2025年北京高考数学试卷（含详解）

2025年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学

本试卷共12页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束

后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一,选择题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

已知集合"={xI2x—1>5},N={1,2,3}则“N=()

1.

A.[1,2,3)B.{2,3}C.{3}D.0

2.已知复数z满足i.z+2=2i,贝U|z|=()

A.B.2行C.4D.8

3.双曲线/一4>2=4的离心率为（）

5

A.—D.---------C.一D.布

224

4.为了得到函数y=9"的图象，只需把函数y=3"的图象上所有点的（

A.横坐标变为原来的1■倍（纵坐标不变）B.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）

纵坐标变为原来的工倍（横坐标不变）

D.纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）

3

5.已知｛4｝是公差不为零的等差数列，4=-2,若%,4，％,成等比数列，则4o=（）

A.-20B.-18C.16D.18

6.已知〃>0力>0,贝！J（）

111

A.a2+b2>2abB.—+->——

abab

112

a+b>\[abD.-+-<-^=

ab7ab

7.已知函数/（x）的定义域为D,则“/（幻的值域为R”是“对任意MwR,存在与e。，使得|/（%）|>M”的（）

A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

设函数/（X）=5由。*+850¥（。>0）,若/0+兀）=/（%）恒成立,且/（%）在0,；上存在零点，则。最小值为

8.

A.8B.6C.4D.3

9.一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N(单位：h),其中左为常数.在

此条件下，已知训练数据量N从1()6个单位增加到1.024x109个单位时，训练时间增加20h,当训练数据量N从

1.024x1()9个单位增加到4.096x109个单位时,训练时间增加()

A.2hB.4hC.20hD.40h

.—UUU1UUlU

10.在平面直角坐标系xOy中，|OA|=|OB|=JL|40=2.设。(3,4),则|2。4+43|的取值范围是()

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D,[8,12]

第二部分(非选择题共110分)

二,填空题共5小题,每小题5分，共25分.

11.已知抛物线丁=2.(°>0)顶点到焦点的距离为3,则，=.

4

12.已知(1—2x)4=%—2%x+4gx~—8a3三+16tz4x,]H!jci0—,6+a。+q+%=.

13.已知a,[0,2兀],且sin(a+尸)=sin(a—尸)，cos(a+〃)#cos(a—万).写出满足条件的一组a,/?的值a=

,B=•

14.某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABC。跖是一个平面多边形，平

面AFRA.平面ABC,平面CDT±平面ABC,ABYBC,AB//EF//RS//CD,BC//DE//ST//AF.若

AB=BC=8,AF=CD=4,RA=RF=TC=TD=^,则该多面体的体积为.

15.关于定义域为R的函数/(x),给出下列四个结论：

①存在在R上单调递增的函数/(%)使得/(%)+/(2x)=-X恒成立.

②存在在R上单调递减的函数/U)使得/(x)-/(2x)=x恒成立.

③使得/(%)+/(-%)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.

④使得了(%)-/(f)=cosx恒成立的函数/(%)存在且有无穷多个.

其中正确结论的序号是.

三,解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

16.在VABC中，cosA=-±asinC=4夜.

3

(1)求c的值.

(2)再从条件①,条件②,条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得VA5C存在,求3C边上的高.

条件①：a=6,条件②：asin3=[l,条件③：VABC的面积为10五.

17.如图，在四棱锥尸―ABCD中，，ADC与B4C均为等腰直角三角形，ZADC=90°,/BAC=90°,E为BC的中

点.

(1)若”G分别为的中点，求证：/G//平面力A

(2)若上4,平面ABC。，Q4=AC,求直线AB与平面尸。所成角的正弦值.

18.某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲，乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对

该知识点的掌握情况，随机抽查了甲，乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为

80,乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立,用频率估计概率.

(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率P

(2)从甲，乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X

的数学期望.

(3)假设：如果没有掌握该知识点,学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案，如果掌握该知识点，甲校

学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲，乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值

分别为P1,P2，判断P1与P2的大小(结论不要求证明).

19.已知椭圆E：£+《=l(a>b>0)的离心率为白,椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.

