知识块立体几何初步.ppt

第7课时空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面夹角的计算问题 了解向量方法在研究几何问题中的作用 命题预测 1 空间向量的共线定理常常用来证明线线平行 在高考中使用向量法证明线线平行是近几年的热点 2 空间向量的共面定理常常用来证明点共面 在高考中使用向量法证明点共面也是近几年的热点解法 3 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 求出题中要求的向量 来证明线线的平行 线线的垂直 线面的平行 线面的垂直 是近几年高考题中考生最为关注的解题思想 4 直线的方向向量 平面的法向量是利用向量法解题的中间环节 因此对其求解问题的方法和技巧一定要掌握 应试对策 1 对异面直线所成的角 要注意 深刻理解异面直线所成的角的概念 领悟其所渗透的 空间向平面转化 的思想 异面直线所成角的范围为0 90 解题时 应首先考虑两条异面直线是否互相垂直 可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成 应熟练掌握 平移 这个解法 平移的途径有取中点 作平行线 补体 形 等 理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角 2 对于直线和平面所成的角 应分线在面内或线与面平行 线与面垂直 线与面斜交这三种情况 同时要注意线面角的范围是 3 向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化 避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦 使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化 简单化 其步骤主要是建系 设点 计算向量的坐标 利用数量积的夹角公式计算 4 计算空间距离时要熟练进行各距离间的相互转化 以点线距离 点面距离为主 在计算前关键是确定垂足 作出辅助图形 再应用解三角形知识 知识拓展 立体几何综合问题的向量法处理 1 常用方法和规律 利用向量坐标解决立体几何中的平行 垂直 求角 求距离等问题 关键是建立正确的空间直角坐标系 难点是正确表达已知点的坐标 在计算和证明立体几何问题时 若能在原图中建立适当的空间直角坐标系 把图形中的点的坐标求出来 那么图形中的有关问题可用向量表示 利用空间内向量的坐标运算来求解 这样可以避开较为复杂的空间想象 对空间任意一点A求其坐标的一般方法 过点A作z轴的平行线交平面xOy于点B 过点B分别作x y轴的平行线 分别交y x轴于C D 则由的长度和方向便可求得点A的坐标 用空间向量解决立体几何问题 一般可按以下过程进行思考 a 要解决的问题可用什么向量知识来解决 需要用到哪些向量 b 所需要的向量是否已知 若未知 是否可用已知条件转化成的向量直接表示 c 所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示 则它们分别最易用哪个未知向量表示 这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系 d 怎样对已经表示出来的所需向量进行运算 才能得到需要的结论 2 常用工具 如图1 若平面 的法向量为n 则直线AB与 所成角的大小为 如图2 点A到平面 的距离等于 的斜线段AB在 的法向量n上的正射影长 即d A1B1 a b为异面直线 如图3 若b a n为 的法向量 A1 B1分别为a b上两点在n上的正射影 则a b的距离d A1B1 如图4 设二面角 l 的两个半平面 和 的法向量分别为m n 设二面角 l 的大小为 则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补 当二面角为锐角时 arccos当二面角为钝角时 arccos 1 直线的方向向量直线l上的向量e e 0 以及与e共线的非零向量叫做直线l的向量 2 平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面 那么称向量n平面 记作n 此时 我们把向量n叫做平面 的 3 三垂线定理在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 方向 垂直于 法向量 1 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 点M分的比为 N为BB1的中点 则 MN 为 解析 以D为原点 所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则A a 0 0 C1 0 a a 又M分的比为 答案 2 已知直线l1的方向向量a 2 4 x 直线l2的方向向量b 2 y 2 若 a 6 且a b 则x y的值是 解析 依题意 得解得 x y 1或 3 答案 1或 33 若直线l的方向向量为a 1 0 2 平面 的法向量为u 2 0 4 则l与 的位置关系是 解析 u 2a 则直线l与平面 的法向量平行 故l 答案 l 4 若直线l的一个方向向量a 1 0 2 平面 的一个法向量为n 