大学数学(高数微积分)第一章多项式第九节(课堂讲义).ppt

主要内容 引入 本原多项式 第九节有理系数多项式 整系数多项式的分解定理 整系数多项式的有理根的求法 举例 整系数多项式不可约的条件 二 本原多项式 1 定义 设 f x anxn an 1xn 1 a0 是一有理系数多项式 选取适当的整数c乘f x 总可以使cf x 是一整系数多项式 如果cf x 的 各项系数有公因子 就可以提出来 得到 cf x dg x 也就是 其中g x 是整系数多项式 且各项系数没有异于 1的公因子 例如 定义10如果一个非零的整系数多项式 g x bnxn bn 1xn 1 b0 的系数bn bn 1 b0没有异于 1的公因子 也 就是说 它们是互素的 它就称为一个本原多项 式 上面的分析表明 任何一个非零的有理系数多 项式f x 都可以表示成一个有理数r与一个本原多 项式g x 的乘积 即 f x rg x 可以证明 这种表示法除了差一个正负号是唯一的 亦即 如果 f x rg x r1g1 x 其中g x g1 x 都是本原多项式 r r1 g x g1 x 因为f x 与g x 只差一个常数倍 所以f x 的因式分解问题 可以归结为本原多项式g x 的因 那么必有 式分解问题 下面我们进一步指出 一个本原多项 式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘 乘积的问题是一致的 积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的 作为准备 我们先证 2 性质 定理10 高斯 Gauss 引理 两个本原多 项式的乘积还是本原多项式 证明 设 g x bmxm bm 1xm 1 b0 f x anxn an 1xn 1 a0 是两个本原多项式 h x f x g x dn mxn m dn m 1xn m 1 d0 是它们的乘积 我们用反证法 如果h x 不是本 原的 也就是说h x 的系数dn m dn m 1 d0有 而 一异于 1的公因子 那么就有一个素数p能整除 h x 的每一个系数 因为f x 是本原的 所以p 不能同时整除f x 的每一个系数 令ai是第一个 不能被p整除的系数 即 同样地 g x 也是本原的 令bj是第一个不能被 p整除的系数 即 我们来看h x 的系数di j 由乘积的定义 di j aibj ai 1bj 1 ai 2bj 2 ai 1bj 1 ai 2bj 2 由上面的假设 p整除等式左端的di j p整 除右端aibj以外的每一项 但是p不能整除aibj 这是不可能的 这就证明了 h x 一定也是本原 多项式 证毕 三 整系数多项式的分解定理 定理11如果一非零的整系数多项式能够分 解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积 那么它 一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积 证明 设整系数多项式f x 有分解式 f x g x h x 其中g x h x 是有理系数多项式 且 g x f x h x f x 令f x af1 x g x rg1 x h x sh1 x 这里f1 x g1 x h1 x 都是本原多项式 a是整 数 r s是有理数 于是 af1 x rsg1 x h1 x 由 g1 x h1 x 是本原多项式 从而 rs a 这就是说 rs是一整数 因此 我们有 f x rsg1 x h1 x 这里rsg1 x 与h1 x 都是整系数多项式 且次数都 低于f x 的次数 证毕 由定理的证明容易得出 推论设f x g x 是整系数多项式 且 g x 是本原的 如果f x g x h x 其中h x 是有理系数多项式 那么h x 一定是整系数的 四 整系数多项式的有理根的求法 定理12设 f x anxn an 1xn 1 a0 其中r s互素 那么必有s an r a0 特别地 如 果f x 的首项系数an 1 那么f x 的有理根都是 整数 而且是a0的因子 证明 因此在 有理数域上 从而 sx r f x 因为r s互素 所以sx r是一个本原多项式 根据 上述 f x sx r bn 1xn 1 b0 式中bn 1 b0都是整数 比较两边系数 即得 an sbn 1 a0 rb0 因此 s an r a0 证毕 五 举例 例1求方程 2x4 x3 2x 3 0 的有理根 解 这个方程的有理根只可能是 用剩余除法可以得出 除去1以外全不是它的根 因之这个方程的有理根只有x 1 例2证明 f x x3 5x 1 在有理数域上不可约 证明 如果f x 可约 那么它至少有一个一 次因子 也就是有一个有理根 但是f x 的有理根 只可能是 1 直接验算可知 1全不是根 因而 f x 在有理数域上不可约 六 整系数多项式不可约的条件 定理13 艾森斯坦 Eisenstein 判别法 设f x anxn an 1xn 1 a0 是一个整系数多项式 如果有一个素数p 使得 2 p an 1 an 2 a0 那么f x 在有理数域上是不可约的 证明 如果f x 在有理数域上可约 那么 由 f x 可分解成两个次数较低的整系 数多项式的乘积 f x blxl bl 1xl 1 b0 cmxm cm 1xm 1 c0 l m n l m n 因此 an blcm a0 b0c0 因为p a0 所以p能整除b0或c0 所以p不能同时整除b0及c0 因此不妨假设p b0 假设 b0 b1 bl中第一个不能被p整除的是bk 比较 f x 中xk的系数 得等式 ak bkc0 bk 1c1 b0ck 式中ak bk 1 b0都能被p整除 所以bkc0也必 须能被p整除 但是p是一个素数 所以bk与c0中 至少有一个被p整除 这是一个矛盾 证毕 根据 可知对于任意的n 多项式 xn 2 在有理数域上是不可约的 由此可见 在有理数域 上 存在任意次数的不可约多项式 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单