用差分法和变分法解平面问题.ppt

第五章用差分法和变分法解平面问题 在前几章我们学习了弹性力学平面问题的基本公式 以及在某特定边界条件下的解答 实际上 自弹性力学基本方程建立后 很多的数学家和力学家将这些方程在各种问题的边界条件下的求解作为重要的工作内容 但弹性力学的经典解法存在一定的局限性 当弹性体的边界条件和受载情况复杂一点 往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解 另一方面在实际的工程中 边界条件一般都是十分复杂的 这使得用数值解法有着重要的实际意义 差分法和变分法是使用较久 比较经典的两种数值解法 第五章用差分法和变分法解平面问题 3 5 1差分公式的推导 差分法 就是把微分用有限差分代替 把导数用有限差商代替 从而把基本方程和边界条件 一般均为微分方程 近似地改用差分方程 代数方程 来表示 把求解常微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题 4 一 基本差分公式 我们在弹性体上 用相隔等间距h而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形网格 如图所示 网格的交点称为结点 网格的间距称为步长 设f f x y 为弹性体内的某一个连续函数 该函数在平行于x轴的一根网线上 例如在3 上 它只随x坐标的改变而变化 在邻近结点 处 函数f可展为泰勒级数如下 这是基本差分公式 以上 是基本差分公式 从而可导出其它的差分公式如下 二 导出其它差分公式 其它差分公式 本节差分公式的推导是建立在f泰勒展开时略去三阶后得到的 即把函数f简化为二次函数 呈抛物线变化 因此本节的基本差分公式称为抛物线差分公式 差分公式 及 是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值 可称为中点导数公式 以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值 可称为端点导数公式 应当指出 中点导数公式与端点导数公式相比 精度较高 因为前者反映了结点两边的函数变化 而后者却只反映了结点一边的函数变化 因此 我们总是尽可能应用前者 而只有在无法应用前者时才不得不应用后者 5 2应力函数的差分解 一 应力函数表示的应力分量的差分表示法应力函数的二阶导数表示的应力分量为 仍用第一节的网格 应用差分公式 结点0处的应力分量表达式为 如果在弹性体上织成如图所示的网格 应用差分公式就可以把任一结点处的应力分量表示成为 b 通过以上差分公式 若已知各节点处的值 就可以求得各结点处的应力分量 二 应力函数表示的相容方程的差分方程 将前节的公式 二 应力函数表示的相容方程的差分方程 代入相容方程 即 得 二 应力函数表示的相容方程的差分方程 化简后得应力函数表示的相容方程的差分方程 该方程相当于应力函数的双调和方程 观察方程的脚标我们发现 的脚标与结点的序号之间有很有意思的联系 的脚标与结点的相对位置紧密相连 为本点 为近点 为角点 为远点 上式可以这样记忆 20本点 8近点 2角点 远点 0 二 应力函数表示的相容方程的差分方程 对于弹性体边界以内的每一结点 都可以建立这样一个差分方程 但是对于边界内一行 距边界为h 的结点 差分方程中还将包含边界上各结点处的值和边界外一行的虚结点的值 因此必须将网格扩展到边界外 假想在边界外还有一行结点 先算出边界上各结点的 再求靠近边界外面一行的各结点的 然后解出边界内各结点的联立差分方程 应力边界条件 具体的推导分析教材叙述的非常详细 同学们可以自习 三 应用应力边界条件求出边界节点上的 在应用差分法中 内结点数与以内结点为本点所列出的差分方程数相等 而对列差分方程时要用到的边界结点和边界外一行的结点采用下列方法处理 