离散型随机变量的分布列、期望与方差.ppt

新课标高中一轮总复习 第七单元计算原理 概率与统计 第53讲 离散型随机变量的分布列 期望与方差 1 了解离散型随机变量的意义 2 会求某些简单的离散型随机变量的分布列 3 理解取有限个值的离散型随机变量的均值与方差的概念 能计算简单离散型随机变量的均值和方差 1 某路口一天经过的机动车的车辆数为a 一天内的温度为a 某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为a 某投篮手在一次训练中 投中球的个数为a 上述问题中a是离散型随机变量的是 C A B C D 2 设随机变量 的概率分布列为P k k 0 1 2 3 则c 由P 0 P 1 P 2 P 3 1 得c 1 故c 3 已知 B n p E 8 D 1 6 则n与p的值分别是 D A 100和0 08B 20和0 4C 10和0 2D 10和0 8 4 投掷一颗骰子所得点数为 则D 因为P i i 1 2 3 4 5 6 得E 3 5 故D 5 设随机变量 的分布列为 则E 5 4 15 E 5 4 5 E 4 5 1 0 4 2 0 3 4 0 3 4 15 1 随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示 那么这样的变量叫做 随机变量常用字母X Y 等表示 1 叫做离散型随机变量 2 如果随机变量可以取某一区间内的一切值 这样的随机变量叫做 3 若 是随机变量 a b 其中a b是常数 则 也是随机变量 随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量 连续型随机变量 2 离散型随机变量的概率分布列 1 概率分布列 分布列 设离散型随机变量 可能取的值为x1 x2 xi 取每一个值xi i 1 2 的概率P xi pi 则表称为 简称 的分布列 随机变量 的概率分布列 2 二项分布 如果一次试验中某事件发生的概率是p 那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P k pk qn k 其中k 0 1 2 n q 1 p 我们称这样的随机变量 服从 记作 B n p 其中n p为参数 并称p为成功概率 3 两点分布 若随机变量X的分布列是 像这样的分布列称为两点分布列 如果随机变量的分布列为 就称 服从两点分布 且称p P x 1 为成功概率 二项分布 两点分布列 4 超几何分布 在含有M件次品的N件产品中 任取n件 其中恰有 件次品 则事件 k 发生的概率为P k k 0 1 2 m 其中m min M n 且n N M N n M N N 称分布列为 如果随机变量 的分布列为超几何分布列 则称随机变量 服从超几何分布 超几何分布列 3 离散型随机变量的分布列的性质 4 离散型随机变量的均值若离散型随机变量 的分布列为 则称E x1p1 x2p2 xnpn 为 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平 Pi 0 P1 P2 Pi 1 i 1 2 3 随机 变量 的均值或数学期望 5 离散型随机变量的方差称D x1 E 2 p1 x2 E 2 p2 xn E 2 pn 为随机变量 的方差 其算术平方根D 为随机变量 的 记作 离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于均值的平均波动大小 即 取值的稳定性 标准差 6 性质 1 E c c E a b a b c为常数 2 设a b为常数 则D a b a b为常数 3 D 4 若 服从二项分布 即 B n p 则E D 5 若 服从两点分布 则E D a E b a2 D E 2 E 2 np np 1 p p p 1 p 题型一求随机变量的分布列 例1 一批零件有9个合格品 3个不合格品 安装机器时 从中任取一个 若取出不合格品不再放回去 求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列 设随机变量 表示在取得合格品以前已取出的不合格品数 则 0 1 2 3 可得P 0 P 1 P 2 P 3 1 故 的分布列为 运用分布列中的性质P1 P2 P3 P4 1 可以简化运算过程 袋中有3个白球 3个红球和5个黄球 从中抽取3个球 若取得一个白球得1分 取得1个红球扣1分 取得一个黄球得0分 求所得分数 的概率分布列 由题意得 3 2 1 0 1 2 3 又P 3 P 2 P 1 P 0 P 1 P 2 P 3 则所求分布列为 对每一个 的取值应分析透彻 考虑完全 如 1时 可能取到一个红球 两个黄球 也可能取到两个红球和一个白球等 题型二求随机变量的期望 方差 例2 某运动员投篮的命中率为p 0 6 1 求一次投篮时命中次数 的均值 方差 2 