流体力学的基本方程.ppt

1 三 流体静力学FluidStatics 流体静力学是研究平衡流体的力学规律及其应用 包括 流体对地球无相对运动和流体对运动容器无相对运动两种 由于平衡流体之间无相对运动 流体的粘性不起作用 所以 流体静力学中所得出的结论 对于理想流体和粘性流体都适用 理论不需要实验修正 流体静力学是工程流体力学中独立完整而又严密符合实际的一部分内容 2 流体静力学的主要内容 静止流场的性质重力作用下不可压缩流体的静压强绝对压强 相对压强和真空度位置水头 压强水头 测压管水头不可压缩流体相对平衡的静压强静止液体作用在物体表面上的总压力 3 一 静止流场的性质1 外力限制条件 只有当外质量力满足一定条件时 流体才能静止 此条件称为外力限制条件 假设流体是不可压缩的 将欧拉平衡微分方程对坐标系交替求导 可得 对坐标系交替求导 4 由矢量分析可知 满足上述条件的质量力场为一无旋流场 从而质量力应是某一标量函数的梯度 假设用U x y z 表示这一函数 则有 即 标量函数U x y z 称为质量力的势函数 结论 不可压缩流体静止的必要条件是质量力有势 实际上大多数质量力是有势的 5 2 等压面及其特点 压强相等的各点所组成的面 平面或曲面 称为等压面 等压面的数学表达式为 或 用dx dy dz分别乘以欧拉平衡微分方程中的三式再相加得 6 从等压面微分方程出发 可以得到等压面的几个重要性质 等压面与质量力等势面重合沿等压面 下式成立 引入质量力势函数U 则有 即dU 0 上式表明在等压面上 质量力势函数值不变 等压面与等势面互相重合 7 等压面与质量力相垂直 等压面与质量力相垂直 根据这一特性 我们可以由已知质量力的方向去确定等压面的形状 或者已知等压面的形状 去确定质量力的方向 沿等压面 下式成立 8 两种不相混合的静止流体的分界面必为等压面 图中S为两种液体的分界面 在界面上取相邻两点A和B 两点压差为dp 势函数差值为dU 两点间压差公式为 由此可知 S面为等势面 从而也是等压面 9 二 重力作用下不可压缩流体的静压强 液体的绝对静止 相对于地球的静止就是绝对静止 重力作为一种外质量力 这种静止亦称为重力液体的静止 若流体为不可压缩均质流体 上式积分得 2 59 10 对于静止流体中任意两点 有 单位重液体的位置势能 单位重液体的压强势能 为便于应用 将式 2 59 改写 由液面上一点和淹没深度为h的一点列式 2 59 得 2 62 11 式 2 62 为不可压缩流体绝对平衡的静压强计算公式 该式只适用于连通 均质 绝对静止的液体 此式表明 重力液体内一点的静压强由两部分组成 一部分是表面压强P0 另一部分是底面积为一个单位面的液柱的重量 由于P0一般不变 因此静压强P是淹没深度h的线性函数 由式 2 62 可导出绝对静止液体等压面方程 h const此式表明绝对静止液体中之等压面为一簇水平面 特别当h 0时为液体自由界面 这时P P0 也是一个等压面 等压面性质 在同一种连通的静止液体中 每个水平面都是等压面 2 62 12 流体静压强基本方程式表明 1 重力作用下的静止液体中 任一点的静压强可以由自由表面上的压强通过静力学基本方程式得到 用它可以求静止液体中任一点的静压强值 2 静止液体自由表面上的表面压强均匀传递到液体内各点 这就是著名的帕斯卡定律 如水压机 油压千斤顶等机械就是应用这个定律制成的 13 3 静压强分布规律可以用静压强分布图表示 液体内的静压强值随深度按直线变化 淹没深度越大的点 其静压强值越大 4 静止液体内不同位置处的流体静压强数值不同 但其数值之间存在一定的关系 实验1静水压强量测实验 14 流体静压强基本方程式的意义 1 物理意义 由公式 代表单位重力流体的位置势能 代表单位重力流体的压强势能 在平衡流体内部 位置势能和压强势能可以相互转化 但是总能量保持恒定 流体静压强基本方程式的意义就是平衡流体中的总能量是一定的 这也是能量守衡与转化定律在平衡流体中的体现 15 2 几何意义 称为位置水头 被称为压强水头 位置势能 压强势能 它们都代表一定的液柱高度 