1 对边界结点 利用应力函数加上一个线性函数并不影响应力的特点 通过把函数加上 并调整系数 使对某个基点A有 对于边界上其它点B 利用下列公式求得 上面是积分形式 从定点到动点 的应力边界条件 其物理意义是 表示从A到B边界上x向面力的主矢量表示从A到B边界上y向面力的主矢量改号表示从A到B边界上面力对B点的力矩 在图示坐标系中以顺时针向为正 2 对边外一行的虚结点 可用下列公式求解 如图第一节网格所示 四 用应力函数的差分法求解问题的步骤 1 在边界上任意选定一个结点作为基点A 取 计算边界上各点的 2 求出边界外一行各虚结点处的值 3 对边界内的各结点建立差分方程 联立求解 从而求出各结点处的值 5 计算所需求的应力分量 4 计算边界外一行各结点处的值 5 3应力函数差分解的实例 如图 正方形的混凝土深梁 上面受均布形下的铅直载荷q 由下角点处的反力维持平衡 试用应力函数的差分解求解应力分量 为了简便计算 设反力是集中力 网格划分如图所示 间隔为1 6边长 1 为了反映对称性 取梁底中点A作为基点 取 相关节点的需要计算的值如下表所示 2 将边界外一行各个虚结点处的值 至 在上下两边 得到在左边 得到即同理得 3 对边界内各点建立差分方程 注意对称性 对于结点1 将前面求得的结果带入 化简后得这样的方程我们可以列出15个 同时未知数为共15个未知数 联立求得 4 计算边界外一行各界点处的值 5 计算应力由前面讨论的公式 可以求得各点应力 对于M点对于结点1 同理得到 中线MA变化曲线如图 对比材料力学的结答 可见 对于深梁 材料力学的解答是不能完全反映实际情况的 从本道例题中 我们总结要注意以下几点 1 对称性 2 求解边界上各结点的值 可以直接根据其物理意义得出 3 对于深梁受均布载荷的问题 无法得出精确的函数式解答 应用差分法可以求得其解 沿深梁的中线MA 的变化曲线 例题1用差分法计算图示中的A和B的应力分量 解 为反映对称性 取A为基点 令边界点的应力函数值 边界点的导数值由上式及 求出边界外一行虚结点的值 对1点列差分方程 解得 应力分量为 例题2用差分法计算如图所示基础梁的最大拉应力 并与材料力学的解答进行对比 采用2 4的网格 各结点编号如图所示 解 由于对称 只需计算梁的一半 所以 只有两个独立的未知数和 1 取梁底中点A作为基点 设利用边界结点的应力函数及其导数公式 计算边界上所有各结点处的值 结果见下表 2 计算各虚结点的值 3 建立内结点的差分方程将边界点及虚结点的值代入 简化得 4 计算虚结点的值5 各结点处的应力分量 如GA截面上三个结点的分别为 同理可算得FB截面 EC截面上的以及各水平截面上的 各结点的剪应力也可求得 经比较基础梁内最大拉应力为 GA截面上的分布见图所示 6 分析 按材料力学方法计算 GA截面的弯矩以及A G点的正应力分别为 差分法计算出的最大拉应力 最大压应力分别比材料力学相应的解答小了43 与24 但如果网格进一步细分 则将得到更精确的解答 差分法小结 差分法的优点 1 差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法 我们总可以将微分方程化为差分方程并得出其数值解答 2 差分法简便易行 掌握了差分公式和解题步骤 就可以简便解答问题 同时 我们还可以借助计算机取较密集的网格对问题进行分析 可以得到足够精确的解答 如 对于矩形薄板的弯曲 稳定和振动等问题 可以用差分法很方便求解 3 对于某些结构 为了更精确地分析局部的应力状态 可以用差分法进行分析 如 使用结构力学方法计算出钢架结构的整体内力分布后 可以用差分法进一步分析钢架结点附近的局部应力状态 差分法小结 差分法的缺点是 1 对于由曲线边界和斜边界等产生的不等距网格 虽然可以得出相应的不等距的差分公式 