函数的周期性与对称性.ppt

函数的周期性与对称性 周期性的几个结论 若f x a f x b a b 则f x 是周期函数 b a 是它的一个周期 若f x a f x a 0 则f x 是周期函数 2a是它的一个周期 若f x a a 0 且f x 0 则f x 是周期函数 2a是它的一个周期 天马行空官方博客 对称性的几个结论 若f x a f b x 则函数f x 的图象关于直线x 对称 特别地 若f a x f a x 函数f x 的图象关于直线x a对称 若有f a x f b x 则函数f x 的图象关于点 0 中心对称 特别地 若f a x f a x 则函数f x 的图象关于点 a 0 中心对称 天马行空官方博客 若f x 的图象有两条对称轴x a和x b a b 则f x 必为周期函数 且2 b a 是它的一个周期 若f x 图象有两个对称中心 a 0 和 b 0 a b 则f x 必为周期函数 且2 b a 为它的一个周期 若f x 的图象有一对称轴x a和一个对称中心 b 0 a b 则f x 必为周期函数 且4 b a 是它的一个周期 例1 已知函数f x 的定义域为R 则下列命题中 若f x 2 是偶函数 则函数f x 的图象关于直线x 2对称 若f x 2 f x 2 则函数f x 的图象关于原点对称 函数y f 2 x 与函数y f 2 x 的图象关于直线x 2对称 函数y f x 2 与函数y f 2 x 的图象关于直线x 2对称 其中正确的命题序号是 解析 是错误的 由于f x 2 是偶函数得f x 2 f x 2 所以f x 的图象关于直线x 2对称 是错误的 由f x 2 f x 2 得f x 4 f x 进而得f x 8 f x 所以f x 是周期为8的周期函数 是错误的 在第一个函数中 用 x代x y不变 即可得第二个函数 所以这两个函数图象关于y轴对称 是正确的 令x 2 t 则2 x t 函数y f t 与y f t 的图象关于直线t 0对称 即函数y f x 2 与y f 2 x 的图象关于直线x 2对称 例2 2005年 福建 f x 是定义在R上的以3为周期的奇函数 且f 2 0 则方程f x 0在区间 0 6 内解的个数的最小值是 A 2B 3C 4D 5 解析 f x 为奇函数 f 0 0 又函数f x 以3为周期 且f 2 0 f 2 0 f 1 0 f 4 0 f 3 0 f 5 0 在区间 0 6 内的解有1 2 3 4 5 故选D 例3 已知函数f x 的定义域为 x x R且 x 1 f x 1 为奇函数 当x 1时 f x 2x2 x 1 则当x 1时 f x 的递减区间是 A B 1 C D 1 解析 由f x 1 为奇函数得f x 1 f x 1 f x 的图象关于点 1 0 中心对称 又由已知可画出f x 在 1 上的图象 再根据中心对称画出f x 在 1 上的图象 由图象易知 f x 在 上单调递减 故应选C 例4 2005年 广东 对函数f x 当x 时 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 在闭区间 0 7 上 只有f 1 f 3 0 1 试判断函数y f x 的奇偶性 2 试求方程f x 0在闭区间 2005 2005 上的根的个数 并证明你的结论 解 1 由已知得f 0 0 f x 不是奇函数 又由f 2 x f 2 x 得函数y f x 的对称轴为x 2 f 1 f 5 0 f 1 f 1 f x 不是偶函数 故函数y f x 是非奇非偶函数 2 由f 4 x f 14 x f x f x 10 从而知y f x 的周期是10 又f 3 f 1 0 f 11 f 13 f 7 f 9 0 故f x 在 0 10 和 10 0