线性代数课件-矩阵的定义与运算.ppt

1矩阵的定义与运算 目的要求 1 理解矩阵的定义 2 掌握矩阵的基本运算及性质 一 矩阵概念的引入 1 线性方程组 的解取决于 系数 常数项 对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2 某航空公司在A B C D四城市之间开辟了若干航线 如图所示表示了四城市间的航班图 如果从A到B有航班 则用带箭头的线连接A与B 四城市间的航班图情况常用表格来表示 发站 到站 二 矩阵的定义 由个数 称为矩阵 简称矩阵 记作 排成的m行n列的数表 简记为 表示第i行第j列的元素 称为 i j 元 一对圆括弧 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 例如 是一个实矩阵 是一个复矩阵 是一个矩阵 是一个矩阵 是一个矩阵 默认为实矩阵 三 几种特殊矩阵 例如 是一个3阶方阵 2 只有一行的矩阵 行矩阵 或行向量 行数与列数都等于的矩阵 称为阶 方阵 也可记作 称为 只有一列的矩阵 称为列矩阵 或列向量 对角矩阵 或对角阵 4 元素全为零的矩阵称为零矩阵 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的 记作 零矩阵记作 或 例如 5 方阵 称为单位矩阵 或单位阵 四 同型矩阵与矩阵相等的概念 1 两个矩阵的行数相等 列数相等时 称为 2 两个矩阵为同型矩阵 并且 则称矩阵相等 记作 例如 为同型矩阵 同型矩阵 对应元素相等 即 五 线性变换 关系式 的线性变换 表示一个由变量 到变量 系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系 线性变换 称之为恒等变换 单位阵 线性变换 这是一个以原点为中心 六 矩阵的线性运算 定义 一 矩阵的加法 设有两个矩阵那末矩阵 说明只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 例1 2 矩阵加法的运算规律 称为A的负矩阵 二 数与矩阵相乘 1 定义 若 求 1 2 3 例2 2 数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来 统称为矩阵的线性运算 设为矩阵 为数 七 矩阵与矩阵相乘 定义 称C为A与B的乘积 设 规定 其中 例3 求 解 注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 例如 不存在 例4 或 例5 说明3 例6 对角元乘相应行 对角元乘相应列 例7已知线性方程组 于是 那么上述线性方程组可记成 矩阵乘法的运算规律 其中为数 若A是阶矩阵 则为A的次幂 即并且 矩阵乘法的应用 生产成本 某工厂生产三种产品 每种产品的原料费 工资支付 每季度生产每种产品的数量见表2 管理费等见表1 1 每一季度中每一类成本的数量 2 每一季度三类成本的总数量 3 四个季度每类成本的总数量 该公司希望在股东会议上用一个表格展示出 解 我们用矩阵的方法考虑这个问题 这两个表格中 的每一个均可表示为一个矩阵 的第一列表示夏季生产三种产品的总成本 的第二列表示秋季生产三种产品的总成本 的第三列表示冬季生产三种产品的总成本 的第四列表示春季生产三种产品的总成本 计算 得 的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本 的第二行元素表示四个季度中每一季度工资的总成本 的第三行元素表示四个季度中每一季度管理的总成本 每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到 每一季度的总成本可由每一列相加得到 表3汇总了总成本 八 转置矩阵 将矩阵A的各行变成同序数的列得到的矩阵称为 A的转置矩阵 记为 性质 证明 例9 解法1 解法2 对称阵 矩阵A称为对称矩阵 如果AT A 是对称矩阵的充要条件是 容易知道 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 说明 九 方阵的行列式 由n阶矩阵A的元素 按原来的位置 构成 或 的行列式 称为方阵A的行列式 记作 例103阶方阵 求 性质 十 方阵的伴随矩阵 设A是n阶矩阵 由行列式 A 的各元素的 称为矩阵A的伴随矩阵 代数余子式Aij所构成的矩阵 性质 证明 则 故 例11 求 伴随矩阵 伴随矩阵 例12求 思考题 1 矩阵与行列式的有何区别 矩阵与行列式有本质的区别 行列式是一个算式 一个数字行列式经过计算可求得其值