3 0 4 则l与 所成角的正弦值为 解析 所求角的正弦值为答案 5 已知二面角 l 中 其平面角为锐角 面 的一个法向量为 2 2 1 面 的一个法向量为 1 1 1 则二面角的平面角的余弦值为 解析 所求余弦值为答案 利用直线的方向向量和平面的法向量 可以判定直线与直线 直线与平面 平面与平面的平行和垂直 1 设直线l1的方向向量为u1 a1 b1 c1 直线l2的方向向量为u2 a2 b2 c2 则l1 l2 u1 u2 a1 b1 c1 k a2 b2 c2 k R l1 l2 u1 u2 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 设直线l的方向向量为u a1 b1 c1 平面 的法向量为n a2 b2 c2 则l u n a1a2 b1b2 c1c2 0 l u n a1 b1 c1 k a2 b2 c2 k R 3 设平面 的法向量为n1 a1 b1 c1 平面 的法向量为n2 a2 b2 c2 则 n1 n2 a1 b1 c1 k a2 b2 c2 k R n1 n2 a1a2 b1b2 c1c2 0 例1 江苏启东中学高三质量检测 如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为正方形 PD 平面ABCD 且PD AB a E是PB的中点 1 在平面PAD内求一点F 使得EF 平面PBC 2 求二面角F PC E的余弦值大小 思路点拨 建立适当的空间直角坐标系 利用向量求解 解 由题意可知直线PD DC DA两两垂直 故建立如图所示的空间直角坐标系 则B a a 0 C 0 a 0 P 0 0 a 1 设平面PAD内一点F的坐标为 x 0 z 则 又 a 0 0 a a a 要使EF 平面PBC 需即解之得 F为AD的中点 2 由 1 可知 为平面PCE的一个法向量 设平面FPC的法向量为n p q r 则取r a 得q a p 2a 即n 2a a a 则 变式1 南京市高三期末调研 如图所示 PD垂直于正方形ABCD所在的平面 AB 2 PD m 记二面角D PB C的大小为 若 60 求m的取值范围 解 因为PD 平面ABCD DA DC 所以分别以DA DC DP所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 连接AC 因为ABCD是边长为2的正方形 因为PD m 所以A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 P 0 0 m 因为PD AC BD AC 所以AC 平面PBD 所以 2 2 0 为平面PBD的一个法向量 2 0 0 0 2 m 设平面PBC的法向量为n a b c 则由得 所以即不妨取c 2 则b m 向量n 0 m 2 是平面PBC的一个法向量 因为二面角D PB C的大小为 所以 cos 因为 所以 所以m 2 即m的取值范围是 2 1 求两条异面直线所成的角设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则l1与l2的夹角 满足cos 2 求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 则sin 3 求二面角的大小 若分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的异面直线 则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角 如图 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 的大小就是二面角的平面角的大小 如图 例2 盐城市高三调研 如图所示 在三棱锥P ABC中 PA 平面ABC PA 1 AB AC AB 2 AC 2 E为AC中点 1 求异面直线BE与PC所成角的余弦值 2 求二面角P BE C的平面角的余弦值 思路点拨 建立适当的空间直角坐标系 把求余弦值转化成向量坐标的运算 解 1 以A为原点 AB AC AP所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系A xyz 则A 0 0 0 B 2 0 0 C 0 2 0 E 0 1 0 P 0 0 1 所以 2 1 0 0 2 1 故异面直线BE与PC所成角的余弦值为 2 作PM BE交BE 或延长线 于M 作CN BE交BE 或延长线 于N 则存在实数m n 使得即 2m 1 m 1 2n n 1 0 因为所以 1 5m 0 5n 1 0 解得所以所以即为所求二面角的平面角的余弦值 变式2 苏锡常镇四市高三教学情况调查 如图所示 建立空间直角坐标系O xyz BC 2 点O是BC的中点 点A的坐标为 点D在平面yOz上 且 BDC 90 DCB 30 1 求向量的坐标 2 若P为线段CD上的一点 且PC 2DP 求二面角D AB P的余弦值 解 1 BDC 90 BC 2 DCB 30 BD 1 OC 1 BCD的边BC上的高为 D点的坐标为 C 0 1 0 2 B 0 1 0 设平面ABD的法向量为n x y z 则令x 3 则 PC 2DP 设平面ABP的法向量为m