概率论和数理统计多维随机变量及其分布.ppt

在研究某些随机现象时 仅研究一个随机变量是不够的 如 天气预报 需要同时预报某地某日最高气温 最低气温 风力 湿度 空气污染程度等 因此 必须从整体上 从各个分量的相依关系上加以讨论 这就是多维随机变量 一般地 我们称n个随机变量的整体X X1 X2 Xn 为n维随机变量或随机向量 三多维随机变量及其分布 1 多维随机变量及其分布函数 1 问题背景 2 定义 设X Y为定义在同一样本空间S上的随机变量 则称向量 X Y 为S上的一个二维随机变量 多维随机变量及其分布 X Y a b X Y D 等 用二维r v表示随机事件 D 二维r v X Y 的取值可看作平面上的点 对于任意实数x y 定义二元函数 为二维r v X Y 的分布函数 也称为r vX和Y的联合分布函数 3 X Y 的分布函数 4 X Y 的边缘分布函数 二维r v X Y 中的X和Y分别都是一维r v 它们的分布函数分别记为FX x 和FY y 分别称之为二维r v X Y 关于X Y的边缘分布函数 2 二维离散型随机变量 1 定义 则称 X Y 是二维离散型随机变量 P X xi Y yj pij i j 1 2 pij称为 X Y 的分布律 或X和Y的联合分布律 若二维r v X Y 的所有可能的取值是有限对或无限可列对 xi yj i j 1 2 其相应的概率为 表格形式 2 性质 1 pij 0 设二维离散型r v X Y 的分布律为 3 由分布律求边缘分布律 问题 r vX和Y各自的分布律是什么 X可能的取值为 概率可加性 同理P Y yj 关于X的边缘分布律 关于Y的边缘分布律 注意这两个分布正好是表的行和与列和 对于二维r v X Y 的分布函数F x y 如果存在非负函数f x y 使得对任意实数x y 有 则称 X Y 是连续型二维r v f x y 称为二维r v X Y 的概率密度函数 也称为r vX和Y的联合概率密度函数 这是一个广义的二次积分 3 二维连续型随机变量 1 定义 3 在f x y 连续点处 1 非负 2 f x y 的性质 X Y 落在平面区域G内的概率等于以平面区域G为底 以空间中的曲面z f x y 为顶面的曲顶柱体体积 z f x y 例2设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度 求 1 系数A 解 1 由 知 可求得 2 3 设连续型r v X Y 的概率密度函数为f x y Fx x P X x P X x Y F x 同理 3 由概率密度求边缘概率密度函数 常用手段分布函数法 定义域 固定x 对y积分得fX x 均匀分布 其中A是区域G的面积 正态分布 记为 4 常见的分布 注 1 2 边缘分布是不能唯一确定随机变量 X Y 的分布的 不同 即 x y F x y FX x FY y 特别 对于离散型和连续型r v 该定义分别等价于 f x y fX x fY y P X xi Y yj P X xi P Y yj 定义 则称r vX与Y相互独立 4 随机变量的相互独立 注 1 n维随机变量若满足 则称是相互独立的 2 在实际应用中 若X与Y的取值互不影响 则认为X与Y是相互独立的 进而把上述定义式当公式运用 例4已知随机变量 X1 X2 Xn 相互独立 且都服从区间 a b 上的均匀分布 试写出它们的联合概率分布密度 解由于 X1 X2 Xn 相互独立 所以它们的联合概率分布密度 而 故 例5设 X Y 的概率密度