或改造成为等间距的网格进行分析 但比较麻烦并容易出错 2 差分法比较适用于解二维问题或平面问题 这时的网格较为直观 易于图示 3 差分法比较适用于等间距网格 对于应力等变化较为剧烈时 需采用二次网格进行计算 4 差分法是近似解法 凡是近似解 在进行求导运算时会降低精度 5 4弹性体的形变势能和外力势能 弹性力学问题需要解一系列偏微分方程组 并满足边界条件 这在数学上往往遇到困难 因此需要寻求近似的解法 变分法的近似解法是常用的一种方法 在数学上 变分问题是求泛函的极限问题 在弹性力学里 泛函就是弹性问题中的能量 功 变分法是求能量 功 的极值 在求极值时得到弹性问题的解 变分问题使我们比较方便地得到近似解 一 变分法 variationalmethod 简介以变分法和变分原理为基础的一种近似计算方法 是解决力学和其它领域问题的有效数学工具 变分法是研究泛函的极值问题 变分原理实际上是以变分形式表达的物理定律 即在所有满足一定约束条件的可能物质运动状态中 真实的运动状态使某物理量取极值或驻值 变分问题可化为等价的微分方程问题 虽然物理问题可以有两种等价的提法 但在求数值近似解时 从求泛函的极值或驻值出发有时比从微分方程出发更为方便 因此 变分日益受到重视并成为计算力学的重要方法之一 变分法大约经历了古典变分法和有限元法两个阶段 瑞利 1842 1919 英国物理学家 原名J W 斯特拉特 1842年11月12日生于埃塞克斯的威特姆 1919年6月30日卒于同地 20岁入剑桥大学三一学院学习 3年后以优异成绩毕业 毕业后第二年被选为三一学院研究员 他在理论和实验方面都有杰出才能 研究工作几乎遍及当时经典物理学的各个领域 他有不少著作 论文达400多篇 1873年被选为英国皇家学会会员 1879 1884年任卡文迪什实验室主任 1885 1896年任皇家学会秘书 1905 1908年任会长 1908年起任剑桥大学校长 瑞利 里兹法通过泛函驻值条件求未知函数的一种近似方法 是英国的瑞利于1877年在 声学理论 一书中首先采用 后由瑞士的W 里兹于1908年作为一个有效方法提出 这一方法在许多力学 物理学问题中得到应用 瑞利 里兹法是最常见的古典变分法 此法的主要困难是在全域范围内选取满足全部约束条件的基函数 有限元法是古典变分法与分片插值法相结合的产物 可避免古典变分法寻求基函数的困难 而且不规则的割分法比有限差分法有更大的灵活性 适用范围极广 有限元法我们将会在以后的课程中专门介绍 弹性力学中的变分法又称为能量法 弹性力学中 研究的泛函就是弹性体的能量 如形变势能 外力势能等 变分法按照所取的基本未知函数 可以分为位移变分法或应力变分法 本章只介绍位移变分法 二 形变势能密度单位体积中具有的形变势能 即应变能或内力势能 如图所示 假定弹性体在受力作用的过程中始终保持平衡 因而没有动能的改变 且弹性体的非机械能也没有变化 这样应力所做的功完全转换为物体的形变势能 存储于体内 应力所做的功为同样 弹性体只在两个互相垂直的方向x y方向 受均匀的剪切力 相应的剪切应变为 形变能密度为 根据能量守恒定律 形变势能的多少与弹性体受力的次序无关 完全决定于应力及形变的最终大小 用反证法很容易得到结论 假定六个应力分量和六个形变分量全部同时按同样的比例增加到最后的大小 这样可以简单的算出相应于每个应力分量的形变势能密度 叠加后得出弹性体的全部形变势能密度 平面问题中 弹性体的形变势能密度的表达式为 三 形变势能平面问题中 弹性体的形变势能为将平面问题的物理方程代入得 求导 得上式的物理意义是弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率 就等于相应的应力分量 将几何方程代入可以得到位移分量表示的形变势能密度 形变势能为 由看出 形变势能是形变分量或位移分量的二次泛函 