(1)求椭圆E的方程.

⑵设。为坐标原点，点M(x0,%)(//0)在椭圆E上,直线x°x+2y°y—4=0与直线y=2,y=—2分别交于点

S.\OA\

A,B.设4M与©的面积分别为S1,S,,比较在与焉的大小.

o2IC/n|

20.己知函数/(x)的定义域是(―l,+8),/(0)=0,导函数r(x)=蚂¥©，设是曲线y=/(x)在点

1+X

A(a,/(a))(aw0)处的切线.

(1)求/'(尤)的最大值.

(2)当—1＜。＜0时,证明：除切点A外，曲线y=/(x)在直线4上方.

,,,,2a-x2-x.

(3)设过点A直线/2与直线1,垂直，4，1与x轴交点的横坐标分别是4,4,若。＞0,求-I.的取值范围.

21.己知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8},M={(x,y)IxeA,yeA},从M中选取"个不同的元素组成一个序列：

(七,yj,(/，%)，…，(七，丫J，其中(改，X)称为该序列的第，项«=L2,，若该序列的相邻项(七,%),(%+i,x+i)

满足：[一"『:或["M一"|=1,2,…，〃—1),则称该序列为K列.

[x+i—x|=4[v+i-y|=3

(1)对于第1项为(3,3)的K歹!J,写出它的第2项.

(2)设「为K列，且列中的项a，y)G=l,2,…⑼满足:当i为奇数时，xje{1,2,7,8}：当z•为偶数时,

七e{3,4,5,6).判断(3,2),(4,4)能否同时为「中的项，并说明理由.

(3)证明：由加的全部元素组成的序列都不是K列.

2025年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学

本试卷共12页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束

后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一,选择题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

]已知集合M={x12x—1>5},N={1,2,3}则MN=（）

A.[1,2,3}B.{2,3}C.{3}D.0

【答案】D

【分析】先求出集合加，再根据集合的交集运算即可解出.

【详解】因为M={x|2x—1>5}={X|x>3},所以McN=0.

故选：D.

2.已知复数z满足i.z+2=2i,则|z|=（）

A.aB.2A/2C.4D.8

【答案】B

【分析】先求出复数z,再根据复数模的公式即可求出.

【详解】由i-z+2=2i可得,2=1」=2+2。所以目=万方=20.

故选：B.

3.双曲线炉—4丁=4的离心率为（）

A.—B.—C.-D.行

224^

【答案】B

【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出a,",c,即可求出离心率.

丫2

【详解】由Y—49=4得,亍—〉2=1,所以。2=4,/=1,。2=〃+/=5.

即a=2,c=逐，所以e=£=且.

a2

故选：B.

4.为了得到函数y=9'的图象，只需把函数y=3"的图象上所有点的（）

A.横坐标变为原来的1•倍（纵坐标不变）B.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）

C.纵坐标变为原来的,倍（横坐标不变）D.纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）

3

【答案】A

【分析】由y=9'=32',根据平移法则即可解出.

【详解】因为y=9'=32',所以将函数>=3工的图象上所有点的横坐标变成原来的g倍，纵坐标不变，即可得到函数

y=9*的图象.

故选：A.

5.已知｛4｝是公差不为零的等差数列，4=-2,若%,。4，小成等比数列，则劭）=（）

A.-20B.-18C.16D.18

【答案】C

【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.

【详解】设等差数列｛4｝公差为4（2。0）.

因为%,为，％,成等比数列，且％=-2.

所以a：=%&，即(―2+3<7)一=(―2+2d)(—2+5d),解得d=2或d=0(舍去).

所以4o=q+9d=—2+9x2=16.

故选：C.

6.已知a>03>0,贝！］()

111

A.a2+b2>2abB.—+->—

abab

112

C.a+b>sfabD.—+-<-^=

aby/ab

【答案】C

【分析】由基本不等式结合特例即可判断.

【详解】对于A,当。=人时，/+从=2"，故A错误.

iiJ_+J_=2+4=6<-i—=R=J_

对于BD,取。=不6=:，此时。—11一一就.

