而增大 总强度曲线中的最大 最小值之差也随光程差增大而变小 最终将趋于零 b 图显示叠加后条纹的对比度随着光程差 的增大而下降 最后将为零 由此可知 在这种情况下 要产生清晰的条纹 即要使条纹的对比度在允许的范围内 需要对干涉时的光程差进行限制 定义能够产生干涉时的最大光程差为相干长度 max 设单色光源的波长为 波长的变化范围为 则波长为 的第m级条纹和波长为 的第m 1级条纹位置重合时的光程差就是相干长度 max m 1 m 由相干长度的表达式可知 相干长度与光波的变化范围即光谱宽度成反比 即光源的单色性越好 越小 则越容易实现干涉 将相干长度表示式 3 34 与 2 61 式进行比较可知 相干长度与波列长度相等 即两光波干涉时所能允许的最大光程差为波列的长度 条纹对比度与 和 的关系由上面的分析已得出了光源的光谱宽度 会使干涉条纹的对比度随着光程差 的增大而下降的定性结论 用积分法可以得出定量关系如下 时间相干性光波通过相干长度所需的时间称为相干时间 t 由相干长度的定义可推知 同一光源在相干时间 t内不同时刻发出的光波可以产生干涉 这种相干性称为时间相干性 相干时间就是时间相干性的量度标志 两相干光波振幅比的影响两相干光波的振幅不等也会影响干涉条纹的对比度 在条纹对比度表示式中代入强度极大值和极小值的振幅表达式可得 由此式分析 当两光波振幅相等时 对比度K 1 两光波振幅差越大 K值越小 利用K的振幅表达式可以将两光束干涉的光强表达式写为 8平行平板产生的干涉在已经讨论过的分波前法干涉中 由于考虑到光源的宽度对光波的空间相干性的影响 只能使用孔径很小的光源 因此而限制了光束的能量 使得干涉条纹达不到需要的亮度 妨碍了干涉条纹的测量 为解决这个问题 发展了使用扩展面光源的分振幅法干涉 分振幅法干涉中的主要装置是由两个表面限制而形成的一层透明物质 称为平板 干涉中 扩展面光源发出的入射光在平板的上下表面上发生反射和透射 将入射光的振幅分解为两个部分 这两部分光发生干涉 由于有足够的光能量 所以可获得清晰的干涉条纹 条纹的定域平行平板干涉条纹的定域问题 就是在实验中干涉条纹出现的位置 理论上干涉条纹定域于无穷远处 当实验中使用透镜聚焦时 干涉条纹定域于透镜焦平面上 等倾条纹干涉过程分析 A B C N n n n h 1 2 a a1 a2 a1光束 由平板上表面一次反射的光束 a2光束 由平板上表面两次折射 下表面一次反射的光束 a1 a2与入射光位于平板同一侧介质内 故都称为反射光 特点 此种平板干涉中是平行光入射 平行光出射 在平板的上下表面上均产生光的反射和折射 光程差分析要求图中a1 a2两光束的光程差 须从分别求两光束各自的光程入手 由干涉过程示意图可得两光束的光程差为 干涉条纹条件 4扩展面光源产生的等倾干涉条纹扩展面光源可视为无数个点光源的集合 它们处于空间不同位置 以不同 1角入射 凡 1相同者必因有相同的 值而产生相同的干涉结果 形成同一条纹 故将这种干涉条纹称为等倾条纹 5等倾干涉条纹的特点1 由 1 m关系可知 1越小 则m越大 即中心处条纹级数最高 2 平板厚度h值必须很小 否则就无法观察到清晰的干涉条纹 3 平板厚度h每变化 2n时 干涉条纹级数m变化一级 当h增大时 条纹级数m增大 中心处有条纹冒出 整组条纹外移 当h减小时 条纹级数m减小 中心处可见条纹陷入消失 整组条纹向内收缩 4 透射光也可产生等倾干涉条纹 反射 透射光条纹明暗互补 7楔形平板产生的干涉讨论条件 设光源为单色点光源 平板为厚度缓慢均匀变化的介质层 1干涉过程分析点光源发出的光束入射于平板上表面 光线a经平板上下表面反射后成为光线a1 a2 发生干涉 n n1 A B C 1 2 n n h a a1 a2 P 特点 从平板上下表面经反射得到的光束为非平行光 光程差分析由干涉过程图可得a1 a2的光程差为 n AB BC n AP CP 显然 只有知道A B C每一点处h的值 才能求得光程差的准确值 但由于平板厚度可变 A B C点可于平板上任意位置 所以无法得到光程差的准确值 为解决这一问题 根据平板厚度虽然可变但变化缓慢均匀的特点 提出了以B点处的厚度值作为A B两点厚度的近似值 从而求得 的近似值的方法 3干涉条纹条件 扩展面光源产生的等厚干涉条纹由光程差表达式可知 此种干涉中 光程差由平板厚度h决定 厚度相同的各点将具有相同的光程差 必将产生同一情况 同一级数的条纹 故称为等厚条纹 5条纹特点干涉花样为直线状明暗相间条纹 条纹的走向平行于平板上下表面的交棱 