欢迎各位同学来到数学分析课堂.ppt

欢迎各位同学来到数学分析课堂 绪论 一 什么是数学 世界上任何客观存在都有其 数 与 形 的属性特征 并且一切事物都发生变化 遵循量变到质变的规律 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学 牛顿 莱布尼兹认为数学成为研究运动与变化的学问 19世纪 恩格斯提出这样的定义 空间形式 必须理解为一切类似于空间形式的形式 射影空间 非欧几里得空间 拓扑空间 无穷维空间的空间 微分流形 数量关系 也要理解为一切类似于数量关系的关系 逻辑关系 语法关系 数学研究的是各种抽象的 数 和 形 的模式结构 在今天的数学中 数 和 形 的概念已发展到很高的境地 比如 非数之 数 的众多代数结构 像群 环 域等 无形之形的一些抽象空间 像线性空间 拓扑空间 流形等 第一阶段数学萌芽时期 远古 公元前5世纪 算术几何形成时期 但它们还未分开 彼此交织在一起 没有形成完整 严格的体系 缺乏逻辑性 基本上看不到命题证明 演绎 推理 第二阶段常量 初等 数学时期 公元前5世纪 17世纪中叶 数学逐步形成了一门独立的 演绎的学科 算术 初等几何 初等代数 三角学都已成为独立的分支 两大巨著 几何原本 九章算术 东西辉映 渊源流长 二 数学发展简史 第三阶段变量 高等 数学时期 17世纪中叶 19世纪中叶 变量与函数的概念进入数学 解析几何 微积分 概率论 射影几何形成 第四阶段近代数学时期 19世纪中叶 二次大战 非欧几里得几何 抽象代数 复变函数论 集合论 微分几何 微分方程论 积分方程论 点集拓扑 组合拓扑 第五阶段现代数学时期 20世纪40年代以来 原子能的应用 电子计算机的发明 空间技术的兴起 广义函数论 整体微分几何 非标准分析 微分拓扑 代数拓扑 代数几何 同调代数 模糊数学 计算数学 分形几何 从常量数学到变量数学 常量数学应用的局限性建立了日心学理论之后 17世纪的人们面临如何改进计算行星位置 如何解释地球上静止的物体保持不动 下降的物体还落在地球上等问题 这类问题的核心是物体的运动 带有运动特征的问题 初等数学 算术 初等代数 初等几何 三角 无能为力 数学基础是解析几何 标志为微积分 1 解析几何的产生解析几何学是借助坐标系 用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支 也叫坐标几何 由法国数学家笛卡儿和费尔马等人创建 1637年 变量数学产生的过程 解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑 从根本上改变了数学的面貌 使数学从此跨入了一个崭新的时代 即从常量数学进入变量数学的时代 从而大大地促进了数学的发展 2 函数概念的出现16世纪开始 科学家认为运动是最基本的物理现象 因此自然科学研究的中心问题是运动 各种变化的过程和变化着的量之间的依赖关系成为新的研究对象 科学家相信运动可以用数学来描述 于是出现了函数的概念 函数概念的出现最早在17世纪 但它的定义直到19世纪才形成 函数概念本身的发展直到现在还在继续 3 微积分的创立与微积分创立密切相关的科学技术问题 从数学角度归纳起来有四类 1 已知变速运动的路程 为时间的函数 时 求瞬时速度和加速度 2 求已知曲线的切线 3 求给定函数的最大值与最小值 4 求给定曲线长度 求平面曲线围成的面积 求已知曲面围成的体积 求物体的重心 已知变速运动物体的速度 加速度 求物体运动的路程与时间的关系 在17世纪探索微积分的至少有十几位大数学家和几十位小数学家 这些前驱者对于求解各类微积分问题确实作出了宝贵的贡献 但他们的方法仍然缺乏足够的一般性 求切线 求变化率 求极大极小值以及求面积 体积等基本问题 在当时是被作为不同类型处理的 牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场的 时代的需要与个人的才识 使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步 微积分的出现具有划时代意义 时至今日 它不仅成了学习高等数学各个分支必不可少的基础 而且是学习近代任何一门自然科学和工程技术的必备工具 变量数学产生的意义1 变量数学的产生 为自然科学更精确地描述物质世界提供了有效的工具 2 变量数学的产生 促进数学自身的发展与严密 产生新的数学分支 如解析数论 微分几何等 解决了第一次 第二次数学危机 建立了极限理论 完成了实数的定义等 使数学更加严密 3 变量数学的产生 使辩证法进入数学 辩证法把世界现象看作是普遍联系和永恒变化着的 把世界的发展看作是自身所固有的各种矛盾发展的结果 变量数学的许多概念如函数极限导数积分等 从哲学上讲 就是辩证法在数学中的应用 而微积分的完善就是自身矛盾发展的结果 因此 变量数学的产生 为辩证法进入数学提供了契机 并且为辩证法具有普遍性的论断 在数学上提供了有力的证明 植根于科学与技术之沃土 枝繁叶茂 荫及各个领域 数学大树 三 初等数学与高等数学的区别 17世纪以前的数学称为初等数学 研究的是常量间的代数运算和孤立的 不变的几何形体内部及相互间的关系 1637年笛卡儿引入了坐标系 沟通了数与形之间的关系 这时数学研究的是变量和不规则的几何形体 微积分的创立 使数学的发展出现了一日千里之势 形成了内容丰富的数学分析 高等代数 