求重复5次投篮时 命中次数 的均值与方差 1 投篮一次 命中次数 的分布列为 则E 0 0 4 1 0 6 0 6 D 0 0 6 2 0 4 1 0 6 2 0 6 0 24 2 重复5次投篮 命中次数 服从二项分布 即 B 5 0 6 故E 5 0 6 3 D 5 0 6 0 4 1 2 求离散型随机变量的均值和方差 首先应明确随机变量的分布列 题型三期望 方差的实际应用 例3 有甲 乙两个建材厂 都想投标参加某重点建设 为了对重点建设负责 政府到两个建材厂抽样检查 他们从中各抽取等量的样品检查他们的抗拉强度指数如下 其中 和 分别表示甲 乙两建材厂材料的抗拉强度 在使用时要求抗拉强度在不低于120的条件下 比较甲 乙两建材厂材料哪一种稳定性较好 首先看两建材厂的材料的抗拉强度的期望 然后再比较他们的方差 E 110 0 1 120 0 2 125 0 4 130 0 1 135 0 2 125 E 100 0 1 115 0 2 125 0 4 130 0 1 145 0 2 125 D 0 1 110 125 2 0 2 120 125 2 0 4 125 125 2 0 1 130 125 2 0 2 135 125 2 50 D 0 1 100 125 2 0 2 115 125 2 0 4 125 125 2 0 1 130 125 2 0 2 145 125 2 165 由于E E 而D D 故甲建材厂的材料稳定性较好 离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的特征数 期望反映了随机变量的平均取值 方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 在进行决策时 一般先根据期望值的大小来决定 当期望值相同或相差不大时 再去利用方差决策 某工厂每月生产某种产品三件 经检测发现 工厂生产该产品的合格率为45 已知生产一件合格品能盈利25万元 生产一件次品将亏损10万元 假设该产品任何两件之间合格与否相互之间没有影响 1 求工厂每月盈利 万元 的所有可能的取值 2 若该工厂制定了每月盈利额不低于40万元的目标 求该工厂达到盈利目标的概率 3 求工厂每月盈利额 的数学期望 1 工厂每月生产的三件产品中 合格产品的件数的所有可能的结果是 0 1 2 3 则相应的月盈利额 的取值是 30 5 40 75 2 P 30 3 P 2 P 40 2 P 75 3 月盈利额 的分布列是 所以P 40 P 40 P 75 所以该工厂达到盈利目标的概率为 3 由分布列得 月盈利额的数学期望是 E 30 5 40 75 54 求离散型随机变量分布列时要注意两个问题 一是求出随机变量所有可能的值 二是求出取每一个值时的概率 求随机变量的分布列 关键是概率类型的确定与转化 如古典概型 互斥事件的概率 相互独立事件同时发生的概率 n次独立重复试验有k次发生的概率等 如本题就要转化成 n次独立重复试验有k次发生的概率 问题 1 求离散型随机变量的概率分布列的步骤 1 求出随机变量 的所有可能取值 2 求出各取值的概率 3 列成表格 2 注意用分布列的性质P1 P2 Pi 1进行验证 3 期望和方差是离散型随机变量的两个最重要的特征数 有时判断某事物的优劣 计算其期望就能区别出来 而有时仅靠期望不能完善地说明随机变量的分布特征 还需研究其方差 4 随机变量 是可变的 可取不同值 而期望E 是不变的 它描述 取值的平均状态 5 方差D 表示随机变量 对期望E 的平均偏离程度 D 越大 表明平均偏离程度越大 说明 的取值越分散 反之 D 越小 的取值越集中在E 附近 2008 陕西卷 某射击测试规则为 每人最多射击3次 击中目标即终止射击 第i次击中目标得4 i i 1 2 3 分 3次均未击中目标得0分 已知某射手每次击中目标的概率为0 8 且各次射击结果互不影响 1 求该射手恰好射击两次的概率 2 该射手的得分记为 求随机变量 的分布列及数学期望 1 设该射手第i次击中目标的事件为Ai i 1 2 3 则P Ai 0 8 P 0 2 P A2 P P A2 0 2 0 8 0 16 2 可能取的值为0 1 2 3 的分布列为E 0 0 008 1 0 032 2 0 16 3 0 8 2 752 2008 广东卷 随机抽取某厂的某种产品200件 经质检 其中有一等品126件 二等品50件 三等品20件 次品4件 已知生产1件一 二 三等品获得的利润分别为6万元 2万元 1万元 而1件次品亏损2万元 设1件产品的利润为 单位 万元 1 求 的分布列 2 求1件产品的平均利润 即 的数学期望 3 经技术革新后 仍有四个等级的产品 但次品率降为1 一等品率提高为70 如果此时要求1件产品的平均利润不小于4 73万元 则三等品率最多是多少 1 的可能取值为 2 1 2 6 P 2 P 1 P 2 P 6 的分布列为 2 的数学期望为 E 2 1 2 6 4 34 即