24-x-r

lie,，23后2

ab~甲"荷，故BD错误.

V2X4

对于C,由基本不等式可得a+Z?22，拓>A/拓，故C正确.

故选：C.

7.已知函数/(x)的定义域为D,则“/(幻的值域为R”是“对任意MeR,存在/e。，使得/(%)|>M”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由函数值域的概念结合特例,再根据充分条件,必要条件的概念即可求解.

【详解】若函数/(%)的值域为则对任意一定存在玉使得

R,MwR,eD,/(%1)=|M|+1.

取为=石，则|/(尤())|=|以|+1>加，充分性成立.

取/(无)=2工，。=R,则对任意MeR,一定存在石e。，使得/(%)=M+1.

取/=%，则|〃/)|=陷+1>M,但此时函数/(x)的值域为(0,+"),必要性不成立.

所以“/(©的值域为R”是“对任意MeR,存在％e。，使得/(%)|>M”的充分不必要条件.

故选：A.

JT

8.设函数/(%)=5m以+850%(。>0),若/(%+兀)=1/10)恒成立,且/(%)在0,-上存在零点，则①的最小值为

()

A.8B.6C.4D.3

【答案】C

【分析】由辅助角公式化简函数解析式,再由正弦函数最小正周期与零点即可求解.

【详解】函数/(x)=sincox+cosa)x=^2sin(<y>0).

设函数/(x)的最小正周期为T,由/(x+兀)=/(x)可得左T=兀,(左eN*).

所以T=&=/，伏eN*),即0=2左，(左eN*).

cok

TT7171TIG)71

又函数/⑺在匕上存在零点，且当xe时，69X+—G一，---1----

4444

所以理+乌之兀，即力之3.

44

综上，①的最小值为4.

故选：C.

9.一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=^log2N(单位：h),其中人为常数.在

此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到1.024义1。9个单位时，训练时间增加20h,当训练数据量N从

1.024x1()9个单位增加到4.096x109个单位时,训练时间增加()

A.2hB.4hC.20hD.40h

【答案】B

【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间,结合对数的运算性质即可求解.

【详解】设当N取个单位，1.024x109个单位，4.096x109个单位时所需时间分别为

6

由题意，7]=^log210=6Zrlog210.

9106

T2=klog2(1.024xl0)=klog2(2xl0)=A;(10+61og210).

5126

T^=klog2(4.096xIO<)=左log,(2X10)=A;(12+61og210).

因为(—工=左(10+61og210)—6左log210=10左=20,所以k=2.

所以4-T2=A:(12+61og210)-A;(10+61og210)=2k=4.

所以当训练数据量N从1.024xlO9个单位增加到4.096xlO9个单位时,训练时间增加4小时.

故选：B.

.—UUU1UUUL

10.在平面直角坐标系中，|。4|=|。8|=0,IA3|=2.设。(3,4),则12cA+ABI的取值范围是()

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D,[8,12]

【答案】D

【分析】先根据A8=08—。4,求出〈。4,。5〉，进而可以用向量。4,。3表示出2。4+43,即可解出.

【详解】因为|。4|=|。3|=、历,|AB|=2.

--兀

由AB=06—OA平方可得，OAOB=0,所以〈。4。8〉=-.

2CA+AB=2(OA-(9C)+OB-OA=OA+OB-2OC,|oc|=732+42=5.

所以+=0/+加+4"

=2+2+4x25-4(OA+0孙OC=104-4(OA+O孙OC.

又(QA+O3)-OC<|(9A+OB||(9C|=5x72+2=10,gp-10<(OA+OB^OC<10.

所以12cA+e[64,144],Bp|2C4+AB|e[8,12].

故选：D.

第二部分（非选择题共110分）

二,填空题共5小题,每小题5分，共25分.

11.已知抛物线y1=2px（p>0）的顶点到焦点的距离为3,则P=.

【答案】6

【分析】根据抛物线的几何性质可求P的值.

【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为e,故"=3,故2=6.

22

故答案为：6.

