概率论2.3-随机变量.ppt

第二章随机变量及其分布 2 3连续型随机变量 回顾 什么是离散型随机变量 从取值的角度来看 如果随机变量X的所有可能取值可以一一列举 即所有可能取值为有限个或无限可列个 则这样的变量X称为离散型随机变量 除了离散型随机变量 连续型随机变量是另一类重要的随机变量 引例1在某公共汽车站 每隔8分钟有一辆公共汽车通过 设乘客候车的时间为随机变量X 单位 min 则X的可能取值是什么 一 什么是连续型随机变量 区间 0 8 内的一切值 引例2在数轴上随机地投点 设所投点的坐标为随机变量X 则X可能取值是 从取值的角度来看 上面两例中的随机变量X所有可能取值为某个区间内的一切值 一般来说 这样的随机变量称为连续型随机变量 引例1 引例2中的X都是连续型随机变量 区间 内的一切值 考一考 连续型随机变量X的取值能不能一一列举出来 不能 由于连续型随机变量X的可能取值是某些区间上的所有值 无穷多个 所以X的取值是不可能一一列举出来 因此 要研究连续型随机变量X在取值区间内的概率分布规律 重要的是讨论它在取值区间内某一部分区间上取值的概率 而不是考察X在此区间内某一点取值的概率 也需要考察乘客候车的时间不超过3分钟的概率 即计算P 0 X 3 如在引例1中 乘客候车的时间为随机变量X 为对车辆进行合理的调度 需要考察乘客候车的时间超过5分钟的概率 即计算P 5 X 8 这些考察的内容都是求随机变量X在取值区间 0 8 内某一部分区间上取值的概率 则称X为连续型随机变量 称f x 为随机变量X的概率密度函数 简称密度函数或概率密度 二 连续型随机变量的概率密度 X在 a b 上取值的概率 f x 在 a b 上的定积分 变量X在 a b 上取值的概率 若已知X的密度函数f x 则X在区间 a b 上取值的概率等于f x 在该区间上的定积分 f x 在 a b 上的定积分 由定义知f x 具有下述性质 性质1说明 介于密度曲线y f x 与x轴之间的平面图形的面积等于1 密度函数f x 的性质 P31 这说明 随机变量X取单个值a的概率都为0 故它在任一区间上取值的概率 与是否包含区间端点无关 即 由此可见 计算连续型随机变量X在某一区间上取值的概率时 可以不必区分开区间 闭区间和半开半闭区间 1 均匀分布 a b 上的均匀分布 记作 若X的密度函数为如下函数 则称X服从区间 其中 常见的连续性随机变量的分布 即X在 a b 内任何长为l的小区间上取值的概率与小区间的位置无关 只与该小区间的长度l成正比 P32例10 2 指数分布 若随机变量X具有概率密度 应用场合 指数分布常用来作为各种 寿命 分布的近似 如服务系统中的服务时间 电子元件的寿命等 例11某元件的寿命 服从参数为的指数分布 求3个这样的元件使用1000小时 至少已有一个损坏的概率 解 先计算一个元件的寿命超过1000h的概率 然后按照3重伯努利概型求解 设Y表示三个元件中使用1000小时后损坏的元件数 则至少有一个损坏的概率为 3 正态分布 或称为高斯分布 正态分布的概率密度 正态分布的密度函数f x 的图形 1 曲线关于直线x 对称 称为正态曲线 3 在x 处有拐点 4 当x 时 曲线以x轴为渐近线 正态分布通常被称为高斯分布 下图是印着高斯头像和正态曲线的德国马克与纪念币 标准正态分布的概率密度 标准正态分布 1 曲线关于y轴对称 即 x x 标准正态分布的密度函数 x 的图形 3 在x 1处有拐点 标准正态分布的概率计算 如果依靠上式计算 x 的值就太麻烦了 为了计算方便 书中P183后 附表 标准正态分布数值表 已经给出了x 0时 x 的值 使用 标准正态分布数值表 时 必需先搞清楚以下几种情况 1 表中x的范围是 0 3 9 因此 当x 0 3 9 时 可直接查表得 x 的值 对于x 3 9 取 x 1 2 由右图 如P X 1 65 1 65 0 9505 如P X 2 09 1 2 09 1 0 9817 0 0183 如P 1 65 X 2 09 2 09 1 65 0 9817 0 9505 0 0312 练习1 方法 会查表 P183 熟悉5个计算公式 标准正态分布的概率计算 一般正态分布的概率计算 线性转换 N 0 1 有了这三个转换公式 正态分布的概率计算都可以通过查标准正态分布数值表完成 方法 会查表 P183 熟悉5个计算