概率论第三章第一节.ppt

一 二维随机变量及其分布函数 二 二维离散型随机变量 三 二维连续型随机变量 四 两个常用的分布 五 小结 第一节二维随机变量 到现在为止 我们只讨论了一维随机变量及其分布 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够 而需要用几个随机变量来描述 在打靶时 命中点的位置是由一对随机变量 两个坐标 来确定的 飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量 三个坐标 来确定的等等 实例1炮弹的弹着点的位置 X Y 就是一个二维随机变量 二维随机变量 X Y 的性质不仅与X Y有关 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系 实例2考查某一地区学前儿童的发育情况 则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量 H W 说明 二维随机变量 X Y X和Y的联合分布函数 一 二维随机变量的联合分布函数 X Y x y X x Y y 二维联合分布函数F x y 区域演示图 x y 定理 F x y 的性质 1 关于x或y非降 4 关于x或y右连续 2 3 5 对 有 区域演示图见下页 X Y x1 y1 x1 y1 x2 y2 x2 y2 x1 y2 x2 y1 二 二维离散型随机变量 定义 若只取有限对或可数对实数值则称其为二维离散型随机变量 二维随机变量 X Y 离散型 i j 1 2 X和Y的联合概率分布列 X Y 的联合概率分布列的表格形式如下 如何计算 一般用乘法公式 P AB P A B P B 例1整数X等可能的取值 1 2 3 4整数Y等可能的取值 1 X求 X Y 的联合概率分布列 解 P X i Y j i 1 2 3 4j 1 2 i P X 1 Y 1 P X 2 Y 1 P X 2 P Y 1 X 2 所以当j i时 P X i Y j 0 当j i时 P X 1 P Y 1 X 1 1 4 1 1 4 1 4 1 2 1 8 可验证 非负性 规范性 二维随机变量 X Y 离散型 X和Y的联合分布函数 离散型 一维随机变量X X的分布分布函数 如例1 求 说明 离散型随机变量 X Y 的分布函数归纳为 二维随机变量 X Y 连续型 X和Y的联合概率密度函数 三 二维连续型随机变量 2 性质 表示介于f x y 和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1 3 说明 设G是平面上的有界区域 其面积为A 若二维随机变量 X Y 具有概率密度 则称 X Y 在G上服从均匀分布 向平面上有界区域G上任投一质点 若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比 而与B的位置无关 则质点的坐标 X Y 在G上服从均匀分布 下面我们介绍两个常见的二维分布 2 二维正态分布 若二维随机变量 X Y 具有概率密度 二维正态分布的图形 推广n维随机变量的概念 定义 1 二维随机变量的分布函数 2 二维离散型随机变量的分布律及分布函数 3 二维连续型随机变量的概率密度 五 小结 1 二维随机向量 X Y 的联合概率分布为 求 1 常数a的取值 2 P X 0 Y 1 3 P X 1 Y 1 解 1 由 pij 1得 a 0 1 2 P X 0 Y 1 P X 0 Y 0 P X 0 Y 1 P X 1 Y 0 P X 1 Y 1 0 1 0 2 0 1 0 2 0 6 3 P X 1 Y 1 P X 1 Y 0 P X 1 Y 1 P X 0 Y 0 P X 0 Y 1 P X 1 Y 0 P X 1 Y 1 0 75 练习 2 设 X Y 试求 1 常数A 2 P X 2 Y 1 解 1 所以 A 6 A 6 1 3 P