23

12.已知（1-2x）4=a0-2a1x+4a2x-8a3x+16。4/，贝|%=,+a2+a3+a4=.

【答案】①.115

【分析】利用赋值法可求g，利用换元法结合赋值法可求%+4+%+%的值.

【详解】令%=0,则4=L

234

又（1一2尤）4=a0—2aAx+4«2x-8tz3x+16a4x.

故（1—2尤）'=+q（—2%）+々2（—2x）+6/3（—2x）+。4（—2尤）.

令t=-2%,则（1+f）=CIQ++af+%r+a"，.

令/■=1,贝！I旬+%+%+4+%=24,故％+4+%+%=15

故答案为：1,15.

13.已知尸e[0,2兀],且sin（a+尸）=sin（a—尸），cos（a+尸）#cos（a—万）.写出满足条件的一组/，的值a=

，P=•

7rTT

【答案】①.-（答案不唯一）②.-（答案不唯一）

26

【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解.

【详解】因为sin（«+/?）=sin（«-/7）,cos（cr+/7）wcos（a-/?）.

所以。+分,。-，的终边关于y轴对称，且不与y轴重合.

兀

故a+#+a—6=兀+2所,左£2且1++/TI,ZeZ.

兀

即。二一十左兀，左£Z.

2

TTTT

故取。=一,/=一可满足题设要求.

26

TT7T

故答案为：-（答案不唯一）

26

14.某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中A8CQEF是一个平面多边形，平

面AFR±平面ABC,平面CDTL平面ABC,AB±BC,AB//EF//RS//CD,BC//DE//ST//AF.若

AB=BC=8,AF=CD=4,RA=RF=TC=TD=~,则该多面体的体积为

【答案】60

【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱AM-痴T和四棱锥6-875E后结合体积公式可求几何体的体积.

【详解】先证明一个结论：如果平面。，平面孔平面分，平面平面£，=/,则

证明：设acy=a,0y=b,在平面/取一点0,O仁a,O0瓦

在平面7内过。作直线，"，使得加，a,作直线〃，使得

因为平面a_L平面7,77zu/,故加而/ua,故机_L/.

同理而根〃=。7%〃<=7,故/_L/.

下面回归问题.

连接破，因A3,5c且A尸〃BC,故A尸，A6,同理8C_LCD,EFLED.

而A5=3C=8,AF=CD=4,故直角梯形至砂与直角梯形CBED全等.

故ZBEF=ZBED=45°.

在直角梯形中,过8作3T_LEF,垂足为T.

则四边形ABTF为矩形,且_BTE为以ZBTE为直角的等腰直角三角形.

故EF=FT+TE=AB+BT=AB+AF=12.

平面R4b_L平面MEF,平面R4尸「平面ABE户=A尸，AF.LAB.

ABu平面,故AB，平面RAF.

取AF的中点为舷，BE的中点为U,C£>的中点为V,连接

则MU//RS,同理可证R0，平面ABEF,而KMu平面RMUS.

故平面RMUS_L平面ABEF,同理平面VUS，平面ABEF.

而平面RMUS。平面以方=SU,故SU，平面ABEF.

故RMI/SU,故四边形RMUS为平行四边形,故MU=RS=g(8+12)=10.

在平面中过B作卸刀//M,交火”于H,连接HT.

则四边形ABHR为平行四边形，且RH//AB,RH=AB,故RH//FT,RH=FT.

故四边形府7H为平行四边形.

而3〃LAB,3TLAB,3T3〃=3,3T,3〃u平面BHT.

故AB_L平面BHT,故平面ARF//平面BHT.

而AR=BH,RF=HT,AF=BT,故八ARF=/\RHT.

故几何体ARF-BHT为直棱柱.

而SARF=gx4xJg1—4=3,故VARF-BHT=8x3=24.

因A6〃£F,故所，平面ARE.

而石/u平面RSEF,故平面ARF±平面RSEF.

在平面A/S中过A作AG，斯，垂足为G,同理可证AG，平面RS£F.

ii7iI915

而］AG>M=3,故AG=《，故/_^=§><彳*/(2+4)><3=6.