高等几何三大分支 相对于初等数学 它们称为高等数学 初等数学主要采用形式逻辑法 静止地 孤立地 一个一个地进行研究 高等数学则是以运动的 变化的观点去研究问题 数学分析是一门非常重要的基础理论课 它对后续课程有直接影响 关系到整个专业基础课学习的成败 关系到同学们的素质培养 对同学将来从事专业科学研究起着非凡的作用 其核心内容是微积分 著名数学家柯朗说 微积分学 或者数学分析 是人类思维的伟大成果之一 它处于自然科学和人文科学之间的地位 使它成为高等教育的一种特别有效的工具 这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶 这种奋斗已经经历了两千五百多年之久 它深深扎根于人类活动的许多领域 并且 只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止 这种奋斗就将继续不已 恩格斯指出 在一切理论成就中 未必再有什么象17世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了 他还说 只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态 并且也表明过程 运动 微积分对科学技术的重要性就象望远镜之于天文学 显微镜之于生物学 微积分的创立 与其说是数学史上 不如说是科学史上的一个创举 微积分是学好其他理工课程的基础 也是学好专业课的工具 不掌握好微积分 在科学技术的征途中将困难重重 四 怎样学好数学分析 1 数学的特点 1 高度的抽象性 概念更复杂 表达形式更抽象 一般化和抽象是数学之最重要的功能 正是由于一般化和抽象 数学才能如此异乎寻常地有效 这是什么 123 8570 98888 888 8888 你以为这是数吗 抽象不是数学独有的特性 但数学的抽象最为典型 这是我们以后经常要用到的数学语言 2 严谨的逻辑性 理论性更强 推理更严谨 严格性对于数学家 就如道德之对于人 说数学的精确性 不是指 把圆周率计算到小数点儿后千位 万位 几十亿位 那类事情 在强大的计算机上 人们已经计算到了 而是说数学结论的逻辑严格性 它不是靠实验千万次 而是逻辑推导 这也是科学证明与数学证明的区别 3 广泛的应用性 科学技术的各个领域 爱因斯坦说 数学的领土相应地定义为那些能被数学术语表达的知识的总和 看看如下脍炙人口的几个事实 海王星的发现 天文学家发现天王星的运动轨道与数学计算结果有15o的误差 引起天文学家的推测 在天王星轨道之外可能还有未知的行星在影响着天王星的运动 经过一段时间的观测 天文学家们一致公认了这颗新发现的星是太阳系的第八颗大星 命名为 海王星 最能说明数学在天文中的重要作用的是海王星的发现 海王星是在根本还没有被人发现之前 仅仅凭借纸上的计算 就确定了它的运行轨道和将要出现的位置 最终被发现的行星 所以它是科学预言的伟大胜利 在科学史上占有一席特殊的地位 电磁波的发现 自牛顿时代起 物理问题就成为数学发展的一个重要源泉 用数学方程表示物理现象是许多科学大师追求的最高目标 麦克斯韦1864年导出电磁场方程是19世纪数学物理最重要的胜利 根据对这组方程的研究 麦克斯韦预言了电磁波的存在 不仅给科学和技术带来巨大的冲击 同时也使偏微分方程威名大振 同一个偏微分方程 在流体力学中用来描写流体动态 在弹性力学中用来描写振动过程 在声学中用来描写声音传播等 还没有哪一门科学在应用的广泛性上能与数学相比 2 教学特点 1 课堂大 2 时间长 3 进度快 4 课上讲 课下练 5 不重复 3 对学生的要求 会学 不只是学会 1 预习 2 听讲 会听课 3 记笔记 4 复习 会看书 5 做作业 6 答疑 会提问 7 讨论 8 学会利用图书馆 俗话说 学问 学问 有学有问 郑扳桥说 学问二字要拆开看 学是学 问是问 今人有学而无问 虽读书万卷 只是一条钝汉尔 4 参考书 数学分析同步辅导 彭舟姬燕妮编 共2册 数学分析习题精解 吴良森等编 共2册 数学分析习题集题解 吉米多维奇 共6册 5 交作业和答疑 每个同学准备两个作业本 每周一交上周的作业 教师批改其中1 3 每班选出一名课代表 负责收发作业及师生之间的联系 每周三5 6节答疑 地点 四教西区204 第一章实数集与函数 第一节实数 一 实数 1 实数的无限小数表示 如 4 6789记为 34记为 4 6788999 33 999 对于负的有限小数 包括负整数 y 则先将 y表示为无限小数 再在所得无限小数前加负号 如 9 657432表示为 9 657431999 如 6表示为 5 9999 规定0表示成0 000 2 实数的比较 定义1 一 两个非负实数 1 则称x y 2 或存在非负整数l 使 则称x y或y x 若 二 对于负实数x y 若 x y 则称x y 若 xy或y x 三 规定任何非负实数 任何负实数 定义2 1 非负实数称有理数 为实数x的n位不足近似 称为实数x的n位过剩近似 n 0 1 2 2 对于负实数 其n位不足近似与过剩近似分别规定为 注 命题设 则x y的等价条件是 存在非负整数n 使得其中表示x的n位不足近似 表示y的n位过剩近似 证明 见附录 例1设x y为实数 x y 证明 存在有理数r满足x r y 此例说明任意两个不等的实数之间 都有一个有理数 证 由于x y 所以存在非负整数n 则r为有理数 且有 即x r y 例2P4 习题3 证 矛盾