极限定理和抽样分布.ppt

第七章极限定理和抽样分布 切贝谢夫定理 Chebyshev sTheorem 如果k 2 则至少有75 的个案分布在2倍的标准差之内 如果k 3 则至少有89 但个案分布在3倍的标准差之内 切贝谢夫不等式 我们知道一个分布的特征值 如均值和方差 去推算这个分布的情况 当不知道总体分布而只知道总体特征值的时候 对概率分布做最保守的估计 注意 1 这是保守的估计 因为不知道总体的分布 2 由于这里指的是绝对离差 所以我们难以推知一端数据的概率 除非我们知道这个分布是对称分布 极限定理 研究观察次数趋向无限次时 随机事件的变化方式 分类 1大数定理 在什么条件下 随机事件可以转化为不可能事件或必然事件 特征值 LawofLargeNumbers 2中心极限定理 在什么条件下 随机变量之和的分布可以近似为正态分布 CentralLimitTheory 一 贝努里大数定理 N变大时 诸随机变量的均值逐步接近总体的均值 样本成数 实际上是指的样本频率 在讲离散型随机变量的概率分布时 我们将随机变量X定义为 A类事件出现的次数 我们将出现的实际次数 m 除以总试验次数 n 得到的A类实际出现的频率 我们叫做样本成数 这是一个已知的 固定的值 样本均值 是指将每一次独立试验的X的实际取值取平均数 得到的是样本均值 在趋于极限时 离散变量的特征值行为 频率值趋近于概率值 或者说样本成数无限趋近于总体成数 可以看作n次独立实验 就有n个独立同分布的随机变量 每一个都是二点分布 数学期望p方差pq 二 切贝谢夫大数定理 N变大时 诸随机变量的均值逐步接近总体的均值 在趋于极限时 连续变量的特征值行为 平均值趋近于数学期望 或者说样本均值无限趋近于总体均值 三 中心极限定理 几种等效的公式 抽样分布 1总体分布populationdistributionX的所有取值形成的分布 我们在分析中往往不能知道总体分布的情况 2样本分布Sampledistribution3抽样分布 理解抽样分布 1 设想我们从一个总体中抽取一个样本容量为n的样本 2 抽取之后我们得到了样本 3 我们现在把这个样本均值也看作是一个随机变量 它的确是个随机变量 4 样本均值的概率分布就是当我们重复不断抽取n个样本时 我们得到的不同的样本均值出现的可能性是不同的 也就是说它会有一个概率分布 我们把这个分布叫做样本均值的抽样分布 5 当样本容量增大时 无论总体是什么分布 根据中心极限定理 样本均值的抽样分布是一个正态分布 样本均值的数学期望就是总体的均值 而它的方差是总体方差的1 n 样本均值的抽样分布 连续型变量 样本均值是什么形式 与两个因素有关系 1 总体分布 2 样本容量 当n 50时 不论总体分布如何 样本均值均服从正态分布 这里也可以写出均值的均值 注意这里用S表示样本的标准差 样本方差在样本容量逐渐增大时和总体方差一样了 是以总体为期望值的 则当n很大时 t分布的方差为1 接近标准正态分布 为了查表方便 n 30时 当成正态分布 当总体为有限总体时且不放回抽样时 n 50样本的均值服从正态分布 这里需要方差已知 校正系数 当总体为有限正态总体时且不放回抽样时 n 50样本的均值服从正态分布 必须是方差已知 总结样本均值的抽样分布 抽样误差 标准误 样本方差的抽样分布 统计证明 当总体分布为正态分布时 则比值 当n变大时 卡方分布变成正态分布 当n逐渐增大时 我们将随机变量X看作是n个独立同分布的二点分布中事件A出现的次数 这样X实际上是n个二点随机变量之和 根据中心极限定理 X N np npq 样本成数的抽样分布 二项分布的极限行为 在这里 我们讨论在何种情况下 二项分布会趋近于正态分布呢 取决于两个条件 1 二项分布的偏度p 总体分布 2 样本容量n P的取值为什么很重要 因为p还涉及到总体分布的方差 总体分布方差越大 就要求n越大才会形成正态分布 若p取值偏