由对称性可得几何体的体积为2x(24+6)=60.

故答案为：60.

15.关于定义域为R的函数/(%),给出下列四个结论:

①存在在R上单调递增的函数/(%)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立.

②存在在R上单调递减的函数/(%)使得/(x)-/(2x)=x恒成立.

③使得/W+/(-%)=cos无恒成立的函数/(%)存在且有无穷多个.

④使得了(%)一/(—X)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.

其中正确结论的序号是.

【答案】②③

【分析】利用反证法可判断①④的正误,构造函数并验证后可判断②③的正误.

【详解】对于①，若存在在R上的增函数/(%),满足/(x)+/(2x)=-x.

则/(0)+/(2义0)=-0,即"0)=0.

故x>0时，/(4x)>/(2x)>/(x)>0,故/(4x)+f(2x)>f(x)+f(2x).

故—2x>—%即x<0,矛盾,故①错误.

对于②，取/(%)=—%,该函数为R上的减函数且/(%)—〃2x)=x.

故该函数符合,故②正确.

对于③，取/(x)=gc

osx+nvc,mG

此时/(x)+/(—%)=cosx,由/篦eR可得/(九)有无穷多个.

故③正确.

对于④,若存在“X),使得/(X)-/(-x)=COSX.

令工=0,贝!|0=(：050,但(：050=1,矛盾.

故满足/(X)—/(-X)=cosX的函数不存在,故④错误.

故答案为：②③

三,解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

16.在VABC中，cosA=-±asinC=40.

3

(1)求c的值.

(2)再从条件①,条件②,条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得VA3C存在,求3c边上的高.

条件①：a=6,条件②：°sin5=竺手，条件③：VABC的面积为10&.

【答案】(1)6(2)答案见解析

【分析】(1)由平方关系,正弦定理即可求解.

(2)若选①，可得AC都是钝角，矛盾，若选②，由正弦定理求得。，由余弦定理求得”,利用等面积法求得高，若选③,

首先根据三角形面积公式求得。，再根据余弦定理可求得a,由此可说明三角形ABC存在,且可由等面积法求解AD.

【小问1详解】

因为cosA=——,AG(0,兀)，所以sinA=Jl-cos?A=,

由正弦定理有asinC=csinA=2叵c=4、历，解得c=6.

3

【小问2详解】

如图所示，若VA3C存在,则设其5c边上的高为AD.

D

Z------------，B

若选①，a=6,因为c=6,所以C=A,因为cosA=—；<0,这表明此时三角形ABC有两个钝角.

而这是不可能的,所以此时三角形ABC不存在，故3c边上的高也不存在.

10

105也b5

若选②，asin5="S,由asinC=4y伤有sinB_3_5,由正弦定理得一=—，所以b=5.

3wr=6c6

所以由余弦定理得a=,尸+°2—2/>CCOSA=J25+36—2x5>6x[—=9.

此时三角形ABC是存在的,且唯一确定.

所以SMC=工人csinA=L3C24D,即工X5X6X^=LX9A£).

22232

所以3c边上的高AD=生2.

9

若选③，VABC的面积是10e，则SABC=；6csinA=；6x6x2^=l(x/L

解得b=5,由余弦定理可得a=y/b2+c2-2bccosA=^25+36-2-5-6^-1^=9可以唯一确定.

进一步由余弦定理可得COSB,cosC也可以唯一确定，即B,C可以唯一确定.

这表明此时三角形ABC是存在的，且3C边上的高满足：SABC=-6(-AD=-AD=10V2,即入。=空亚.

229

17.如图，在四棱锥尸―ABCD中，，ADC与，B4C均为等腰直角三角形，ZADC=90°,NB4C=90°,E为BC的中

点.

C

(1)若”G分别为PD,PE的中点,求证：FGH平面PAB.

(2)若R4J_平面ABC。，/%=AC,求直线AB与平面尸CO所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵B

3

【分析】（1）取出的中点N,尸8的中点M连接FN,MN,只需证明FG〃肱V即可.

（2）建立适当的空间直角坐标系,求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解.

【小问1详解】

取融的中点N,的中点M连接FN,MN.