流体静压强基本方程式说明静止液体中各点的位置势能与压强势能之间可以互相转换 但各点的总势能是一定的 永远相等 即各点的总势能在同一个水平面上 16 一 静压强的计算标准 真空度 当压强比当地大气压低时 流体压强与当地大气压的差值称为真空度 以当地大气压为计算标准表示的压强 计示压强 表压强 相对压强 绝对压强 以绝对真空为起点表示的压强 三 绝对压强 相对压强和真空度 工程上常常处理自由界面上是大气压的问题 这时P0 Pa 压强计算公式为 以此为基础 介绍几种压强表示方法 17 18 二 静压强的计量单位 1 应力单位Pa N m2 bar 1bar 105Pa 2 液柱高单位测压计常以水或水银作为工作介质 压强常以水柱高度 mH2O 或毫米汞柱 mmHg 表示 3 大气压单位以1标准大气压 1atm 为单位表示 1标准大气压 1 013 105Pa 10 33mH2O 760mmHg 19 三 静压强的测量 主要测量仪表 金属式 电测式和液柱式 1 测压管2 U型测压计3 差压计4 微压计 20 四 位置水头 压强水头 测压管水头 在静水压强分布公式中 各项都为长度量纲 称为水头 液柱高 位置水头 以任取水平面为基准面z 0 铅垂向上为正 压强水头 以大气压为基准 用相对压强代入计算 测压管水头 21 在内有液体的容器壁选定测点 垂直于壁面打孔 接出一端开口与大气相通的玻璃管 即为测压管 测压管内的静止液面上p 0 其液面高程即为测点处的 所以叫测压管水头 测压管水头的含义 22 如果容器内的液体是静止的 一根测压管测得的测压管水头也就是容器内液体中任何一点的测压管水头 如接上多根测压管 则各测压管中的液面都将位于同一水平面上 测静压只须一根测压管 23 敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图 24 例题 25 解 d d为包含液体分界面在内的水平面 由于d d面为等压面 故有 26 例题 如图所示 h1 1 2m h2 1m h3 0 8m h4 1m h5 1 5m 大气压Pa 101300N m2 不计装置内空气重 求 1 2 3 4 5和6各点的绝对压强及M1 M3和M6三个压力表的表压强 或真空度 27 解 根据已知条件 对1 2两点 对2 3两点 28 对4 5两点 对4 6两点 29 五 不可压缩流体的相对平衡的静压强 一 非惯性系中静止液体的平衡方程 惯性系中静止液体的平衡方程 非惯性系中静止液体的平衡方程 这样非惯性系中平衡方程在处理上就和惯性系没有区别了 替代 用 表面力中仍无切应力 30 工程上常遇到相对静止问题 这时质量力除重力外 还有其它力 流体相对平衡常见于容器作等加速直线运动和绕垂直轴的旋转运动 本节讨论等角速度旋转容器中液体相对静止时的压强分布规律 二 静压强分布规律 作用在液体上的质量力有重力和离心惯性力 将此式代入 2 82 31 则有 等角速度旋转容器内液体相对平衡的静压分布规律 2 83 表明静压强P与表面压强P0 水深 旋转角速度和半径r有关 且压强P随旋转半径r2的增大而增大 随所在的铅垂坐标Z的增大而减小 在Z坐标相同的点上 离旋转中心越远处 其压强越高 这完全是惯性力作用的结果 32 三 等压面将式 2 83 代入等压面微分方程 得 2 84 表明等压面为一族绕Z轴的旋转抛物面 33 将 2 84 代入 2 83 则静压分布又可表示为 式中 h 自由液面算起的淹没深度 这与绝对静止液体中压强分布公式的形式完全一样 34 六 静止液体作用在物体表面上的总压力 工程中常碰到要求计算静止液体对接触固体壁面的作用 即计算液体对接触固体壁面的总压力以及作用点的问题 本节讨论以下两个问题 绝对静止液体作用在平面壁上的总压力绝对静止液体作用在曲面壁上的总压力 35 在已知静止液体中的压强分布之后 通过求解物体表面A上的矢量积分 即可得到总压力 实际上这是一个数学问题 A 完整的总压力求解包括其大小 方向 作用点 36 这是一种比较简单的情况 是平行力系的合成 即作用力垂直于作用面 指向自己判断 静压强在平面域A上分布不均匀 沿铅垂方向呈线性分布 