叠加原理不再适用 即 同时 四 外力功与外力势能外力功即外力 体力和面力 在实际位移上所做的功 若弹性体在平面域A中 所受的体力分量为在边界上的面力分量为 则外力功为取 或 时外力功和势能等于零 由于外力做功消耗了外力势能 因此 发生实际位移时 弹性体的外力势能是 一 位移变分方程1 虚位移 力学词典 定义 在一定位置上 为约束所允许的 假想的无限小位移 记作 它与实位移不同 实位移是指系统各质点在真实运动中受主动力作用经历一定时间的位移 记作 在完整定常约束下 实位移是无数虚位移中的一个 在完整非定常约束下 约束方程为 实位移不是虚位移中的一个 虚位移与数学中变分的性质相同 可用一个符号 在分析力学中 利用虚位移概念建立了虚位移原理 在动力学中 虚位移原理与达朗伯原理结合导出了动力学普遍方程 达朗伯 拉格朗日原理 5 5位移变分方程 达朗伯原理 有约束的质点系得动力学问题的原理 表达式为动力学普遍方程 任一瞬间 作用在具有理想约束的质点系上所有动力和惯性力 在瞬时任何虚位移上的原功之和等于零 表达式为 在本课中 设某单位厚度弹性体 在外力作用下处于平衡态 u v为实际存在的位移分量 满足平衡方程及边界条件 假想这些位移分量发生了位移边界条件所允许的微小改变 这些微小的改变即为虚位移 弹性体从实际位移状态进入邻近的虚位移状态 此时 虽然微分和变分的运算对象不同 但微分和变分都是微量 他们的运算方法是相同的 由于弹性体发生虚位移 引起的外力势能和形变势能的改变 外力功的变分和外力势能的变分为 2 虚应变虚应变 由于位移的变分引起的应变的变分 形变势能的变分为 由于应力在变分以前已经发生 看为恒力 因此上式无 3 位移变分方程在实际平衡状态发生位移的变分是 所引起的形变势能的变分 等于外力功的变分 二 极小势能原理极小势能原理 在给定的外力作用下 在满足位移边界条件的所有各组位移状态中 实际存在的一组位移应是总是能成为极值 可以证明 对于稳定平衡状态 这个极值是极小值 由得可以证明得 三 虚功方程虚功方程 如果在虚位移发生之前 弹性体处于平衡状态 那么 在虚位移过程中 外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在虚应变上所做的虚功 实际上 位移变分方程 极小势能原理的表达式以及虚功方程三者本质是一样的 他们都是弹性体从实际平衡状态发生虚位移时能量守恒定力的具体应用 只是表达方式有所不同 可以证明 位移变分方程 或极小势能原理或虚功方程 等价于平衡微分方程和应力边界条件 即 可以代替平衡方程和应力边界条件 显然所设梁的挠曲线方程满足边界条件 由极小势能原理求系数a2和a3 形变势能为 解 设梁的挠曲线为 其边界条件为 例题悬臂梁在自由端受集中力P作用 如图所示 试用极小势能原理求最大挠度 P x y 外力势能为 则总势能为 应用极小势能原理 则 积分得 由上述两方程解得 故挠曲线为 最大挠度值为 第六节位移变分法 在第五节中 我们得到了位移变分方程 在实际平衡状态发生位移的变分是 所引起的形变势能的变分 等于外力功的变分 本节中将介绍变分法中的一种 位移变分法 位移变分法 就是首先取位移为基本未知函数 位移函数应预先满足上的约束 位移 边界条件 然后再另起满足位移变分方程 1 设定一组包含若干待定系数的位移分量表达式 2 位移分量表达式应预先满足位移边界条件 3 令位移分量满足位移变分方程并求得待定系数 位移变分法有许多方法 如瑞利 里茨法 伽辽金法等 首先 我们从用瑞利 里茨法解决梁的弯曲问题的回顾来开始讨论 例题如图所示 一端固定 一端自由的压杆 长度为l 抗弯刚度为EI 临界载荷 试用瑞利 里茨法求解 1 假设挠度曲线为抛物线则弯曲应变能为 形变势能外力势能总势能 由瑞利 里茨法得得 下面重点介绍一下瑞利 里茨法 1 设定位移的试函数为2 