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线段的中垂线和角平分线 天马行空官方博客 角平分线性质 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 已知 如图 OP是 AOB的平分线 点P在OC上 PD OA PE OB 垂足分别为D E求证 PD PE 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 A B O P D E 1 2 C 定理 证明 1 2 OP OP PDO PEO 90 PDO PEO AAS PD PE 全等三角形的对应边相等 定理的题设和结论分别是什么 在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 已知 如图 PD OA PE OB 垂足分别是D E PD PE 求证 点P在 AOB的平分线上 反过来 证明 在Rt ODP和Rt OEP中 ODP OEP 90 OP OP PD PERt OPD Rt OPE HL 已知 MN AB于C AC BC 点P在MN上 求证 PA PB 证明 MN AB 已知 PCA PCB 垂直定义 在 PCA和 PCB中 AC CB 已知 PCA PCB 已证 PC PC 公共边 PCA PCB SAS PA PB 全等三角形的对应边相等 M C 线段的垂直平分线 中垂线 特征线段的垂直平分线上的一点到这条线段的两个端点的距离相等 反过来 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 定理2到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 线段的垂直平分线 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 线段的垂直平分线可以看作是和线段两端点距离相等的所有点的集合 A B M N P 点的集合是一条射线 点的集合是一条直线 1 已知 ABC中AB AC AB垂直平分线交AC于E 交AB于D 连结BE 若 A 50 则 EBC 2 已知 如图 B C D E都在边BC上 FD EG分别是AB AC的中垂线 1 若BC 10 三角形ADE的周长 2 若 BAC 100 DAE的度数 C A B C E D 填空 证明 过E作EF AD于E DE平分 ADC EC DC EF FD CE EF又CE BF EF BE 而EF AF BE AB E在 DAB的平分线上即AE平分 DAB 例1 如图所示 AB CD B 90 E是BC的中点 DE平分 ADC 求证 AE平分 DAB 例2 还记得在全等三角形中证明的一个习题吗 如图所示 已知 在 ABC中 分别以AC BC为边 向外作正 ACD 正 BCE BD与AE相交于M 求证 AE BD 这是在全等三角形中一道常见的习题 你知道吗 在这个结论的基础上还能证明MC平分 DME 请你试一试 例3 角平分线上的点到角的两边距离相等 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 如图所示 若 BAD CAD 且BD AB于B DC AC于C 则BD CD 若BD AB于B DC AC于C 且BD CD 则 BAD CAD试利用上述知识 解决下面的问题 三条公路两两相交于A B C三点 现计划修建一个商品超市 要求这个超市到三条公路距离相等 问可供选择的地方有多少处 你能在图中找出来吗 解 如图所示 1 作出 ABC两内角的平分线 其交点为P 2 分别作出 ABC两外角平分线 其交点分别为D E F故满足条件的修建点有四处 即P D E F 三角形的角平分线的性质应用 练习 1 如图 已知 AD是 ABC的角平分线 DE AB DF AC 垂足分别是E F求证 AD垂直平分EF 2 如图 在 ABC中 AD平分 BAC DE AC 交AB于E EF AD 交BC的延长线于F 求证 FAC B 4 如图 ABC中 B 60 ABC的角平分线AD CE相交于O 求证 AE CD AC E 解法欣赏 已知 如图 1 2 P为BN上一点 且PD BC于D AB BC 2BD求证 BAP BCP 180 方法总结 1 有角的平分线 或证明