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文档简介
5 7正定二次型 一 惯性定理 一个实二次型 既可以通过正交变换化为标准形 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形 显然 其标准形一般来说是不唯一的 但标准形中所含有的项数是确定的 项数等于二次型的秩 实际上 当我们限定所用的变换为实变换时 二次型的标准形还有如下一些性质 证明 由上面定理知 存在正交矩阵P 使得 结论 且 令 则K可逆 这个定理称为惯性定理 这里不予证明 二次型的标准形中 正系数的个数称为二次型的正惯性指数 负系数的个数称为负惯性指数 为正定二次型 为负定二次型 二 正 负 定二次型的概念 例如 证明 充分性 故 三 正 负 定二次型的判别 必要性用反证法 故 推论对称矩阵为正定的充分必要条件是 的特征值全为正 这个定理称为霍尔维茨定理 定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是 的各阶主子式为正 即 对称矩阵为负定的充分必要条件是 奇数阶主子式为负 而偶数阶主子式为正 即 正定矩阵具有以下一些简单性质 解 它的顺序主子式 故上述二次型是正定的 解 二次型的矩阵为 用特征值判别法 故此二次型为正定二次型 即知是正定矩阵 解 2 正定二次型 正定矩阵 的判别方法 1 定义法 2 顺次主子式判别法 3 特征值判别法 四 小结 1 正定二次型的概念 正定二次型与正定矩阵的区别与联系 3 根据正定二次型的判别方法 可以得到负定二次型
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