位移的试函数满足位移边界条件边界上 令 分别等于给定的约束位移值 即令 分别等于零 即这样 位移的试函数满足了上的位移边界条件 3 令位移分量满足位移变分方程并求得待定系数 将上两式代入位移变分方程 得归纳后得 由于 是任意的和独立的 因此 它们的系数为零 即这是各个系数的一次方程 可求出各个系数 4 求位移分量 将所求系数带入问题求解 例1 如图所示的薄板 不计体力 求薄板的位移 解 设位移 它们是满足位移边界 左边和下边 的边界条件的 在平面应力状态下 可得 即 可得 由 即 解得 这个问题的位移状态是非常简单的 而采用的位移表达式正好是该问题的解答解答 这在变分法中是很少遇到的 只有在所取的试函数正好与精确解答一直时才会出现 例2 如图所示 宽为2a而高度为b的矩形薄板 左右两边及下边均被固定 而上边的位移给定为 不计体力 试求薄板的位移和应力 解 取坐标轴如图所示 设位移分量为 可以满足位移边界条件 即 此外 由于u是x的奇函数 v是x的偶函数 所以位移的对称性也满足 本题不计体力 即 相应的线积分不存在 简化为 同时考虑位移的对称性 得 将位移分量表达式带入上式 再积分 带入得到的两个线性方程 从而得到系数 最后得到位移分量的解答如下 例题3 课后5 11 铅直平面内的正方形薄板 边长为2a 四边固定 只受重力作用 设 试取位移分量的表达式为 用瑞利 里茨法求解位移分量 取A1项及B1项 及应力分量 y 解 当只取A1项及B1项时 形变势能 现计算和 在用瑞利 里茨法时 要求 由 解之得 所以 例题4单位厚度 的深梁 两侧边固定 上下边受均布载荷q作用 如图所示 使用位移变分法求解其位移 取 解 分析弹性体形状和载荷方式 我们可以得到 深梁的位移对称于y轴 反对称于x轴 因此 位移分量u为x y的奇函数 位移分量v为x y的偶函数 假定位移试函数为试函数满足两端的约束边界条件 同时满足对称性质 用瑞利里兹法求解 1 假设只取u v中一项 设定位移的试函数为 2 位移的试函数满足位移边界条件 3 令位移分量满足位移变分方程并求得待定系数 将u v带入平面应力问题的形变势能公式 得到 积分得 代入位移变分方程本题中 得到的求的方程为 将已知条件代入 方程简化为 求出各个系数 4 求位移分量 将所求系数带入u v的表达式得 例题5如图所示的薄板 三边固定 一边受到均布压力q的作用 试用瑞利 里茨法的位移变分法求解 其中取a b 解 结合边界位移边界条件 同时考虑到对称性的情况 v为x的偶函数 u为x的奇函数 取试函数为 1 假设只取u v中一项 设定位移的试函数为 2 位移的试函数满足位移边界条件 3 令位移分量满足位移变分方程并求得待定系数 将u v带入平面应力问题的形变势能公式 同时已知a b 得到 形变势能将U表达式带入位移变分方程考虑边界条件 体力 面力只存在于y b边 将所得结果带入得 联立解得 4 求位移分量 将所求系数带入u v的表达式得 取 求得应力分量为 变分法小结1位移变分法适用于具有各种边界条件的问题 适用范围广 2变分法中设定的试函数 一般局限于某种函数的范围内 并不完全任意 因此变分法的解答是近似的 3位移为近似解答 求导运算后精度还会降低 因此 用位移变分法求解问题 应力的精度低于位移的精度 因此为了使所求应力分量达到所需精度 必须取更多的系数 4虽然变分法的难点在于 a试函数必须满足一定的边界条件 b若试函数所取的项较多时 计算量很大 但与解常微分方程比较 变分法还是有效的 实际的 得到广泛应用的 5变分法是有限元法的理论基础 将连续体中的变分原理应用到离散化的结构中 是导出有限单元法的主要途径 随着近几十年来有限元法的广泛应用和发展 变分法应用也得到很大的促进 本章小结 1导数的差分公式基本差分公式 2 应力函数的差分解法应力函数表示的相容方程的差分方程 该方程相当