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1 概率论与数理统计 二 王柱2011 09 15 2 第一章概率论的基本概念 确定性现象 随机现象 静止 变化 这种在大量重复试验中所呈现出的固有规律性称为统计规律性 在个别试验中呈现出不确定性 在大量重复试验中又具有统计规律性的现象 称为随机现象 回顾 3 1 1 一 随机试验 随机试验的特点 1 能在相同条件下重复进行 2 每次试验的可能结果不止一个 并能事先明确试验的所有可能结果 3 但每次试验之前 不可能事先确定那一个试验结果会出现 4 随机试验及所有可能结果的例子如下 E1 抛一次硬币 观察正面H 反面T出现的情况 H T E3 抛三次硬币 观察正面H出现的次数 0 1 2 3 E4 抛一颗骰子 观察出现的点数 1 2 3 4 5 6 E5 纪录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 0 1 2 3 E6 在一批灯泡中任意抽取一只 测试它的寿命 t t 0 5 二 样本空间 三 随机事件 随机试验E的所有可能结果组成的集合 称为E的样本空间 E的每个结果称为E的样本点 试验E的样本空间 的子集合称为E的随机事件 一个样本点组成的单点集 称为基本事件 样本空间 包含所有的样本点 称为必然事件 空集不包含任何的样本点 称为不可能事件 在每次试验中 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时 则称这一事件发生 6 定义1 2 1在一定的条件下 重复做n次试验 na为n次试验中事件A发生的次数 如果随着n逐渐增大 频率na n逐渐稳定在某一数值p附近 则数值p称为事件A在该条件下发生的概率 记做 这个定义称为概率的统计定义 1 2概率的统计定义 7 样本空间 P A k n n为样本空间 中基本事件的总数 k为事件A中包含基本事件的个数 显然 此时P ei 1 n 1 3概率的古典定义 等可能概型 定义 8 1 9几何概率和概率的数学定义 1 1 9 1几何概率 假设区域S以及其中任何可能出现的小区域都是可以度量的 其度量的大小分别用和表示 事件发生的概率取为称为几何概率 例如 线段 面积 体积 9 例1 9 1 解以及分别表示两个信号进入收音机的瞬间 由假定 在时间间隔内的任何瞬间 两不相关的信号均等可能地进入收音机 如果当且仅当这两个信号进入收音机的间隔时间不大于 则收音机受到干扰 试求收音机受到干扰的概率 则样本空间是由点构成的边长为T的正方形 其面积为 依题意 收音机受到干扰的充分必要条件为 这区域如图 它位于区域内直线及之间 其面积为 所求概率为 10 1 5事件的关系与运算a 事件的运算 并 和 事件 交 积 事件 差事件 补事件 A B A B Ac 11 b 事件的关系 包含关系 相等关系 A B A B 相交关系 且 12 A B A B Ac 互斥关系 对立关系 互补关系 13 c 运算原理 交换 结合 分配 演示4 14 对偶 A B 注意 C 15 事件的关系与运算一览 包含关系 相等关系 并事件 交事件 补事件 差事件 相交关系 互斥关系 对立关系 16 运算原理 交换结合分配对偶 17 A是个事件的集合 亦即为 上的集合的集合 若满足条件 对其中最多可列个事件的运算是封闭的 即 其中最多可列个事件的并 交 补都是事件 则称为事件族 1 9几何概率和概率的数学定义 2 三位一体的 A P 18 1 P A 0 非负性 2 P 1 完全性 3 可列可加性 A P 称为概率空间 是指 在随机试验E的样本空间 上 对每个事件A赋予一个实数 记为P A 称为事件A的概率 如果这个集合函数P 满足下列条件 即可列个Ai i 1 2 则有 1 9 2概率的数学定义 19 样本空间 S P A k n n为样本空间S中基本事件的总数 k为事件A中包含基本事件的个数 显然 P A k n 0 P S n n 1 有穷个基本事件最多能使有穷个两两互斥的事件非空 有穷可加 可列可加 此时P ei 1 n 确为概率空间 因此 A P 称为等可能概型 古典概型 1 2 3 验证等可能概型符合概率的数学定义 定义 A为所有不同的事件 总数为2n 20 验证几何概率符合概率的数学定义 几何概率也有性质 假设区域S以及其中任何可能出现的小区域都是可以度量的 其度量的大小分别用和表示 事件发生的概率取为称为几何概率 事件族A是包含所有 小区域 及所有 由小区域经过最多可列个集合运算得到的集合 集合族 1 0 P A 1 2 P S 1 3 若A1 A2 是两两不相容的事件 则 这是因为 度量 是 欧式空间 的距离形成的 有此性质 21 