数理统计的基本概念.pptx

xiaobugs 第五章数理统计的基本概念 第五章目录 5 2统计量及其分布 5 3次序统计量及其分布 5 1母体与子样 经验分布函数 5 1母体与子样 经验分布函数 名词解释 统计推断 伴随有一定概率的推断称为统计推断 母体 总体 在数理统计学中 称研究对象的全体所组成的集合为母体 在实际中 研究对象往往是母体中个体的某些指标 我们常常将这些指标取值的全体看作母体 个体 组成母体的每一单元成员称为个体 子样 样本 我们称抽取的n个个体的指标 为一个子样 n称为这个子样的容量 名词解释 2 子样空间 由子样 的所有取值 所构成的样本空间称为子样空间 也称为子样观测值 随机抽样 按机会均等的原则选取一些个体进行观测或测量的过程称为随机抽样 名词解释 3 简单随机子样 满足以下两个要求的抽样放法得到的子样称为简单随机子样 1 母体的每一个体有同等机会被选入子样 2 子样 的分量是相互独立的随机变量 即子样的每一分量有什么观测结果并不影响其它分量有什么观测结果 名词解释 4 在以后如果不作特别说明 提到 子样 总是指简单随机子样 对于简单随机子样我们有 设母体 具有分布函数F x 为取自这一母体的容量为n的子样 则的联合分布函数为 名词解释 5 经验分布函数 或子样分布函数 设是取自分布为F x 的母体中一个简单随机子样的观测值 若把子样观测值由小到大进行排列 得到 这里是子样观测值中最小的一个 是子样观测值中第i个小的数等 则 例题 5 2统计量及其分布 定义5 1一个统计量是一个子样的函数 如果子样容量为n 它也就是n个随机变量的函数 并且要求这个函数是比依赖于如何未知参数的随机变量 统计量的分布称为抽样分布 常用统计量定义5 2设是由母体 取出的容量为n的子样 统计量称做子样均值 常用统计量 2 子样方差 子样k阶矩 或k阶原点矩 子样的k阶中心矩 常用统计量 3 若是子样的一组观测值 则称为子样均值的观测值 称为子样方差的观测值 例题 常用统计量 4 统计量是子样的函数 它的抽样分布函数可以从子样的联合分布函数推出 设和是取自正态母体N 0 1 的容量分别为n和m的两个子样 那么都是统计量 它们的抽样分布分别是分布 分布和分布 定理5 1 设母体 的分布函数F x 具有二阶矩 即若是取自这一母体的一个子样 则子样均值的数学期望和方差分别为 证明 定理5 1 续 若假设母体的原点矩和中心矩都存在 则子样方差的数学期望和方差分别为并且子样均值与子样方差的协方差为 定理5 2 设 为两个随机向量 且 其中为一个n n阶方阵 则有和 定理5 3 设母体 服从正态分布 是取自这一母体的一个子样 则子样均值服从正态分布证明 根据 3 7中例3 31知道的分布是正态分布 由于是正态变量的线性变换所得的随机变量 所以它也服从正态分布 根据定理5 1 所以 定理得证 定理5 4 设是取自正态母体的一个子样 其子样均值和子样方差分别为则 1 与独立 2 服从自由度为n 1的 分布 系1 设是取自正态母体的一个子样 其子样均值和子样方差分别为则服从自由度为n 1的t 分布 系2 设与分别是取自正态母体与的子样 其子样均值和子样方差分别为则服从分布 系3 设与分别是取自正态母体与的子样 且两个子样相互独立 则随机变量服从自由度为的t分布 其中 5 3次序统计量及其分布 次序统计量在近代统计推断中起着重要的作用 这是因为次序统计量有一些性质不依赖于母体的分布 并且计算量很小 使用起来较方便 因此在质量管理 可靠性等方面得到广泛应用 次序统计量 设是取自分布函数为F x 的母体 的一个子样 表示这子样的一组观测值 这些观测值由小到大的排列用表示 即 若其中有两个分量与相等 它们相互次序的安排是可以任意的 次序统计量的定义 定义5 3 第i个次序统计量是上述子样这样的一个函数 不论子样取得怎样一组观测值 它总是取其中的为观测值 显然对于容量为n的子样可以得到n个次序统计量 其中称为最小次序统计量 称为最大次序统计量 定理5 5 设母体 有密度函数f x 0 a x b 这里可以设a b 并且是取自这一母体的一个子样 则第i个次序统计量的密度函数为 相关例题5 3 推论1 系1最大次序统计量的密度函数为证明 当a y b时 推论2 系2最小次序统计量的密度函数为证明 定理5 6 设母体 有密度函数f x 0 a x b 这里可以设a b 并且是取自这一母体的一个子样 则其任意两个次序统计量的联合分布为 在实际问题中有时会用到一些次序统计量的函数 如极差子样中位数 当n为奇数时当n为偶数时 P 分位数的定义 设母体 具有分布函数F x 若则称为 的p 分位数设为取自这母体的字样的次序统计量 若k np 1 则称次序统计量为子样的p 分位数 在实际应用中 由于某些母体的次序统计量分布的计算十分复杂 所以还要知道子样分位数当时的极限分布 为此我们给出定理5 7 定理5 7 设母体 有密度函数f x 为其p 分位数 若f x 在处连续且大于零 则次序统计量渐近地服从正态分布 例题1 1 1 在总体中随机抽取容量为100的样本 求样本均值与总体期望之差的绝对值大于3的概率 附 解 由定理知所求概率为 习题选解 习题选解 本章结束 证明 返回定理5 1 例5 3 设母体 具有密度函数并且为从 取出的容量为4的子样的次序统计量 求的密度函数和分布函数 并且计算概率 例5 3解 解 母体 的分布函数为所求密度函数为对于y的其它值 例5 3解 2 由于当0 y 1时所以 所求分布函数为而所求概率为 返回定理5 5 NO5 1 设及为两个子样观察值 它们有如下关系求子样平均值与 子样方差与之间的关系 NO5 1解 解 NO5 2解 其中 返回 经验分布函数例题 设 3 1 6 4 5 是随机变量 一组观测值 求随机变量 的经验分布函数 解 首先按从小到大的次序排列得到的观测值 1 3 4 5 6 然后按照公式 写出经验分布函数 经验分布函数例题 返回 NO5 3 3 1 5 3利用契贝晓夫不等式求钱币需要抛多少次才能使子样均值落在0 4到0 6之间的概率至少为0 9 如何才能更精确的计算使概率接近0 9所需抛的次数 是多少 解 设需抛钱币为n次 又设第i次抛钱币时 则独立同分布 且有分布 NO5 3 3 2 且由契贝晓夫不等式即需抛250次钱币 NO5 3 3 3 利用中心极限定理可以更精确的计算 NO5 4 2 1 5 4若母体 的方差 而是容量为100的子样均值 分别利用契贝晓夫不等式和极限定理求出一个界限 使得 为母体的数学期望E