x y z 则令x 则y 1 z m 1 设二面角D AB P的平面角大小为 cos 由题意知 为锐角 二面角D AB P的余弦值为 1 用向量方法证明平行 垂直问题的步骤 1 建立空间图形与空间向量的关系 可以建立空间直角坐标系 也可以不建系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 2 通过向量运算研究平行 垂直问题 3 根据运算结果解释相关问题 2 求异面直线所成的角 用向量法比较简单 若用基向量法求解 则必须选好空间的一组基向量 若用坐标求解 则一定要将每个点的坐标写正确 3 找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂线 或求出法向量利用已知公式求出 4 求二面角的法向量法 利用两个平面法向量夹角去求二面角大小 要注意区别与联系 规律方法总结 例3 2009 宁夏 海南卷 如图所示 四棱锥S ABCD的底面是正方形 每条侧棱的长都是底面边长的倍 P为侧棱SD上的点 1 求证 AC SD 2 若SD 平面PAC 求二面角P AC D的大小 3 在 2 的条件下 侧棱SC上是否存在一点E 使得BE 平面PAC 若存在 求SE EC的值 若不存在 试说明理由 高考真题 分析 对于第 1 问 根据这个四棱锥的特点只要连接底面对角线BD 交AC于点O 再连接SO 就出现了一系列的垂线 证明AC SD中的一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可 对于第 2 题 很显然 PAC DAC都是以AC为底边的等腰三角形 连接PO DO就得到了所求二面角的平面角 在Rt POD中求解 POD即可 对于第 3 问 根据第 2 问找到点E的位置 通过寻找平行线解决 本题也可以在建立空间直角坐标系后 通过向量的方法解决 规范解答 解法一 1 如图所示 连接BD 设AC交BD于O 由题意知SO AC 在正方形ABCD中 AC BD 所以AC 平面SBD 又SD 平面SBD 所以AC SD 2 设正方形的边长为a 则SD 又OD 所以 SDO 60 连接OP 由 1 知AC 平面SBD 所以AC OP 且AC OD 所以 POD是二面角P AC D的平面角 由SD 平面PAC 知SD OP 所以 POD 30 即二面角P AC D的大小为30 3 在棱SC上存在一点E 使BE 平面PAC 由 2 可得PD 故可在SP上取一点N 使PN PD 过N作PC的平行线与SC的交点即为E 连接BN 在 BDN中 由分析可知BN PO 又由于NE PC 故平面BEN 平面PAC 得BE 平面PAC 由于SN NP 2 1 故SE EC 2 1 解法二 1 连接BD 设AC交BD于O 由题意知SO 平面ABCD 以O为坐标原点 分别为x轴 y轴 z轴的正方向 建立空间直角坐标系O xyz 如图所示 设底面边长为a 则高SO 于是因为故OC SD 从而AC SD 2 由题设知 平面PAC的一个法向量 平面DAC的一个法向量 设所求二面角为 则故所求二面角的大小为30 3 在棱SC上存在一点E使BE 平面PAC 由 2 知是平面PAC的一个法向量 且设则而即当SE EC 2 1时 而BE不在平面PAC内 故BE 平面PAC 命题探究 本题是以正四棱锥为载体 考查线线垂直的证明 二面角的求解及线面平行的一个探索性问题 试题的前两问属于立体几何最基本的证明与计算 试题的核心部分是第 3 问 探索性问题本身就是一个考生不容易解决的问题 本题又是在需要较高的空间想象能力和逻辑推理能力的立体几何中 难度是比较大的 但解答问题的基本思路是明确的 一个思路就是通过两个平面的平行解决线面平行 一个是通过向量的方法解决 本题入手容易 但最后完整解答就需要考生具有一定的分析问题 解决问题的能力 是一道具有较好区分度的试题 全解密 方法探究 解决探索性问题的基本思路解决存在与否类的探索性问题一般有两个思路 一是直接去找存在的点 线 面或是一些其他的量 二是首先假设其存在 然后通过推理论证或是计算 如果得出了一个合理的结果 就说明其存在 如果得出了一个矛盾的结果 就说明其不存在 如本题解法一就是直接寻找满足要求的点E 解法二实际上就是先假设了其存在 通过计算得到了一个合理的结果 就说明了点E的存在性以及点E的确切位置 技巧点拨 利用向量的线性运算证明立体几何的相关问题 1 要用向量表示相关的量 2 根据证明的需要对向量进行运算 运算可以结合实际图形 以图形为指导是解题的关键 3 要注意利用空间向量解决立体几何中各种问题的方法 如证明线线垂直 可以证其向量的数量积为零 如证明四点共面 可以证从同一点出发的三个向量共面 如求线线夹角 可以利用其向量的数量积 向量夹角公式 如求两点间的距离 可以求两点向量的模等 发散思维 本题第 1 问可以在不建立空间直角坐标系的情况下用基向量的方法证明 设四棱锥的底面边长为a 则侧棱长为cos SDA cos SDC 设DC a 则 a b 故 a b c a c b c 0 故AC SD 本题第 3 问的规范解析中是用直线BE与平面PAC的法向量互相垂直解答的 还可以根据空间向量有关定理解答 基本思路是 如果在侧棱SC上存在点E使BE 平面PAC 根据共面向量定理 一定存在一组有序实数 使得 由于点E在棱SC上 根据共面向量定理