我们回忆 在一定的条件下 重复做n次试验 na为n次试验中事件A发生的次数 如果随着n逐渐增大 频率na n逐渐稳定在某一数值p附近 则数值p称为事件A在该条件下发生的概率 记做 这个定义称为概率的统计定义 由于频率na n和等可能的比例一样具有 非负性 完全性 可列可加性 因此 其逐渐稳定的数值也具有此三性 从而这个定义也符合概率的数学定义 验证概率统计定义符合概率的数学定义 22 概率的性质 1 P 0 2 有穷可加 令An An 1 4 P A 1 3 5 6 令An 由 因A 因A Ac 因A B A B AB 加法公式 23 例1 5 1一批产品共十件 其中两件为不合格品 从中任取3件 求最多有一个为不合格品的概率 解设A表示 最多一个不合格品 B表示 无不合格品 C表示 正好一个不合格品 则 例1 5 2又求至少有一个为不合格品的概率 解设D表示 至少有一个不合格品 则表示 全是合格品 有 24 1 4 1元素不允许重复的排列 例1 4 1问能组成多少个无重复数字的两位数 三位数 四位数 并排出来 解 共能组成个无重复数字出现的两位数 1 2 3 1 4排列组合与古典概率的计算 1 共能组成个无重复数字出现的三位数 共能组成个无重复数字出现的四位数 25 定义1 4 1将个不同元素按一定的次序排列叫做个元素的一个全排列 从个元素中取出个 不允许重复 按一定的次序排列 叫做从个元素取个元素的选排列 简称排列 个元素的全排列总数为 中选的选排列总数记为 则 26 例1 4 2假定北京和天津之间有8个火车客运站 问要印多少种不同的火车票 解 包括北京 天津在内共有10个站 任意两个站如甲到乙是一种车票 乙到甲是另一种不同的火车票 所以共要印 27 1 4 2元素允许重复的排列 例1 4 3问能组成多少个两位数 三位数 每个数码允许重复取 解 共能组成个数字可重复出现的两位数 1 2 共能组成个数字可重复出现的三位数 28 定义1 4 2 从m个分别具有n1 n2 nm个不同元素的盒中 各取出一个搭配成一组 共有种不同的搭配 29 特别 从个不同元素取出个 允许重复 元素的排列总数为种 30 例1 4 4某城用六位电话号码 而首位不允许用0 问该城最多能安多少台 直拨 电话机 解 首位不允许用0 它只能是1至9这九个数字中的一个 第二位可以是十个数字中的任意一个 同样 第三位 四位 五位 六位都有十种可能 故该城最多能安装的 直拨 电话机数是 31 定义1 4 3 从个元素中取出个 不管顺序并成一组 叫做从个元素取个元素的组合 中选的组合总数记为 则 1 4 3组合 可以证明 32 例1 4 5八男五女组成的学习小组 选三个组长 1 必须是一女二男 共有多少种选法 2 必须是二女一男 共有多少种选法 3 至少有一女 共有多少种选法 解 1 必须是一女二男 这一女是从五个女的中间选出的 二男是从八个男的中间选出的 所以共有 种选法 同理有 2 3 至少一女 这句话是指正好一个女的 或正好两个女的 或正好三个女的 故共有 3 或 从13个人中任选的选法中 去掉全是男的选法 故共有 33 概率论与数理统计 二 结束 作业 习题一2 15 21 25 演示4 34 2 1 35 2 2 36 15 37 21 38 25 39 包含关系 相等关系 并事件 交事件 补事件 差事件 相交关系 互斥关系 对立关系 1 5事件的关系与运算 回顾 40 运算原理 交换结合分配对偶 41 1 P A 0 非负性 2 P 1 完全性 3 可列可加性 加法公式 A P 称为概率空间 是指 在随机试验E的样本空间 上 对每个事件A A赋予一个实数 记为P A 称为事件A的概率 如果这个集合函数P 满足下列条件 即可列个Ai i 1 2 则有 1 9 2 概率的数学定义 42 概率的性质 1 P 0 2 有穷可加 4 3 5 6 43 样本空间 S P A k n n为样本空间S中基本事件的总数 k为事件A中包含基本事件的个数 显然 P A k n 0 P S n n 1 有穷个基本事件最多能使有穷个两两互斥的事件非空 有穷可加 可列可加 此时P ei 1 n 确为概率空间 因此 A P 称为等可能概型 古典概型 1 2 3 验证 等可能概型 古典概型 符合概率的数学定义 定义 44 验证 几何概率符合概率的数学定义 几何频率也有性质 假设区域以及其中任何可能出现的小区域都是可以度量的 其度量的大小分别用和表示 事件A A发生的概率取为称为几何概率 1 0 P A 1 2 P S 1 3 若A1 A2 是两两不相容的事件 则 1 度量 是欧式空间的距离形成的 度量 有此性质 2 区域S的 度量 是有界的 3 事件A是 由小区域经过最多可列个集合运算得到的 45 我们回忆 在一定的条件下 重复做n次