,ACD与7ABe为等腰直角三角形且ZADC=90°,ZBAC=90°.

不妨设A£>=CD=2,.・.AC=AB=2yf2-..BC=4.

其/分别为8U尸£）的中点.

:.FN==AD=1,GM==BE=1,豆FNIIAD,GMIIBC.

22

QZDAC=45°,ZACB=45°,.-.AD//BC.

.•.7W〃GM,...四边形FGMN为平行四边形.

:.FG//MN.

FG•平面PAB,MNu平面PAB,FG//平面PAB.

【小问2详解】

PAL平面ABC。，.•.以A为原点,AC,AB,AP所在直线分别为无,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设AD=。=2,则A（0,0,0）,网0,2夜,0）,C（2"0,0）,。（也-也0）,P（0,0,2⑹.

AB=（0,272,0）,DC=（V2,V2,0）,CP=（一2四,0,2虚）.

设平面PCD的一个法向量为n=（x,y,z）.

DCn=0A/2X+6y=0

V,,,v

,CP-n=Q，"[-242x+2y/2z=0'

取x=l,,y=-1,z=1,=（1,-1,1）.

设A8与平面pa）所成角为夕

|AB.«|0X1+2A/2X(-1)+0X1|272V3

贝"sin0=cos.AB.n・

2。"+(—I『+F2A/2XV3-3

MH

即AB与平面PCD所成角的正弦值为上.

3

18.某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲，乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对

该知识点的掌握情况，随机抽查了甲，乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为

80,乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立,用频率估计概率.

（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率P

（2）从甲，乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X

的数学期望.

（3）假设：如果没有掌握该知识点,学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案，如果掌握该知识点，甲校

学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲，乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值

分别为Pi，P2,判断Pi与P2的大小（结论不要求证明）.

4

【答案】（1）j

（2）0.35,E（X）=1.55

⑶Pi<P2

【分析】（1）用频率估计概率即可求解.

（2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及X的分布列,从而可求其期望.

（3）根据题设可得关于pvp2的方程,求出其解后可得它们的大小关系.

【小问1详解】

估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率

【小问2详解】

设A为“从甲校抽取1人做对"，则P（A）=0.8,P（Z）=0.2.

设B为“从乙校抽取1人做对"，则P（B）=0.75,P（A）=0.25.

设C“恰有1人做对"，故P（C）=P（A5）+P（lB）=尸（A）P（有）+P（可P（3）=0.35

依题可知,X可取。」,2.

P（X=0）=P（AB）=0.05,P（X=1）=035,P（X=2）=0.8x0.75=0.6.

故X的分布列如下表:

X012

P0.050.350.6

故矶X）=1x035+2x06=1.55.

【小问3详解】

设。为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”.

因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目.

未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个.

故P（D）+；（l_P（D））=0.8Wp1+：x（l—pJ=0.8^B=《.

同理有，0.85P]+工x（1—0）=0.75,故P]=—.

故0＜。2•

19.已知椭圆£：£+（■=1（。〉6〉0）的离心率为白,椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.

（1）求椭圆E的方程.

⑵设。为坐标原点，点M（x0,%）（/W0）在椭圆E上,直线x°x+2y°y—4=0与直线y=2,y=—2分别交于点

S.\OA\

A,8.设△Q4M与_OBM的面积分别为H,比较法与；—；的大小.

kJ2|CxA/|

22

【答案】（1）L+2L=i

42

【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出再根据。,反。的关系求出。，即可得到椭圆方程.

_\AM\

（2）法一：联立直线方程求出点坐标，即可求出，再根据即可得出它们的大小关系.

陷s2~\BM\

法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到ZAOM=ZBOM,再根据三角形的面积公式即可解出.

【小问1详解】

由椭圆可知，2a=4,所以a=2,又e=$=立，所以c=JL°2=2.

a2

故椭圆E的方程为三+乙=1.

42

【小问2详解】

xox+2yoy-4=0/y

联立《犬y2，消去x得，—「+2/=4.

