概率论与数理统计第5章.ppt

第五章数理统计的基础知识 数理统计的基本概念常用统计分布抽样分布 5 1数理统计的基本概念 定义统计学中称随机变量 或向量 X为总体 并把随机变量 或向量 的分布称为总体分布 一 总体与总体分布在数理统计中 把所研究的对象的全体称为总体 母体 通常指研究对象的某项数量指标 一般记为X 如全体在校生的身高X 某批灯泡的寿命Y 把总体的每一个基本单位称为个体 总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值 故它是某一随机变量X的值 于是 一个总体对应于一个随机变量X 对总体的研究就相当于对一个随机变量X的研究 X的分布就称为总体的分布函数 今后将不区分总体与相应的随机变量 并引入如下定义 从本质上讲 总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布 即一个具有确定概率分布的随机变量 注 i 有时个体的特性很难用数量指标直接描述 但总可以将其数量化 如检验某学校全体学生的血型 试验的结果有O型 A型 B型 AB型4种 若分别以1 2 3 4依次记这4种血型 则试验的结果就可以用数量来表示了 ii 总体的分布一般来说是未知的 有时即使知道其分布的类型 如正态分布 二项分布等 但不知这些分布中所含的参数等 如等 数理统计的任务就是根据总体中部分个体的数据资料对总体的未知分布进行统计推断 二 样本与样本分布从总体X中抽出若干个个体称为样本 一般记为 X1 X2 Xn n称为样本容量 或样本大小 而对这n个个体的一次具体的观察结果 x1 x2 xn 是完全确定的一组数值 但它又随着每次抽样观察而改变 x1 x2 xn 称为样本观察值 如果样本 X1 X2 Xn 满足 1 代表性 样本的每个分量Xi与总体X有相同的分布 2 独立性 X1 X2 Xn是相互独立的随机变量 则称样本 X1 X2 Xn 为简单随机样本 1设总体X的分布为F x 则样本 X1 X2 Xn 的联合分布为 2当总体X是离散型时 其分布律 离散总体密度 为 样本的联合分布律 离散样本密度 为 3当总体X是连续型时 X f x 连续总体密度 则样本的联合密度 连续样本密度 为 并称其为样本分布 总体 样本 样本观察值的关系 总体 样本 样本观察值 理论分布 统计是从手中已有的资料 样本观察值 去推断总体的情况 总体分布 样本是联系两者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率规律 也就是样本取到样本观察值的规律 因而可以用样本观察值去推断总体 例5 1设 X1 X2 Xn 为X的一个样本 求 X1 X2 Xn 的密度 解 X1 X2 Xn 为X的一个样本 故 例5 2设某电子产品的寿命X服从指数分布 密度函数 X1 X2 Xn 为X的一个样本 求其密度函数 解因为 X1 X2 Xn 为X的一个样本 例5 3某商场每天客流量X服从参数为 的泊松分布 求其样本 X1 X2 Xn 的联合分布律 解 三 分组数据统计表与频率直方图 1 分组数据表 1 组距 若样本值过多时 可将其分为若干组 分组的区间长度一般取成相等 称区间的长度为组距 2 组频数 区间所含的样本值个数称为该区间的组频数 3 组频率 组频数与总的样本容量之比称为组频率 2 频率直方图它能够直观地反应出组频数的分布 通过观察或试验得到的样本值 一般是杂乱无章的 需要进行整理才能从总体上呈现其统计规律性 分组数据统计表或频率直方图是两种常用整理方法 四 经验分布函数 样本的直方图可以形象地描述总体的概率分布的大致形态 而经验分布函数则可以用来描述总体分布函数的大致形状 定义2设总体X的一个容量为n的样本的样本值可按大小次序排列成 若则不大于x的样本值的频率为k n 因而函数 与事件在n次独立重复试验中的频率是相同的 我们称Fn x 为经验分布函数 五 统计量 样本为由样本推断总体 要构造一些合适的统计量 再由这些统计量来推断未知总体 这里 样本的统计量即为样本的函数 广义地讲 统计量可以是样本的任一函数 但由于构造统计量的目的是为推断未知总体的分布 故在构造统计量时 就不应包含总体的未知参数 为此引入下列定义 定义3设X1 X2 Xn为总体X的一个样本 称此样本的任一不含总体分布未知参数的函数为该样本的统计量 如 未知 X1 X2 Xn 为X的一个样本 均为统计量 若 已知 2未知 X1 X2 X5 为X的一个样本 不是统计量 均为统计量 注 当样本X1 X2 Xn未取一组具体样本值时 统计量用大写字母表示 当样本取一组具体样本值x1 x2 xn时 统计量用小写字母表示 不是统计量 几个常用的统计量样本均值 样本方差 样本标准差 