《线性代数讲义》PPT课件.ppt

线性代数 主讲教师 王琛晖厦门理工学院数理系 教材 线性代数 第三版 赵树嫄主编中国人民大学出版社课件制作人 厦门理工学院数理系王琛晖 第一章行列式 1 1二阶与三阶行列式 用消元法解二元线性方程组 一 二阶行列式的引入 1 定义的引出 方程组有唯一解为 由方程组的四个系数确定 即 主对角线 副对角线 对于二元线性方程组 系数行列式 2阶行列式的对角线法则 2 二阶行列式的定义 例 解 3 例子 例 解 二 三阶行列式 1 定义 记 2 三阶行列式的计算 对角线法则 说明1红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三元素的乘积冠以负号 说明2对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 例 解 按对角线法则 有 3 例子 例 解 方程左端 1 2n阶行列式 一 相关概念和定理 排列和逆序 1 排列 例 2431 一个四级排列45321 一个五级排列12 n 一个n级排列 注1 n级排列的总数为n 个 注2 12 n称为自然排列 例排列32514中 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序 n个不同的自然数 规定由小到大为标准次序 2 逆序 32514 在一个排列中 若数则称这两个数组成一个逆序 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 记为 例求排列32514的逆序数 32514 故此排列的逆序数为5 思考 求n n 1 1排列的逆序数 n 1 n 2 1 例 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 3 排列的奇偶性 例计算下列排列的逆序数 并讨论它的奇偶性 解 此排列为偶排列 4 对换 5 定理1 任意一个排列经过一次对换后奇偶性相反 结论 相邻元素对换一次奇偶相反 例 排列32514 排列23514 t t 1次相邻对换 证明思路 结论 不相邻元素对换一次也奇偶相反 5 定理2 n个数码 n 1 共有n 个n级排列 其中奇偶排列各占一半 若将所有偶排列都施以对换 1 2 则q个偶排列全部变为奇排列 所以qp 若将所有奇排列都施以对换 1 2 则p个奇排列全部变为偶排列 所以pq p q n 2 证明 n级排列的总数为 n n 1 1 n 设其中奇排列数为p个 偶排列数为q个 二 n阶行列式 1 观察 观察结果 1 每项都是位于不同行不同列的元素的乘积 三阶行列式 2 每项行标都是自然排列 列标为偶排列则该项符号为 否则为 0 2 2 3 1 1 类似地 2 n阶行列式的定义 定义 等于所有取自不同行不同列的元素的乘积 1 式的代数和 每一项 1 都按下列规则取符号 当 为偶排列时 1 带正号 反之 1 带负号 注1 注2n阶行列式是由n 项组成 且正号项和负号项各占一半 注3一阶行列式不要与绝对值记号相混淆 例计算行列式 解 例计算上三角行列式 解 思考 下三角行列式呢 例 例证明对角行列式 行排列 列排列 考察 n阶行列式的定义也可写成 定理 行标排列 列标排列 证明思路 总结n阶行列式的定义 推论 例用行列式定义计算 例选择i和k 使 成为5阶行列式中一个带负号的项 解 若取i 1 k 4 故i 4 k 1时该项带负号 可将给定的项改为行标按自然顺序 即 则 15243 4 是偶排列 该项则带正号 对换1 4的位置 整节回顾 1 二 三阶行列式和它们的计算 对角线法则 2 n级排列 逆序 逆序数的概念 32514 逆序数的计算 奇排列 偶排列的概念 3 什么是对换 定理1 任意一个排列经过