第九章不等式(高中数学竞赛标准教材)

1 / 13 第九章不等式 (高中数学竞赛标准教材 ) 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第九章不等式 一、基础知识 不等式的基本性质： （ 1） ac； （ 3） abc； （ 5 ） a （ 6 ）a （ 7） a （ 9） aa 或x （ 10） a,bR ，则 |a|-|b|a+b|a|+|b|; （ 11） a,bR ，则 (a-b)20a2+b22ab; （ 12） x,y,zR+ ，则 x+y2,x+y+z 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。 （ 6 ） 因 为 a0 ，所以acbd；重复利用性质（ 6），可得性质（ 7）；再证性质（ 8），用反证法，若，由性质（ 7）得，即 ab ，与 ab 矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（ 9）成立； -|a|a|a|, -|b|b|b| ，所以 -(|a|+|b|)a+b|a|+|b| ，所以 |a+b|a|+|b| ；下2 / 13 面再证（ 10）的左边，因为 |a|=|a+b-b|a+b|+|b| ，所以|a|-|b|a+b| ，所以（ 10）成立；（ 11）显然成立；下证（ 12），因为 x+y-20 ，所以 x+y ，当且仅当 x=y 时，等号成立， 再 证 另 一 不 等 式 ， 令 ， 因 为x3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20 ，所以 a3+b3+c33abc ，即 x+y+z ，等号当且仅当 x=y=z时成立。 二、方法与例题 1不等式证明的基本方法。 （ 1）比较法，在证明 AB 时利用 A-B 与 0 比较大小，或把（ A， B0）与 1 比较大小，最后得出结论。 例 1 设 a,b,cR+ ，试证：对任意实数 x,y,z,有 x2+y2+z2 【证明】左边 -右边 =x2+y2+z2 所以左边 右边，不等式成立。 例 2若 a1，比较大小： |loga(1-x)|与 |loga(1+x)|. 【 解 】 因 为 1-x1 ，所以loga(1-x)0,=|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)3 / 13 1 ， 所 以1） . 所以 |loga(1+x)|loga(1-x)|. （ 2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证 ，只需证 。 例 3 已知 a,b,cR+ ，求证： a+b+c-3a+b 【证明】要证 a+b+ca+b 只需证， 因为，所以原不等式成立。 例 4 已知实数 a,b,c 满足 0abc ，求证： 【证明】因为 0abc ，由二次函数性质可证a(1-a)b(1 -b)c(1 -c)， 所以， 所以， 所以只需证明， 也就是证， 只需证 b(a-b)a(a -b)，即 (a-b)20 ，显然成立。所以命题成立。 （ 3）数学归纳法。 例 5 对任意正整数 n(3) ，求证： nn+1(n+1)n. 【证明】 1）当 n=3时，因为 34=8164=43，所以命题成立。 4 / 13 2）设 n=k 时有 kk+1(k+1)k，当 n=k+1 时，只需证(k+1)k+21.因为，所以只需证，即证(k+1)2k+2k(k+2)，即证 k2+2k+1k2+2k.显然成立。 所以由数学归纳法，命题成立。 （ 4）反证法。 例 6 设实数 a0,a1,an 满足 a0=an=0 ，且a0-2a1+a20,a1 -2a2+a30,an -2-2an-1+an0 ，求证ak0(k=1,2,n -1). 【证明】假设 ak(k=1,2,n -1)中至少有一个正数，不妨设 ar 是 a1,a2,an -1 中第一个出现 的 正数，则a10,a20,ar -10,ar0，依题设 ak+1-akak -ak-1(k=1,2,n -1)。 所以从 k=r起有 an-ak-1an -1-an-2ar -ar-10. 因为 anak -1ar+1ar0 与 an=0 矛盾。故命题获证。 （ 5）分类讨论法。 例 7 已知 x,y,zR+ ，求证： 【证明】不妨设 xy,xz. ） xyz ，则， x2y2z2 ，由排序原理可得 ，原不等式成立。 ） xzy ，则， x2z2y2 ，由排序原理可得 5 / 13 ，原不等式成立。 （ 6 ） 放 缩 法 ， 即 要 证 AB ， 可 证AB(nN+). 例 8 求证： 【证明】 ，得证。 例 9 已知 a,b,c是 ABc 的三条边长， m0，求证： 【证明】 （因为 a+bc），得证。 （ 7）引入参变量法。 例 10 已知 x,yR+,l,a,b 为待定正数，求 f(x,y)=的最小值。 【解】设，则， f(x,y)= (a3+b3+3a2b+3ab2)= ，等号当且仅当时成立。所以 f(x,y)min= 例 11 设 x1x 2x3x42,x2+x3+x4x1 ，求证：(x1+x2+x3+x4)24x1x2x3x4. 【证明】设 x1=k(x2+x3+x4)，依题设有 k1,x3x44 ，原 不 等 式 等 价 于(1+k)2(x2+x3+x4)24kx2x3x4(x2+x3+x4) ，即 (x2+x3+x4)x2x3x4 ，因为 f(k)=k+在上递减， 所以 (x2+x3+x4)=(x2+x3+x4) 6 / 13 3x2=4x2x2x3x4. 所以原不等式成立。 （ 8）局部不等式。 例 12已知 x,y,zR+ ，且 x2+y2+z2=1，求证： 【证明】先证 因为 x(1-x2)=, 所以 同理， ， 所以 例 13已知 0a,b,c1 ，求证： 2 。 【证明】先证 即 a+b+c2bc+2. 即证 (b-1)(c-1)+1+bca. 因为 0a,b,c1 ，所以 式成立。 同理 三个不等式相加即得原不等式成立。 （ 9）利用函数的思想。 例 14 已知非负实数 a,b,c 满足 ab+bc+ca=1，求 f(a,b,c)=的最小值。 【解】当 a,b,c中有一个为 0，另两个为 1 时， f(a,b,c)=，以 下证明 f(a,b,c). 不妨设 abc ，则 0c,f(a,b,c)= 7 / 13 因为 1=(a+b)c+ab+(a+b)c ， 解关于 a+b的不等式得 a+b2( -c). 考虑函数 g(t)=,g(t)在 ）上单调递增。 又因为 0c ，所以 3c21. 所以 c2+a4c2. 所以 2 所以 f(a,b,c)= = = 下证 0c2+6c+99c2+90 因为，所以 式成立。 所以 f(a,b,c) ，所以 f(a,b,c)min= 2几个常用的不等式。 （ 1）柯西不等式：若 aiR, biR,i=1,2,n ，则 等号当且仅当存在 R ，使得对任意 i=1,2,n,ai=bi, 变式 1：若 aiR,biR,i=1,2,n ，则 等号成立条件为 ai=bi,(i=1,2,n) 。 变式 2：设 ai,bi 同号且不为 0(i=1,2,n) ，则 等号成立当且仅当 b1=b2=bn. （ 2）平均值不等式：设 a1,a2,anR+ ，记 Hn=,Gn=,An=，则 HnGnAnQn. 即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均。 其中等号成立的条件均为 a1=a2=an . 8 / 13 【证明】由柯西不等式得 AnQn ，再由 GnAn 可得 HnGn ，以下仅证 GnAn. 1）当 n=2时，显然成立； 2）设 n=k时有 GkAk ，当 n=k+1时，记 =Gk+1. 因为 a1+a2+ak+ak+1+(k -1)Gk+1 2kGk+1, 所以 a1+a2+ak+1(k+1)Gk+1 ，即 Ak+1Gk+1. 所以由数学归纳法，结论成立。 （ 3）排序不等式：若两组实数 a1a2an 且b1b2bn ，则对于 b1,b2,bn 的任意排列，有a1bn+a2bn-1+ +anb1a1b1+a2b2+anbn. 【证明】引理：记 A0=0， Ak=，则 =（阿贝尔求和法）。 证法一：因为 b1b2bn ，所以 b1+b2+bk. 记 sk=-(b1+b2+bk) ，则 sk0(k=1,2,n) 。 所以 -(a1b1+a2b2+anbn)=+snan0. 最后一个不等式的理由是 aj-aj+10(j=1,2,n -1,sn=0), 所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。 证法二：（调整法）考察，若，则存在。 若 (jn -1)，则将与互换。 因为 0 ， 所调整后，和是不减的，接下来若，则继续同样的调整。至9 / 13 多经 n-1 次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。 例 15已知 a1,a2,anR+ ，求证； a1+a2+an. 