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 注 上述五种统计量可统称为矩统计量 简称为样本矩 它们都是样本的显函数 它们的观察值仍分别称为样本均值 样本方差 样本标准差 样本 k阶 原点矩 样本 k阶 中心矩 顺序统计量将样本中的各分量按由小到大的次序排列成 则称为样本的一组顺序统计量 X i 称为样本的第i个顺序统计量 特别地 称X 1 与X n 分别为样本极小值与样本极大值 并称为样本的极差 5 2常用统计分布 一 2 分布定义1设X1 X2 Xn为取自总体N 0 1 的样本 称统计量 一 常用分布 2 分布 t 分布和F 分布 服从自由度为n的 2分布 记为 n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从 2 n 这里 自由度是指上式右端所包含的独立变量的个数 5 2常用统计分布 2 分布的密度函数f y 曲线 例5 4 X1 X2 X3 为X的一个样本 求 的分布 解因为 X1 X2 X3 为X的一个样本 则 i 1 2 3 例5 5 X1 X2 X6 为X的一个样本 求常数C使得CY服从 2分布 解因为 X1 X2 X6 为X的一个样本 Xi N 0 1 i 1 2 6 则 所以 取常数C 1 3使得CY服从 2 2 分布 性质1 若X 2 n 则E X n D X 2n证明 性质2 分布可加性 若X 2 n1 Y 2 n2 X与Y独立 则X Y 2 n1 n2 2分布表及有关计算 1 构成P 2 n 已知n 可查表求得 2 有关计算 称为上侧 分位数 练习1 P 2 n s 1 p 求s P 2 n s 1 P 2 n s 1 p P 2 n s p 练习2 P 2 11 s 0 05 求s解 练习3 P ab 1 P 2 n a 例5 6总体X N 2 X1 X2 X16 为一个样本 求 解 1 定义若X N 0 1 Y 2 n X与Y独立 则 t n 称为自由度为n的t 分布 二 t 分布 例5 7 X1 X2 X3 为X的一个样本 求 的分布 i 1 2 3 解 t n 的概率密度为 2 基本性质 1 f t 关于t 0 纵轴 对称 2 f t 的极限为N 0 1 的密度函数 即 3 t分布表及有关计算T t n P T t n 分布的水平 的上侧分位数 注 t n 分布的双侧分位数 其中是标准正态分布的水平上侧分位数 例5 8设随机变量X服从N 2 1 随机变量Y1 Y2 Y3 Y4均服从N 0 4 且它们相互独立 令求 1 T的分布 三 F 分布 1 定义若X 2 m Y 2 n X Y独立 则 称为第一自由度为m 第二自由度为n的F 分布 其概率密度为 例5 9 X1 X2 X5 为取自正态总体X 0 2 的样本 求统计量 的分布 解 2 F分布表及有关计算P F m n F m n F m n 分布的水平 的上侧分位数 2 F F n1 n2 则 3 F分布的性质 5 3抽样分布 证明 组合 故服从正态分布 1 若 则 是n个独立的正态随机变量的线性 统计量的分布为抽样分布 2 设 X1 X2 Xn 是正态总体N 2 的样本 则 1 2 3 与S2独立 4 例5 10设为X的一个样本 求 1 样本均值的数学期望与方差 2 解 1 由于X N 21 22 样本容量n 25 所以于是 0 4514 例5 11从正态总体中抽取容量为10的样本X1 X10 是样本的均值 若未知 计算概率 解 0 75 1 0 25 0 75 例5 12 设X1 X2 X10是取自N 2 16 的样本 求a 解 例5 13设X1 X2 X8是取自N 1 9 的样本 求样本方差S2的期望与方差 解 3 设 X1 X2 Xn 是正态总体N 2 的样本 则 证明 X1 X2 Xn 是正态总体N 2 的样本 则由分布定理1 2可知 且与S2独立 所以由t分布的定义 可知 例5 14设X1 X2 X9是取自N 0 9 的样本 求解 4 设与是两个相互独立的正态总体 又设 X1 X2 Xn1 是X的样本 Y1 Y2 Yn2 是Y的样本 且相互独立 S12 S22是样本方差 则 1 例5 15设两个总体X与Y都服从正态分布N 20 3 今从总体X与Y中分别抽得容量为n1 10 n2 15的两个相互独立的样本 求 解由定理4 1 知 例5 16设总体X与Y相互独立且都服从正态分布N 30 32 X1 X20和Y1 Y25分别来自总体X和Y的样本 S12和S22分别是这两个样本的均值和方差 求 解因由定理4 2 有 查表得F0 025 24 19 2 45 即P F 24 19 2 45 0 025 练习1 设X1 X10是取自N 0 0 32 的样本 求 2 设总体X N 10 32 X1 X2 X6 是它的