彳+万=1I%o'）

整理得,（2x：+4y；）/—I6为y+16—4焉=0①.

22

又迎+江=1,所以2x；+4y；=8,16-4焉=8$.

42

故①式可化简为8y2—16%y+8火=0,即Q—%）?=0,所以，=%.

所以直线x（）x+2%y—4=0与椭圆相切，加为切点.

/、/、S|<9A|

设人（七,%）,3（%2，%），易知，当王=4时，由对称性可知，—=77^T

5C/£）

S]__再一/

故设马<xo<%1,易知

S2\BM\|X2-X0|X0

xx+2yy-4=04-4y。

联立《°n°°n，解得％=——20，%=2.

〔y=2%

xx+2yy-4=04+4%.

联立n"n，解得々=——小,％=-2.

〔y=-2%

4-4%/

济24_%—/_x0°_4-4y0-xj

所以7s~二-x-----x--二------m4+4—%二―x—--4-y-----4r

202人00

%

2y；-4%=2-%

—2y；—4%2+为

侬=W/J+4=,4（1—%1+/=,4（1一%）气4-2y；=Jy；-4%+4=2-%

\0B\卜+4%[4Ml+^y+x：j4（l+y°）2+4—2y：业+4%+42+%

S.\OA\

故不=而

d2（Jn

0A

法二：不妨设人（/七,%、）,8（/%2，%、），易知，当罚=》2时，由对称性可知，—M\\

\（JD\

故设x2<xo<%!.

xx+2yy-4=Q4-4%。

联立〈ncn，解得西=——2,%=2.

[y=2%

仁空，—I,解得.—a一2

联立《

若玉=0,则%=1,飞=±夜,4=±4A/2.

由对称性,不妨取则行,-(后,

x0=V2,X2=4A/2,A(0,2),3(42),M1).

A/2V|

彳

tanNBOM=41tanNBOM==近所以NAOM=NBOM.

同理,当々=0时，ZAOM=ZBOM.

业in"%2xo/%_~2xoxo%

当石々00时,贝_—一00，ktoB-—-——”0，ktoM~~

司4—4%2—2%x24+4为2+2%x0

22

又申+£=1,所以年+2y；=4.

%一

所以tanZAOM=、。「自”=2%：

1+kOA•kOM]+^0x2o

2-2%x0

x；+2券-2%_4-2y0_2

%（%-2）x0（y0-2）x0'

一।/

tanZBOM=后用一％_x（）2+2yo=x：+2y：+2%=4+2%=2

x

1+k（）M，k（）B।1ypoXo（〉o+2）5（%+2）x0

x（）、2+2%j

则tanZAOM=tanZBOM,即ZAOM=ZBOM.

所以3=|OA|OM\sinZAOMOA

\OB\OM\sinZBOM而

20.己知函数/(x)的定义域是(—l,+8)"(O)=O,导函数((力=蚂匕立，设4是曲线y=/(x)在点

1+JC

A（Q,/（“））（〃w0）处的切线.

(1)求/''(X)的最大值.

(2)当—1<。<0时,证明：除切点A外，曲线y=/(x)在直线4的上方.

2Q—%一%

(3)设过点A的直线4与直线4垂直，4,4与x轴交点的横坐标分别是A,%,若。>0,求v।的取值范

围.

【答案】⑴,

e

(2)证明见解析(3)Ui

【分析】(1)利用导数判断其单调性，即可求出最大值.

(2)求出直线4的方程，再构造函数//(%),只需证明其最小值(或者下确界)大于零即可.

(3)求出直线42的方程，即可由题意得到花，々的表示,从而用字母a表示出X;X，从而求出范围.

【小问1详解】

设g("=7'(x)，g，(x)=+；(l+x)J—

I)(1+x)2(1+x)2

由g'(x)=O可得x=e—l,当xw(-l,e-l)时，g'(x)>0,g(x)单调递增.

当时，g'(x)<0,g(x)单调递减.

所以/'(%)的最大值为r(e-l)=-.

e

【小问2详解】

因为，(上”

，所以直线4的方程为(、HnIn(1+a)

y-f(a)=.(1+")(