【证明】证法一：因为， ， 2an. 上述不等式相加即得 a1+a2+an. 证法二：由柯西不等式 (a1+a2+an)(a1+a2+an)2 ， 因为 a1+a2+an0 ，所以 a1+a2+an. 证法三：设 a1,a2,an 从小到大排列为，则，由排序原理可得 =a1+a2+an ，得证。 注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。 三、基础训练题 1已知 01， a,bR+ ，则的最小值是 _. 2已知 xR+ ，则的最小值是 _. 3已知 a,b,cR ，且 a2+b2+c2=1,ab+bc+ca 的最大值为 m，最小值为 N，则 mN=_. 4若不等式对所有实数 x 成立，则 a 的取值范围是_. 5若不等式 x+a 的解是 xm，则 m 的最小值是_. 10 / 13 6 “a+b=4” 是 “ 不等式 |x-a|+|x-b|8 的解集是x|-26” 的 _条件 . 7 若 a,bR+ ，则 a+b=1 ， 以 下 结 论 成 立 是_.a4+b4 ； a3+b31 ； ； ； ； 8已知 0，若，则 =_. 9 已知，p=(x1-)2+(x2-)2+(xn -)2,q=(x1-a)2+(x2-a)2+(xn -a)2,若，则比较大小： p_q. 10已知 a0且 ab,m=aabb,n=abba,则比较大小：m_n. 11已知 nN+ ，求证： 12已知 01， x2+y=0，求证： loga(ax+ay)loga2+. 13已知 xR ，求证： 四、高考水平训练题 1已知 A=asin2x+bcos2x,B=acos2x+bsin2x(a,b,xR) ，设 m=AB,n=ab,P=A2+B2,q=a2+b2 ， 则 下 列 结 论 成 立 的有 _.（ 1） mn,pq; （ 2） mn,pq ；（ 3）m+pn+q ；（ 4） m+qn+p. 2 已知 a,b,c,dR ，m=4(a-b)(c-d),N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，则比较大小： m_N. 3若 R+，且，将从小到大排列为 _. 11 / 13 4已知 ABc 的三边长 a,b,c满足 b+c2a,a+c2b ，则的取值范围是 _. 5若实数 x,y 满足 |x|+|y|1 ，则 z=x2-xy+y2 的最大值与最小值的和为 _. 6设函数 f(x)=(x -4,2)，则 f(x)的值域是 _. 7对 x10，记，比较大小：x1x2_y1y2. 8已知函数的值域是，则实数 a 的值为 _. 9设 abc 是直角 ABc 的三边长，若不等式恒成立，则 m 最大值为 _. 10实系数方程 x2+ax+2b=0 的一个根大于 0 且小于 1，另一个根大于 1 且小于 2，则的取值范围是 _. 11已知 a,b,cR+ 且满足 a+b+cabc ，求证：下列三个式子中至少有两个成立： 12 已知 a,bR+ 且 ， 求 证 ： 对 一 切 nN+ ，(a+b)n-an-bn22n -2n+1. 13已知 a,b,cR+ ，求证： 14设 x,y,z是 3 个不全为零的实数，求的最大值。 五、联赛一试水平训练题 1 已 知 a1,a2,b1,b2,c1,cR ，a1c1-=a2c20,P=(a1-a2)(c1-c2),Q=(b1-b2)2，比较大小： P_Q. 12 / 13 2已知 x2+y2-xy=1，则 |x+y-3|+|x+y+2|=_. 3 二 次 函 数 f(x)=x2+ax+b ，记m=max|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|，则 m的最小值为 _. 4设实数 a,b,c,d 满足 abcd 或者 abcd ，比较大小： 4(a+c+d)(a+b+d)_(2a+3d+c)(2a+2b+c+d). 5已知 xiR+,i=1,2,n 且，则 x1x2xn 的最小值为_（这里 n1） . 6已知 x,yR,f(x,y)=x2+6y2 -2xy-14x-6y+72 的最小值为_. 7已知 0ak1(k=1,2,2n) ，记 a2n+1=a1,a2n+2=a2，则的最大值为 _. 8 已知 0x1,0y1,0z1 ，则的最大值为_. 9已知 x5 ，求证： 10对于不全相等的正整数 a,b,c，求证： 11 已知 ai0(i=1,2,n) ，且 =1 。又012n ，求证： 六 、联赛二试水平训练题 1设正实数 x,y,z满足 x+y+z=1，求证：