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文档简介

概率论 4 1大数定律 概率是频率的稳定值 当随机试验的次数无限增大时 频率总在其概率附近摆动 逼近某一定值 大数定理就是从理论上说明这一结果 正态分布是概率论中的一个重要分布 它有着非常广泛的应用 第四章大数定律与中心极限定理 中心极限定理阐明 原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布 在一定条件下可以渐近服从正态分布 这两类定理是概率统计中的基本理论 在概率统计中具有重要地位 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的废品率 定理 契贝晓夫 Chebyshev 不等式 设随机变量X具有数学期望 方差 则对于任意正数 有 大数定律的定义 定义 设是随机变量序列 数学期望 k 1 2 存在 若对于任意 0 有 则称随机变量序列服从大数定律 几种大数定律 定理 契贝晓夫 Chebyshev 大数定律 设是两两不相关的随机变量序列 具有数学期望和方差 k 1 2 若存在常数C 使得 k 1 2 则对于任意给定的 0 恒有 证明 例 设是相互独立的随机变量序列 均服从参数为 的泊松分布 则服从大数定律 证明 已知 所以满足契贝晓夫大数定律的所有条件 故对于任意给定的 0 恒有 即服从大数定律 令 例2 设随机变量序列 独立同分布 则随机变量序列 服从大数定律 即 有 证明 定理 贝努里大数定律 设进行n次独立重复试验 每次试验中事件A发生的概率为p 记 n为n次试验中事件A发生的频率 则对任意的 0 有 贝努里 由契贝晓夫大数定律有 则 贝努里大数定律表明 当重复试验次数n充分大时 事件A发生的频率 n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法 理论保障 蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律 当投针次数n很大时 用针与线相交的频率m n近似针与线相交的概率p 从而求得 的近似值 针长L 平行线距a 解 解 则对于任意给定的 0 恒有 例5 马尔可夫大数定律 设随机变量序列 若满足马尔可夫条件 解 辛钦 定理 辛钦大数定律 设 是相互独立同分布的的随机变量序列 若有数学期望 k 1 2 则对于任意给定的 0 恒有 证明留在下一次课 注 若对同一随机变量进行观察 把每一次观察的结果看作一个随机变量 得到一列相互独立同分布的随机变量序列 由辛钦大数定律知 对随机变量进行n次观察的算术平均值依概率收敛于该随机变量的数学期望 这就为寻找随机变量的数学期望提供了一条切实可行的途径 例6 用蒙特卡洛法计算定积分 随机投点法 解 设 则 具体做法如下 小结大数定律的客观背景 大数定律的定义 几种大数定律 契贝
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