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二 小结 第2 4节随机变量函数的分布 一 随机变量函数的分布 问题的提出 在实际中 人们常常对随机变量的函数更感兴趣 例如 已知圆轴截面直径d的分布 求截面面积A 的分布 一 随机变量函数的分布 一 离散型随机变量函数的分布 解 当X取值1 2 5时 Y取对应值5 7 13 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件 两者具有相同的概率 故 例2 如果g xk 中有一些是相同的 把它们作适当并项即可 一般 若X是离散型r v X的概率函数为 则Y X2的概率函数为 二 连续型随机变量函数的分布 解 设Y的分布函数为FY y 例5 设X 求Y 2X 8的概率密度 FY y P Yy P 2X 8y P X FX 于是Y的密度函数 故 注意到0 x 4时 即8 y 16时 此时 Y 2X 8 从上述例中可以看到 在求P Y y 的过程中 关键的一步是设法从 g X y 中解出X 从而得到与 g X y 等价的X的不等式 这样做是为了利用已知的X的分布 从而求出相应的概率 这是求r v的函数的分布的一种常用方法 2 8 y 设随机变量X具有概率密度 试求Y X 4的概率密度 解 1 先求Y X 4的分布函数FY y 例6 整理得Y X 4的概率密度为 本例用到变限的定积分的求导公式 下面给出一个定理 在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 其中 此定理的证明与前面的解题思路类似 x h y 是y g x 的反函数 定理设X是一个具有概率密度f x 的连续型r v 又设y g x 处处可导 且对于任意x 恒有或恒有 则Y g X 是一个连续型r v 它的概率密度为 例7设随机变量X在 0 1 上服从均匀分布 求Y 2lnX的概率密度 34题 2 解 在区间 0 1 上 函数lnx 0 故y 2lnx 0 于是y在区间 0 1 上单调下降 有反函数 由前述定理得 注意取绝对值 已知X在 0 1 上服从均匀分布 代入的表达式中 得 对于连续型随机变量 在求Y g X 的分布时 关键的一步是把事件 g X y 转化为X在一定范围内取值的形式 从而可以利用X的分布来求P g X y 总结 二 小结 1一般情形下求随机变量函数的分布 2在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数
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