h 0处是m 0的暗纹 条纹定域于平板上表面附近 等厚干涉的应用因为在等厚干涉中平板厚度每变化 2n时 条纹级数将变化一级 所以可以通过观察 测量条纹来测定微小量 实际中主要用途是测量长度的微小变化 测定物质的热膨胀系数 检查光学元件的表面质量等 8用牛顿环测量透镜的曲率半径原理 是一种特殊结构的等厚干涉装置 通过测量级数已知的干涉条纹的半径值求得平凸透镜的曲率半径 也可用来检验光学元件的表面质量 测量长度压力的微小变化 A A B B C O R r h 右图中平凸透镜AA 放在平板玻璃BB 上 在以接触点O为中心 以任意的r值为半径的圆周上空气薄层的厚度相等 在平凸透镜凸面和平板玻璃上表面反射的光产生等厚干涉 形成 以O点为中心的 明暗相间的干涉条纹 称为牛顿圈 环 设测量的第N个环的半径为r 由图中可得对应的空气层厚度为 发生干涉的两光束的光程差为 根据干涉条纹的形成条件 可得牛顿圈中明 暗环的半径分别为 理论上用这套表达式可以通过测量一个条纹的半径r求得透镜的半径R 但实际使用中为减小误差 采用的方法要复杂一些 9平面干涉仪平面干涉仪是利用一个标准平面和一个待测平面形成一个空气楔形平板 将平行光束垂直投射到被测平板上 通过测量产生的等厚干涉条纹来检验被测表面的光学加工质量 平面干涉仪光路原理图见图3 46 测定平板表面的平面度及局部误差如果被测平面并非理想的平面 则等厚干涉的直线条纹将呈现整体弯曲或局部凸凹 如图3 47所示 在条纹呈现整体弯曲时 被测平面的平面度为 一般的光学平面要求平面偏差 4 即条纹弯曲不超过条纹间距的1 2 即P 1 2 更高级的平面要求可达P 1 10 测量平行平板的平行度及小角度光楔的楔角可以通过观察平行平板上下表面反射产生的等厚干涉条纹来测量平行平板的平行度 参见图3 48 平行平板的平行度用平板两端或直径方向上的厚度差 h表示 设能观察到的干涉条纹数目为N 则有 平板上下表面的楔角 与最大厚度差的关系为可以利用此式测量小角度楔角 10迈克耳孙干涉仪一仪器结构和干涉过程迈克耳孙干涉仪是利用平板干涉来进行精密测量的光学仪器 其光路图如下所示 M1 M2 S L1 a b G1 G2 a1 b1 a2 b2 L2 P 仪器结构主要由两块分光板和两块平面反射镜组成 分光板G1 G2可将入射在其上的光分成光强近似相等的反射光和折射光 两分光板具有全同的光学特性 均与入射光传播方向成45 角放置 反射镜M1和M2分别放置在相互垂直的轨道上 M1可沿轨道前后移动 M2为固定镜 干涉过程入射平行光束在G1的后表面分为反射光和透射光 传播方向相互垂直 分别垂直入射于M1和M2 反射后由原路返回 仍为平行光束 经透镜会聚于一点产生干涉 G2也称补偿板 其作用是使在M1上反射的光与在M2上反射的光在分光板中的光程相同 二干涉特点可将在M1 M2两镜上反射产生的双光束干涉等同于一个空气平板中的双光束干涉 即可认为n n 1 因为不产生折射 由n n 可得 1 2 因为两镜面上反射的物理性质相同 所以无附加光程差的影响 仪器可产生等倾 等厚两种干涉 三干涉条纹条件 四用途精密计量 光谱研究 第四章多光束干涉与光学薄膜第三章中在讨论平板的干涉时 仅仅讨论了最先出射的两光束的干涉问题 这是在特定条件下采取的一种近似处理方法 事实上 光束在平板内经过多次的反射和透射 严格地说 干涉是一种多光束干涉 多光束干涉与两光束干涉相比 干涉条纹更加精细 利用多光束干涉原理制造的干涉仪是最精密的光学测量仪器 多光束干涉原理在现代激光技术和光学薄膜技术中也有着重要的应用 1平行平板的多光束干涉图4 1是一个我们已很熟悉的平行平板分振幅干涉的光路图 在第三章中 我们仅讨论了图中光束1和2发生的干涉 那是因为所使用的平板上下表面的反射率都很低 例如光束入射于普通的平板玻璃时 反射率仅为0 04 照此计算 光束1的强度 为入射光的4 光束2的强度为入射光的3 7 而光束3不到入射光的0 01 在这种光强差极其悬殊的情况下 除1 2以外的其他光束对干涉可以忽略不计 所以将其近似为两光束干涉来处理 如果在平行平板的两表面镀有反射率很高的反射膜 情况将会大不一样 这时除光束1以外的其他各光束强度差很小 如果仍按两光束干涉处理将会产生很大的误差 为了获得精确的结果 必须讨论多光束干涉问题 一多光束干涉场的强度公式可以通过多光束的相干叠加来得到强度分布公式 由于使用的仍是平行平板 所以仍然是扩展面光源产生的平行光束入射 也仍然是平行光束从平板的上表面和下表面出射 由此可知 平行平板的