1 绝对静止液体作用在平面壁上的总压力 37 38 矩形平面单位宽度受到的静水总压力是压力分布图AP的面积 矩形平面受到的静水总压力通过压力分布图的形心 梯形压力分布图的形心距底 三角形压力分布图的形心距底 1 压力图法求矩形平面上的静水总压力 39 设A为被淹没的平面壁 它与自由界面成 角 液体静止 壁面上取与X轴垂直的直线为Y轴 二轴交点为坐标原点 为讨论方便 将A绕Y轴旋转90 2 分析法求任意形状平面上的静水总压力 壁面上各点水深h不同 故静压力也不一样 但这些力的方向相同 均垂直于壁面 组成平行力系 现在欲求作用于平面壁A上的总压力和作用点的位置 40 取壁上微元面dA 淹没深度为h dA的形心距X轴为y 则dA形心上的压强为 不计大气压 由几何关系 41 作用于壁面所有微元面上的分力组成平行力系 故作用于A面上的总压力为 所以 静止流体作用在平面壁上的总压力 与壁面形心处的水深有直接关系 42 2 压力中心的确定 总压力P与壁面的交点D xd yd 称为压力中心 压力中心可由平行力系的力矩定理来确定 合力及诸分力对X轴的力矩为 平行力系的力矩定理 平行力系中的每个分力对某轴的力矩之和就等于它们的合力对同轴的力矩 43 说明压力中心位于形心的下方 44 工程中常用到的几种对称的平面图形的Jc yc及A见表2 2 45 1 平面上静水压强的平均值为作用面 平面图形 形心处的压强 总压力大小等于作用面形心C处的压强pC乘上作用面的面积A 2 平面上均匀分布力的合力作用点将是其形心 而静压强分布是不均匀的 浸没在液面下越深处压强越大 所以总压力作用点位于作用面形心以下 结论 46 静力奇象 求四个容器对桌子的作用力的大小顺序 以及液体对瓶底的作用力的大小顺序 思考题1 47 思考题2 求四个容器对桌子的作用力的大小顺序 以及液体对瓶底的作用力的大小顺序 48 例题 图为一水箱 在其底部的斜面上 装有一个直径d 0 5m的圆形泄水阀 阀的转动轴通过圆心并与自由界面平行 试问须对阀轴施加多大的锁紧力矩 方不致使水推开阀门外泄 49 解 50 所以为使水不外泄 应于阀轴上沿顺时针方向施加26N m的锁紧力矩 总压力对阀轴的力矩M为 51 作业 2 112 13 52 由于曲面上各点的法向不同 对曲面A求解总压力时 必须先分解成各分量计算 然后再合成 2 绝对静止液体作用在曲面壁上的总压力 53 先讨论二向曲面 然后推广到任意曲面的一般情形 图2 15为二向曲面 母线垂直于纸面 总压力为P Px和Pz为其两个分量 54 计算曲面壁所受总压力之水平分力的公式 55 静止液体作用在曲面上的总压力在x方向分量的大小等于作用在曲面沿x轴方向的投影面上的总压力 y方向水平力大小的算法与x方向相同 结论 56 Az是曲面A沿z轴向在自由液面oxy平面上的投影 V称为压力体 是曲面A与Az之间的柱体体积 57 静止液体作用在曲面上的总压力的垂向分量的大小等于压力体中装满此种液体的重量 总压力垂直分量的方向根据情况判断 结论 58 59 压力体是一个纯几何体积 它与这块体积中有无液体没有关系 压力体液重并不是压力体内实有的液体重力 它只是为计算铅直分压力而引入的一个虚构概念 60 复杂柱面的压力体 61 严格的压力体的概念是与液体重度 g 联系在一起的 这在分层流体情况时 显得尤为重要 A B Pz AB面所受垂向力 62 总压力各分量的大小已知 指向自己判断 这样总压力的大小和方向就确定了 总压力的作用点为水平方向两条作用线和过压力体形心的铅垂线的交点 特别地 当曲面是圆柱或球面的一部分时 总压力是汇交力系的合成 必然通过圆心或球心 2 曲面上静水总压力的合成 压力中心的确定 63 3 封闭曲面上的流体静压力 浮力 铅直作用在潜体或浮体上的流体静压力 阿基米德原理 作用在潜体或浮体上的浮力等于它所排开的同体积的液重 方向铅垂向上 作用线通过物体被液体浸没部分体积的形心 浮心 64 思考题3 求 石蜡浸泡在油中和水中体积的比值 有一块石蜡 浮在油水溶液的分界面上 它们的重度为 65 解以上方程得到 66 例题 如图所示为一贮水容器 容器上有两